回溯算法实例一【问题】填字游戏问题描述：在3X3个方格的方阵中要填入数字1到N(N>10)内的某9个数字，每个方格填一个整数，使得所有相邻两个方格内的两个整数之和为质数。试求出所有满足这个要求的各种数字填法。可用试探发找到问题的解，即从第一个方格开始，为当前方格寻找一个合理的整数填入，并在当前位置正确填入后，为下一方格寻找可填入的合理整数。如不能为当前方格找到一个合理的可填证书，就要回退到前一方格，调整前一方格的填入数。当第九个方格也填入合理的整数后，就找到了一个解，将该解输出，并调整第九个的填入的整数，寻找下一个解。为找到一个满足要求的9个数的填法，从还未填一个数开始，按某种顺序(如从小到大的顺序)每次在当前位置填入一个整数，然后检查当前填入的整数是否能满足要求。在满足要求的情况下，继续用同样的方法为下一方格填入整数。如果最近填入的整数不能满足要求，就改变填入的整数。如对当前方格试尽所有可能的整数，都不能满足要求，就得回退到前一方格，并调整前一方格填入的整数。如此重复执行扩展、检查或调整、检查，直到找到一个满足问题要求的解，将解输出。回溯法找一个解的算法：{intm=0,ok=1;intn=8;do{if(ok)扩展；else调整；ok=检查前m个整数填放的合理性；}while((!ok||m!=n)&&(m!=0))if(m!=0)输出解；else输出无解报告；}如果程序要找全部解，则在将找到的解输出后，应继续调整最后位置上填放的整数，试图去找下一个解。相应的算法如下：回溯法找全部解的算法：{intm=0,ok=1;intn=8;do{if(ok){if(m==n){输出解；调整；}else扩展；}else调整；ok=检查前m个整数填放的合理性；}while(m!=0);}为了确保程序能够终止，调整时必须保证曾被放弃过的填数序列不会再次实验，即要求按某种有许模型生成填数序列。给解的候选者设定一个被检验的顺序，按这个顺序逐一形成候选者并检验。从小到大或从大到小，都是可以采用的方法。如扩展时，先在新位置填入整数1,调整时，找当前候选解中下一个还未被使用过的整数。将上述扩展、调整、检验都编写成程序，细节见以下找全部解的程序。【程序】inelude
;defineN12voidwrite(inta[]){inti,j;for(i=0;i<3;i++){for(j=0;j<3;j++)printf(“%3d,a[3*i+j]);printf(“n”)；}scanf(“％*c”)；}intb[N+1];inta[10];intisprime(intm){inti;intprimes]]={2,3,5,7,11,17,19,23,29,-1};if(m==1||m%2=0)return0;for(i=0;primes>;0;i++)if(m==primes)return1;for(i=3;i*i<=m;){if(m%i==0)return0;i+=2;}return1;}intcheckmatrix]][3]={{-1},{0,-1},{1,-1},{0,-1},{1,3,-1},{2,4,-1},{3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}};intselectnum(intstart){intj;for(j=start;j<=N;j++)if(b[j])returnjreturn0;}intcheck(intpos){inti,j;if(pos<0)return0;for(i=0;(j=checkmatrix[pos])>;=0;i++)if(!isprime(a[pos]+a[j])return0;return1;}intextend(intpos){a[++pos]=selectnum(1);b[a][pos]]=0;returnpos;}intchange(intpos){intj;while(pos>;=0&&(j=selectnum(a[pos]+1))==0)b[a[pos--]]=1;if(pos<0)return-1b[a[pos]]=1;a[pos]=j;b[j]=0;returnpos;}voidfind(){intok=0,pos=0;a[pos]=1;b[a[pos]]=0;do{if(ok)if(pos==8){write(a);pos=change(pos);}elsepos=extend(pos);elsepos=change(pos);ok=check(pos);}while(pos>;=0)}voidmain(){inti;for(i=1;i<=N;i++)b=1;find();}HYPERLINK"http://www.chi"http://www.chinaunix.net/jh/23/437639.html五、回溯法回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。1、回溯法的一般描述可用回溯法求解的问题P,通常要能表达为：对于已知的由n元组（x1，x2，…，xn）组成的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn）lxi€Si，i=1，2，…，n}，给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。其中Si是分量xi的定义域，且|Si|有限，i=1，2，…，n。我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。但显然，其计算量是相当大的。我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x1,x2，…，xi）满足D中仅涉及到x1,x2,…，xi的所有约束意味着j（j。因此，对于约束集D具有完备性的问题P,—旦检测断定某个j元组（xi,x2,…，xj）违反D中仅涉及xi,x2,…，xj的一个约束，就可以肯定，以（xi,x2,…，xj）为前缀的任何n元组（xi,x2,…，xj,xj+i,…，xn）都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们、检测它们。回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T,把在E中求问题P的所有解转化为在T中搜索问题P的所有解。树T类似于检索树，它可以这样构造：设Si中的元素可排成xi（i）,xi（2）,…，xi（mi-i）,|Si|=mi,i=i,2,…，n。从根开始，让T的第I层的每一个结点都有mi个儿子。这mi个儿子到它们的双亲的边，按从左到右的次序，分别带权xi+i（i）,xi+i（2）,…，xi+i（mi）,i=0,i,2,…，n-i。照这种构造方式，E中的一个n元组（xi,x2,…，xn）对应于T中的一个叶子结点，T的根到这个叶子结点的路径上依次的n条边的权分别为xi,x2,…,xn,反之亦然。另外，对于任意的OWi
流程
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和技术在用回溯法求解有关问题的过程中，一般是一边建树，一边遍历该树。在回溯法中我们一般采用非递归方法。下面，我们给出回溯法的非递归算法的一般流程：在用回溯法求解问题，也即在遍历状态空间树的过程中，如果采用非递归方法，则我们一般要用到栈的数据结构。这时，不仅可以用栈来表示正在遍历的树的结点，而且可以很方便地表示建立孩子结点和回溯过程。例如在组合问题中，我们用一个一维数组Stack]]表示栈。开始栈空，则表示了树的根结点。如果元素1进栈，则表示建立并遍历（1）结点；这时如果元素2进栈，则表示建立并遍历（1,2）结点；元素3再进栈，则表示建立并遍历（1,2,3）结点。这时可以判断它满足所有约束条件，是问题的一个解，输出（或保存）。这时只要栈顶元素（3）出栈，即表示从结点（1,2,3）回溯到结点（1,2）。【问题】组合问题问题描述：找出从自然数1,2,…，n中任取r个数的所有组合。采用回溯法找问题的解，将找到的组合以从小到大顺序存于a[0],a[1],…，a[r-1]中，组合的元素满足以下性质：（1）a[i+1]>a[i]，后一个数字比前一个大；(2)a[i]-i<=n-叶1。按回溯法的思想，找解过程可以叙述如下：首先放弃组合数个数为r的条件，候选组合从只有一个数字1开始。因该候选解满足除问题规模之外的全部条件，扩大其规模，并使其满足上述条件(1)，候选组合改为1,2。继续这一过程，得到候选组合1,2,3。该候选解满足包括问题规模在内的全部条件，因而是一个解。在该解的基础上，选下一个候选解，因a[2]上的3调整为4,以及以后调整为5都满足问题的全部要求，得到解1,2,4和1，2，5。由于对5不能再作调整，就要从a[2]回溯到a[1]，这时，a[1]=2，可以调整为3,并向前试探，得到解1,3,4。重复上述向前试探和向后回溯，直至要从a[0]再回溯时，说明已经找完问题的全部解。按上述思想写成程序如下：【程序】#defineMAXN100inta[MAXN];voidcomb(intm,intr){inti,j;i=0;a[i]=1;do{if(a[i]-i<=m-r+1{if(i==r-1){for(j=0;j
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