中考数学专题：几何图形证明与计算题分析

中考数学专题:几何图形 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 与计算题分析————————————————————————————————　作者：————————————————————————————————日期：ﻩ2016中考数学专题复习:几何图形证明与计算题分析几何图形线段长度计算三大方法:　“勾股定理”“相似比例计算”“直角三角形中的三角函数计算”1.(20１1深圳20题)如图9,已知在⊙Ｏ中,点C为劣弧AＢ上的中点,连接AＣ并延长至D，使CD=ＣＡ，连接DB并延长交⊙Ｏ于点Ｅ,连接AE。　(1）求证：AＥ是⊙Ｏ的直径；(2）如图１０，连接ＥC，⊙O半径为5，ＡC的长为４,求阴影部分的面积之和。（结果保留π与根号)OAECBD图10OAECBD图9（1）证明：如图2,连接ＡB、ＢC，∵点C是劣弧AＢ上的中点∴∴CA=ＣB,又∵ＣＤ＝ＣA∴ＣＢ=CD=CA,∴在△ABD中,∴∠ABＤ=90°，∴∠AＢE=９0°∴ＡＥ是⊙Ｏ的直径.OAECBD图2OAECBD图3（2）解：如图3,由（1）可知，ＡE是⊙O的直径,　∴∠ＡCE＝90°,∵⊙O的半径为5,AC＝4，∴ＡE＝10，⊙O的面积为２5π,在Ｒｔ△ＡCE中，∠ACE＝90°,由勾股定理,得：∴Ｓ△AＣE=∴S阴影=S⊙O-S△ACE＝2.(2011深圳中考21题）如图11,一张矩形纸片AＢCＤ，其中AD=8cｍ,ＡＢ＝6cｍ,先沿对角线BD对折,［来源:学科网]点Ｃ落在点C′的位置,ＢC′交ＡD于点Ｇ。(1)求证:AG=C′G;（2)如图12,再折叠一次,使点Ｄ与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M,求EM的长。G图5ABDCEC′NM图4ABDCC′G图11ABDCC′GG图12ABDCEC′NM（1）证明:如图４，由对折和图形的对称性可知，ＣD=C′D,∠C＝∠C′＝90°在矩形ＡBCD中，AB=CＤ,∠A＝∠C=90°　∴AＢ＝　C′D，∠A＝∠C′在△ABG和△C′ＤG中，∵AＢ=　C′D，∠Ａ=∠Ｃ′,∠AGB＝∠Ｃ′GD∴△ＡＢG≌△C′DG(ＡAS）∴AＧ＝C′G(２)解:如图５,设EM=x，AG＝y,则有：C′G=y,DG＝８-y,，在Rt△C′DG中,∠ＤC′G=９０°，Ｃ′D＝CＤ＝６,∴C′G2＋Ｃ′D2=DG２即：y2+６2＝(8-y）2解得：∴C′G＝cm，DG=cm又∵△DME∽△DＣ′G　　∴,　　即:解得:,即:ＥＭ＝(cm）∴所求的ＥM长为cm。【典型例题分析】1.（201１四川凉山)已知菱形AＢCD的边长是8，点E在直线AＤ上，若ＤE＝3,连接BＥ与对角线AC相交于点Ｍ，则的值是　.解答:∵菱形ＡBCD的边长是8，∴AＤ=ＢC＝８，AＤ∥BC，如图1:当E在线段AD上时，∴AE=AD-DE=8-3=5，∴△MＡE∽△ＭCB,∴；如图2,当E在ＡD的延长线上时,∴AＥ=AD＋DE＝8+３=１１,∴△MAE∽△MCB，∴.∴的值是或．故答案为:或.2.(2０1１重庆江津区)如图,在平面直角坐标系中有一矩形ＡＢCＤ,其中A（0，0），B　（8,0）,Ｄ　（０，4),若将△ＡBC沿ＡC所在直线翻折,点B落在点E处．则Ｅ点的坐标是　　　　ＱUOTＥ　　\*MERGEＦＯRMAT　．解答:解:连接BE,与AC交于G，作EＦ⊥AB,∵ＡＢ＝AE,∠BＡC=∠EAC，∴△AEB是等腰三角形，AG是BＥ边上的高,∴EG＝ＧＢ,ＥＢ=2ＥＧ,BG=ＱUOＴE　\*　MERＧEＦＯRＭAＴ＝QUOTE　\*　MEＲGEFORＭAＴ=ＱＵOＴE\＊　ＭERGＥFORMAＴ　,设D（ｘ，y）,则有:OD﹣OＦ=AD﹣ＡF，ＡE﹣AF＝BＥ﹣BＦ即：8﹣x＝（2BG）﹣（8﹣x）,解得：x＝,y=ＥF＝,∴E点的坐标为：．　　故答案为:.３.如图,在边长为８的正方形ＡＢCD中,Ｐ为AＤ上一点，且ＢP的垂直平分线分别交正方形的边于点E，F，Q为垂足，则EQ：ＥF的值是(　)A、B、　C、　D、ﻩ解答：分析：容易看出∽得即。而根据正方形的性质,易知,如图,把ＦE平移至CＧ的位置,由有,　　解：选C。ABCDFPEQABCDFPEQG4．(2011•泰安）如图,点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点,沿CＥ折叠后，点B恰好与点O重合，若ＢC＝3，则折痕CE的长为（　）A、ﻩB、　ﻩC、ﻩＤ、6解答:∵△CEO是△CEB翻折而成,∴ＢＣ=CＯ,BE=OＥ,∵O是矩形ABCD的中心,∴OE是AC的垂直平分线，AＣ=2BC=2×3＝6,∴ＡE＝CE，在Rt△ABＣ中,ＡC2=ＡB2+BＣ2，即6２=AB2+32，得AB=3，在Rt△AOE中,设ＯE=ｘ,ＡE=3﹣x,AE2=AO2＋OE2,即（3﹣x）2=（3）2+３2，得x=,∴AＥ=EＣ=3﹣=２．选Ａ．5.(2011•潍坊）已知长方形ABCD，AB=3ｃm，AＤ=４cm，过对角线BＤ的中点Ｏ做BＤ垂直平分线EF,分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为　　　．解答：解:连接EＢ,　∵BD垂直平分EF,∴ＥＤ=EB,设AE=ｘcm,则DE=EB=(４﹣x)cm,在Ｒt△AEB中,　AE2+AB２＝BE２,　　即：ｘ2＋32=（4﹣x)2，解得:ｘ＝　故答案为:cm．6．如图,在中,。将绕点Ｃ逆时针旋转30°得到，与ＡB相交于点Ｄ。求BD的长。解：如图（2）,作于点Ｇ,设ＢＤ=，中，在中,，。即解得。的长为。7．如图,在等腰梯形ABＣD中,AB/／CD，ＡD=BC，延长ＡB到Ｅ，使BE＝DC，连结ＣE,若于点F,且AF平分求的值。　ABEDCFG解答:首先，在中，剩下的任务就是去求CF和AC之间的数量关系，如去求出CＦ用AC 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的代数式。为此,去研究相应的条件:①由ABCD为等腰梯形，BＥCD为平行四边形（BE／/ＣD，BＥ=CD),可知：AＣ=BD=EＣ；②由知且ＡＦ平分得是等腰三角形，设AF交BＤ于点G，则③由ＢG//EC,知∽,　如此一来，当然就有。8.如图,把一副三角板如图(1)放置，其中，,斜边把三角板DCＥ绕点C顺时针旋转１5°得到如图(2),　这时ＡＢ与相交于点,与AＢ相交于点F。（1）求的度数;（２）求线段的长;ACBFOG（3)若把三角形绕着点C顺时针再旋转3０°得到,这时点B在的内部,外部，还是边上？证明你的判断。　　　　　　（３)解答:分析:对于(1)，如图（3）,设CＢ与相交于点G，则可通过与内角的关系，求得的值;对于(2）,可先推出,并导出的长;对于（3）,设直线CＢ交于，应在中计算出的长，为此为基础进行判断。解:(1）设ＣB与相交于点G，如图(3),则：ﻩ。(2)连结，ﻩ又。在　。(3)点B在内部，理由如下：设BＣ(或延长线)交于点,在,又，即点Ｂ在内部。9.(２009年清远)如图，已知是的直径,过点作弦的平行线,交过点的切线于点，连结．（1)求证：；(2)若，,求的长.【答案】(1)证明:是直径　　是的切线,切点为　　（２）　　　10.（２010河南）(１)操作发现:如图，矩形ABCD中，E是ＡD的中点,将△ＡBE沿ＢE折叠后得到△GBE,且点G在矩形ＡBCD内部．小明将BG延长交DＣ于点F,认为GＦ=DＦ,你同意吗? 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 理由．（2)问题解决保持（1)中的条件不变,若DC=２DF,求的值;AEDBCFG（３)类比探求:保持(1）中条件不变,若DC=nDF，求的值．【答案】⑴同意,连接EＦ，则∠EGF＝∠Ｄ＝90°,EＧ=AE=EＤ，ＥF＝EF．∴Rt△EGF≌Rｔ△ＥDF．　∴GＦ=ＤＦ．⑵由⑴知,GF＝ＤF.设ＤF＝x，BC＝ｙ，则有GF=ｘ,AＤ＝y.∵DC＝２DＦ，∴CF＝x,DC＝AＢ＝BＧ=2x.∴ＢF=BG＋GＦ＝３x.在Rt△BＣF中，BC2+CF2＝BF2,即y２+ｘ2＝(3x)2．∴y=2x,∴．⑶由⑴知,GF=DＦ，设DＦ=x，BC＝ｙ,则有GF＝x，AD＝y.∵DC=n·DF，∴DC＝AB=BG=nx．∴CＦ=(ｎ-1)ｘ，BＦ=BＧ＋ＧF＝(n+1）x．在Ｒt△BＣF中,BC2+CF2=BF2，即y2＋[(ｎ－１)x]2＝[（n＋1）x］2．∴y=2ｘ．∴(或）１1．如图，已知:C是以ＡB为直径的半圆O上一点，CH⊥ＡB于点H,直线ＡC与过B点的切线相交于点Ｄ,Ｅ为CH中点,连接AE并延长交ＢD于点F，直线CF交直线AB于点Ｇ．（1)求证:点F是BD中点;(2）求证:CG是⊙O的切线；（3）若FB=FE＝2,求⊙O的半径.[解析]（1)证明:∵ＣH⊥ＡB,DB⊥AB，∴△ＡEH∽AFＢ,△ＡCE∽△ADF∴,∵HE=EC,∴BF＝ＦD　　　(2）方法一:连接CB、OC，∵AB是直径，∴∠AＣB=９0°∵F是BD中点,∴∠ＢCF=∠CＢF＝9０°－∠CBA=∠CAB=∠ACO∴∠OCF=90°,∴CG是⊙Ｏ的切线（3）解：由FC=FＢ=FＥ得：∠FCＥ=∠FEC　　可证得：FA=FG,且ＡB=BG由切割线定理得：(2+FG)2＝BG×AG=２ＢG２　eｑ\o\ａｃ(○,1)在Rt△ＢGF中，由勾股定理得:BG2=FG２-BＦ２　　eq\o\ac(○，２)由　eq　\ｏ\ac(○，1)、ｅq　＼ｏ\ac（○,2)得:FG2-4FＧ－12=0解之得：FG1=6，FG2＝-２(舍去）　∴AＢ＝BG＝　　∴⊙O半径为21２．.如图,已知，以为直径,为圆心的半圆交于点，点为弧CＦ的中点,连接交于点，为△ＡＢC的角平分线,且,垂足为点.（1）求证：是半圆的切线;（2）若，,求的长.BDAOAHACAEAMAFAASＨAPE　\＊ＭＥＲＧEFＯＲMAT解答:(１）证明：连接EＣ，∵ＡD⊥BE于H,∠1=∠2，∴∠3＝∠４∴∠4=∠５＝∠3，又∵E为弧CＦ中点,∴∠6=∠7，∵BC是直径,∴∠E＝9０°,∴∠５＋∠６=９0°，　又∵∠AHM=∠E＝9０°，∴AD∥ＣE，∴∠2＝∠6=∠１,　∴∠３＋∠7＝90°,又∵BC是直径，∴AＢ是半圆O的切线;（2）∵,。由(1)知,,∴.在中，于,平分，∴,∴．由∽,得.∴,　∴13.(2011成都)已知：如图，以矩形AＢCD的对角线AC的中点O为圆心,ＯA长为半径作⊙O，⊙O经过B、Ｄ两点,过点B作BK⊥ＡC，垂足为K.过D作DH∥KB,DＨ分别与AC、AＢ．⊙O及ＣB的延长线相交于点Ｅ、F、G、H.(1）求证:AE＝ＣK；(２)如果AB=a,AＤ=ＱUOTE　\*MEＲGEFORMAT（ａ为大于零的常数），求BK的长：(3)若F是ＥG的中点,且DＥ=6,求⊙O的半径和GH的长.解答:(1)证明:∵四边形ＡBＣＤ是矩形，∴AD＝BC,∵BＫ⊥AC，ＤＨ∥KＢ,∴∠BKＣ＝∠ＡED＝90°,∴△BＫＣ≌△ADE,∴AＥ＝CK;（2）∵AB=a,AD＝QUOＴE　　　\*ＭERGＥFＯRMＡT＝BC，∴∵BK⊥AC，∴△BKC∽△ABC，∴ＱUＯTE＼＊MERＧEFORMAT　,∴,∴　QUＯTＥ　\*MＥRGＥＦORMATＢK=a，∴BK=QUOTＥ　＼＊MＥRＧＥFORMAT　a．(３）连接ＯF，∵ABCD为矩形,∴,　∴ＥF＝QUOTＥ　＼*MERGEFORMAT　ＥD=QUOTE\*MERGＥFOＲMAT×6＝３，∵F是EＧ的中点,∴ＧＦ=ＥF＝3,∵△AFD≌△HBＦ，∴HF＝FE=3+6＝９,∴ＧＨ=６,∵ＤH∥KB,ＡBCD为矩形,∴AE2=EF•ＥＤ＝３×6＝1８，∴ＡE＝3ＱＵＯTE\＊MERGEFORMAT，∵△ＡＥD∽△ＨEC,∴，∴AE=QUOTE　\*MERGEFORＭATAＣ，∴ＡC＝　则AO＝　ＱＵOTE　＼*ＭERGEFORMＡT．１4.(2０11•綦江县）如图,等边△AＢC中，ＡO是∠ＢAＣ的角平分线，D为AO上一点,以CD为一边且在CＤ下方作等边△ＣDＥ,连接BＥ．(1）求证：△AＣD≌△BCE；（2）延长ＢE至Q,Ｐ为BQ上一点,连接ＣＰ、ＣQ使CP=CＱ=5，若BC＝8时，求PＱ的长．解答:解:（1）∵△ABC与△ＤCE是等边三角形，∴AＣ＝BC,ＤＣ=EC,∠ACＢ=∠ＤCE=60°,∴∠AＣD+∠ＤCB=∠ECB+∠ＤCB=60°,∴∠ACD＝∠ＢCＥ,　∴△ACD≌△BCE(SAS）；（2)过点Ｃ作CH⊥BＱ于Ｈ，∵△ABC是等边三角形，AO是角平分线,∴∠DＡC=30°，∵△AＣD≌△BCE，∴∠QBC=∠ＤAC=３0°,∴ＣＨ=BC=×８=4，∵ＰＣ=CQ=5，CH=4，∴ＰH=QH=3,　∴ＰQ=6.１５.(2010湖北省荆门　)　如图，圆O的直径为５，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BＣ∶CA=4∶3,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合），过C作CP的垂线CＤ交PB的延长线于Ｄ点(1)求证：AC·CD=PC·BC;第15题图(2）当点P运动到AB弧中点时,求CD的长；（3)当点P运动到什么位置时，△PCＤ的面积最大？并求这个最大面积S．答案23．解:(１）∵AＢ为直径,∴∠ACB=90°．又∵PC⊥CＤ,∴∠PCＤ=90°.而∠ＣAＢ＝∠CＰD，∴△ABＣ∽△ＰCD．∴.∴AC·CD＝ＰC·ＢＣ;(2)当点P运动到AB弧中点时,过点B作BＥ⊥PC于点E.∵P是AB中点，∴∠ＰＣＢ=45°，CＥ＝ＢE＝ＢＣ=2.又∠CAB=∠ＣPＢ,∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝.∴ＰE＝==．从而PC=ＰE+EC=．由（１）得ＣＤ=PＣ=（3)当点P在AＢ上运动时，S△ＰCD＝PC·CD.由(１)可知,CＤ=PC.∴Ｓ△PCD=PＣ2.故PC最大时，S△ＰＣD取得最大值;而PC为直径时最大，∴S△ＰCD的最大值S=×52=．　1６.(２010安徽芜湖）如图,BD是⊙Ｏ的直径，ＯA⊥OＢ，M是劣弧eq\o（AB,\s\uｐ5（⌒))上一点,过点M作⊙Ｏ的切线ＭP交OA的延长线于Ｐ点,MＤ与OA交于点N。(1)求证：PM＝PN;（２)若BＤ＝４,PA=AO,过B点作BＣ∥MＰ交⊙Ｏ于Ｃ点,求BC的长．【答案】(1）证明:连结OＭ,∵　ＭP是⊙O的切线,∴ＯM⊥MP∴∠OMＤ+∠DＭＰ=90°　∵OＡ⊥OB，∠OND+∠OＤM＝90°∵∠MNP=∠ＯＮD,　∠ODN=∠OMD∴∠ＤMＰ=∠MNP∴ＰM=PN(2）解：设ＢC交ＯM于Ｅ,∵BD=4,∴ＯA=OB＝2,　∴PＡ＝OＡ=3∴PO＝5　∵BＣ∥MP,ＯM⊥MP，　∴OM⊥ＢＣ，　∴BE＝ＢC∵∠BOＭ+∠MOＰ=90°，在Rt△ＯＭP中，∠MPＯ+∠MOP=90°∴∠BOM＝∠MPO.又∵∠BEO=∠OＭＰ=9０°∴△ＯMP∽△BEO∴　　∴,∴BE=∴BC=FEADBCNMEADBCNM17．(2010福建宁德）如图,四边形ABCD是正方形，△ＡBE是等边三角形，M为对角线BＤ(不含B点）上任意一点，将BM绕点Ｂ逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、ＣM.⑴求证:△ＡMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM+ＢM＋CＭ的值最小,并说明理由；⑶当AM+ＢＭ+CＭ的最小值为时，求正方形的边长.【答案】解:⑴∵△ABE是等边三角形，∴BA=BE，∠ABE＝6０°.∵∠MBN=６0°,　∴∠MＢN-∠ABN＝∠ABE-∠ABN.即∠BMA＝∠ＮBE.　　又∵MB＝ＮB，∴△AＭB≌△ＥNB(SAS).②如图，连接ＣE，当M点位于ＢＤ与CＥ的交点处时,AM＋ＢM＋ＣM的值最小．理由如下：连接ＭN.由⑴知,△AＭB≌△ENB，∴AＭ=ＥN.∵∠MBN=6０°,MB＝NB,∴△BMＮ是等边三角形.∴ＢM＝MＮ.　∴AM+BＭ＋ＣM=EN+MN+CM.根据“两点之间线段最短”，得EN+MN＋ＣM=EC最短∴当M点位于ＢD与CE的交点处时,AM＋BＭ+ＣM的值最小，即等于EC的长.⑶过E点作EF⊥BＣ交ＣＢ的延长线于F，∴∠ＥBF=９0°-60°=３0°.设正方形的边长为ｘ，则ＢF=x，EF＝.在Rt△ＥFＣ中，∵ＥＦ2＋FＣ2=EC2,∴（）2＋(ｘ＋x）2＝.　解得，x＝(舍去负值).∴正方形的边长为.