圆的方程圆的
标准
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方程引入新课问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
1在前一阶段的学习中，我们学习了直线与方程，请同学们回忆一下，我们都研究了哪些问题？代数运算直线与直线有关的位置关系、几何度量问题的结论直线方程利用直线方程，研究与直线有关的位置关系、几何度量等问题平面直角坐标系答案：答案:探究新知问题2类比直线方程的研究，同学们能否试着说说对于圆我们可以研究哪些问题，通过怎样的思路来进行研究呢？答案:代数运算圆与圆有关的位置关系、几何度量问题的结论圆的方程利用圆的方程，研究与圆有关的位置关系、几何度量等问题平面直角坐标系探究新知追问1圆的定义是什么？初中圆的定义有两种：一是静态定义，从集合角度阐述.二是动态定义，从轨迹角度阐述．探究新知追问2答案:建立直线方程的过程是怎样的？几何关系坐标化特殊化特殊化直线的倾斜角和斜率直线的点斜式方程直线的两点式方程直线的斜截式方程直线的截距式方程直线的一般式方程转化确定直线的几何要素：点、方向探究新知追问3确定圆的几何要素是什么？由圆的定义可知，确定圆的几何要素是圆心和半径.探究新知问题3答案:在平面直角坐标系中，已知⊙A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，如何求出圆的方程？设点M（x，y），由知探究新知追问1答案:(a,b)为圆心，r为半径长．观察方程中的三个参数，这三个参数有什么意义吗？正是由于方程中参数的几何意义明确表示了圆心、半径两个基本要素，因此我们把称作圆心为(a,b)，半径长为r的圆的标准方程．探究新知练习答案:1.方程是否表示圆？圆心坐标和半径分别是什么？2.说出圆心为，半径为7的圆的标准方程．1.方程表示圆，圆心坐标为（2，1），半径为.2.圆心为，半径为7的圆的标准方程为.探究新知追问2答案:圆的标准方程有怎样的特点？从方程结构的角度：①等式左边是两点间距离的平方；②可以看作勾股定理；③特殊的二元二次方程．从确定圆的标准方程的条件的角度：由圆心的横纵坐标及半径三个独立的条件唯一确定．探究新知追问3答案:圆的标准方程有哪些值得研究的特殊情形？圆心在坐标原点，过坐标原点的圆等．知识应用例1
分析
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：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上.求圆心为A(2，-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点是否在圆上.知识应用例1解：求圆心为A(2，-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点是否在圆上.所以点在这个圆上．圆心A(2，-3)，半径为5的圆的标准方程是.把点的坐标代入方程的左边，得到左右两边相等，点的坐标满足圆的方程．知识应用例1解：求圆心为A(2，-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点是否在圆上.所以点不在这个圆上．把点的坐标代入方程的左边，得到左右两边不相等，点的坐标不满足圆的方程．追问1答案:知识应用点在圆内的条件是什么？圆的圆心为A（0，0），满足的条件是：，即：．所以点在圆内的条件是．追问2答案:知识应用点在圆外的条件是什么？点在圆外.知识应用例2分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．显然已知的三个点不在同一条直线上．的三个顶点分别是，求的外接圆的标准方程．只要确定了a，b，r，圆的标准方程就确定了．知识应用例2的三个顶点分别是，求的外接圆的标准方程．因为三点在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是：解：设所求的方程是①即知识应用例2的三个顶点分别是，求的外接圆的标准方程．解：三式两两相减，得到关于a，b的二元一次方程组:解此方程组，得代入，得．所以，的外接圆的标准方程是．追问1答案:求圆的标准方程的基本方法是什么？直接法：待定系数法．知识应用追问2答案:是否还有其他的思路能够解决这道例题的问题?知识应用设线段AB的中点为D．由A，B两点的坐标为，可得到D的坐标为．直线AB的斜率为．因此，线段AB的垂直平分线的方程是．追问2答案:是否还有其他的思路能够解决这道例题的问题?知识应用同理可得，线段AC的垂直平分线的方程是 ．圆心C的坐标就是方程组的解，解得．所以，圆心C的坐标为（2，-3），．所以，圆的标准方程是．知识应用例3分析：由此可以求出圆心坐标和半径．已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,-2)两点，且圆心C在直线上，求此圆的标准方程．设圆心C的坐标为(a，b)，由已知条件可知，，且．另外，因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的连线垂直于AB，由此可得到另一种解法．知识应用例3解：方法一：已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,-2)两点，且圆心C在直线上，求此圆的标准方程．设圆心C的坐标为（a,b）．因为圆心C在直线上，所以．①因为AB是圆上两点，所以．根据两点间距离公式，有：即．知识应用例3解：方法一：已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,-2)两点，且圆心C在直线上，求此圆的标准方程．由上面两式可得a=-3，b=-2，所以圆心C的坐标是(-3，-2)．圆的半径．所以，圆的标准方程是．知识应用例3解：方法二：已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,-2)两点，且圆心C在直线上，求此圆的标准方程．设线段AB的中点为D．由A，B两点的坐标为(1,1)，(2,-2)，可得到D的坐标．直线AB的斜率为．因此，线段AB的垂直平分线l的方程是．知识应用例3解：方法二：已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,-2)两点，且圆心C在直线上，求此圆的标准方程．由垂径定理知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标就是方程组的解．解得．所以，圆心C的坐标为(-3,-2)，．所以，圆的标准方程是．课堂小结问题4圆的标准方程是什么？对于研究圆的标准方程的思路与方法你有什么体会？从研究思路上看：本节课使用类比的方法，类比直线方程的建立过程，首先确定圆的几何要素，进而建立圆的标准方程，后续要对圆的方程继续进行研究，并利用方程研究与圆有关的几何性质；从解决问题来看：一般来说有两种方法，一是从形的角度入手，抓好圆心、半径，进而确定圆的标准方程；二是从数的角度入手，用好待定系数法、方程思想，进而确定圆的标准方程．谢谢大家！敬请各位老师提出宝贵意见！
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