定积分应用题附答案《定积分的应用》复习题一•填空:1•曲线yInx,yIna,yInb(0ab）及y轴所围成的平面图形的面积lnbeydy=b-aIna2.曲线yx2和yG所围成的平面图形的面积是1.求由抛物线y2=2x与直线2x+y-2=0所围成的图形的面积。解：（1）确定积分变量为y，解方程组TOC\o"1-5"\h\zy22x沖人1/2x22得,y2x2%1y221一即抛物线与直线的交点为（2，1）和（2，-2）.故所求图形在直线y=1和y=-2之间，即积分区间为［—2,1］。（2）在区间［—2,1］上，任取一小区间为］...
《定积分的应用》复习题一•填空:1•曲线yInx,yIna,yInb(0ab）及y轴所围成的平面图形的面积lnbeydy=b-aIna2.曲线yx2和yG所围成的平面图形的面积是1.求由抛物线y2=2x与直线2x+y-2=0所围成的图形的面积。解：（1）确定积分变量为y，解方程组TOC\o"1-5"\h\zy22x沖人1/2x22得,y2x2%1y221一即抛物线与直线的交点为（2，1）和（2，-2）.故所求图形在直线y=1和y=-2之间，即积分区间为［—2,1］。（2）在区间［—2,1］上，任取一小区间为］y,y+dy］，对应的窄条面积11近似于高为］（1—，y）-，y2］,底为dy的矩形面积，从而得到面积元素112dA=［（1—于y）-2y2］dy1119⑶所求图形面积A=12［（1-y）-一y2］dy=［y-y2-y3］12=24642.求抛物线y=-x2+4x-3及其在点（0,-3）和（3,0）处的切线所围成的图形的面积。解：由y=-x2+4x-3得y'2x4,y'(0)4,y'(3)抛物线在点（0,-3）处的切线方程为y=4x-3;在点(3,为y=-2x+6;两切线的交点坐标为3(-2,3)。故面积A=302[(4x3)(23x24x3)]dxs[(22x6)(x24x3.求由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱(0t2。）处的切线方程93）］dx-42）与横轴所围成的图形的面积解:Aay(x)dx20a(1cost)a(1cost)dta22(12cost0cos2t3a24.求由下列曲线所围成的图形的公共部分的面积：r=3coscos解：两曲线的交点由r3cosr1cos,解得3及3r—r2cos)2d12—(3cos)d20^(12cos1cos2)d(1cos2)d5.计算由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱(0及r=1+33254t2)，直线y=0所围成的图形分别绕x轴、丫轴旋转而成的旋转体的体积。解：Vxa2y2(x)dx2°a2(1cost)2a(1cost)dt(13cost3cos2tcost)dt52a32aVy0x；(y)dy2a2ox,y)dy2a2(tsint)2asintdta2(tsint)2asintdt(tsint)2sintdt63a6.求由x2+y2=2和y=x2所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积解：(1)取积分变量为x,为求积分区间，解方程组:x2y22{yx2得圆与抛物线的两个交点为x{y所以积分区间为［-1,1］(2)在区间［-1,1］上任取一小区间［x,x+dx］，与它对应的薄片体积近似于［(2-x2)-x4］dx,从而得到体积元素dV=[(2-x2)-x4]dx(2-x2-x4)dx.(3)故Vx=11(2-x2-x4)dx=44157.求圆盘(x2)2y21绕丫轴旋转而成的旋转体的体积'解设旋转体积为V，贝UV2*2jx-J(x2)2dx令x2sint则V=42(2sint)cos2tdt22(1cos2t)dt~22sintcos2tdt~24(t-sin2t)|228.设有抛物线C:y=a-bx2(a>0,b>0)，试确定常数a,b的值，使得C与直线y=x+1相切，且C与X轴所围图形绕Y轴旋转所得旋转体的体积达到最大。解：设切点坐标为(x,y),由于抛物线与y=x+1相切,故有K=-2bx=1,得x12b2b12b1解得a14b1，即：b14(1a)由V(a)x2dyydy2b2a2(1a)令V'(a)2a(23a)0得a2,b-343.xacost9.设星形线方程为3(a>0)，求:yasin3t(1)由星形线所围图形的面积(2)星形线的长度。解：(1)由对称性得a032a4y(x)dx4asint3acost(sint)dt"212a22sin41cos2tdt3a28(2)L=4J7x'2(t)y'2(t)dt=4。2\(3acos21sint)2(3asin2tcost)2dt=12a2sintcostdt6a0tcostsin10•计算曲线xd,yd自原点到与具有铅直的切11线最近点的弧长。dysint解：史型ttantdxdxcostTOC\o"1-5"\h\zdtt曲线上具有铅直切线且与原点距离最近的点所对应的参数为t，原点对应的2参数t=1。故f2.2s=Q'Xrt)—y'2(t)dt二罕罟dtIntFln-11.设S1为曲线y=x2、直线y=t2(t为参数)及丫轴所围图形的面积；S2为曲线y=x2、直线y=t2及x=1所围图形的面积。问t为何值时，S=S1+S2取得最大值、最小值。t221224321解：S(t)(t2x2)dx(x2t2)dxt3t20331令S'(t)4t22t0,解得t10,t2-于是S(0)1314，S⑴TOC\o"1-5"\h\z211故Smax=S(1)=—,Smin=S(—)—324三•证明题:2x2+y2=2的周长。1.证明：曲线y=sinx的一个周期的弧长等于椭圆证明：y=sinx的一个周期的弧长L1=402Jy'2dx2"0cosdx椭圆2x2+y2x22y(&)21化为参数方程为xcosty.2sint(0t其弧长为L2=402\x'2(t)y'2(t)dt02、sin2t2cos2tdt402Xcoftdt故L1=L2
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