6.4.设,,用,表示解线性方程组的雅可比迭代与高斯—塞德尔迭代收敛的充分必要条件。解雅可比迭代法的迭代矩阵,,。雅可比迭代法收敛的充分必要条件是。高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵,,。高斯—塞德尔迭代法收敛的充分必要条件是。6.5.对线性方程组,若用迭代法,求解,问在什么范围内取值可使迭代收敛,取什么值可使迭代收敛更快?解迭代
公式
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可以写成,迭代矩阵为。由,故矩阵的特征值为1和4,所以矩阵的特征值为,,因而。这样,所以当时迭代收敛。当时,达到最小值,故时收敛最快。6.6.用雅可比迭代与高斯—塞德尔迭代解线性方程组,证明若取,则两种方法均收敛,试比较哪种方法收敛快?解雅可比迭代法的迭代矩阵,,故雅可比迭代法收敛。高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵,,故高斯—塞德尔迭代法收敛。因,故高斯—塞德尔迭代法收敛快。6.9.设有线性方程组,其中为对称正定矩阵,迭代公式,,试证明当时上述迭代法收敛(其中)。证明将迭代公式写成,,迭代矩阵为,其特征值。由,即,得,故当时,有,即,这时,故迭代收敛。7.1.用二分法求方程的正根,要求误差小于0.05.解设,因为,,所以为的有根区间。又,故当时,单调递减,当时,单调递增。而,,由单调性知的唯一正根。根据二分法的误差估计式,要求误差小于,只需,解得,故至少应二分6次。具体计算结果见下表。的符号0121.5-11.521.75+21.51.751.625+31.51.6251.5625-41.56251.6251.59375-51.593751.6251.609375-因此。