无穷级数讲义

第四章无穷级数4.1.基本概念与内容提要级数a与ca收敛性相同。若级数a与b都收敛，则级数(ab)也收敛，nnnnnnn1n1n1n1n1且(ab)ab。若级数a与b都发散，则级数(ab)不一定发散。nnnnnnnnn1n1n1n1n1n1若级数a收敛，b发散，则级数(ab)必发散。nnnnn1n1n1由级数(ab)收敛不能得到级数a与b收敛。nnnnn1n1n11等比级数qn1,当q1时收敛且qn1;当q1时发散。1qn1n111P级数，当p>1时收敛，当0p1发散。其中调和级数发散。npnn1n11级数发散，其中k为正常数。级数(aa)收敛lima存在。nn1nnknn1n1如果级数a收敛，则lima0。如果lima0，则级数a必发散。nnnnnnn1n1改变一个级数的任意有限项，不改变其敛散性，但在收敛时原级数的和改变。收敛级数加括号后仍收敛于原级数和。若加括号后所得级数发散，则原级数也发散。正项级数审敛法：1.正项级数的收敛准则：a收敛SMnnn12.正项级数比较判别法：大收小必收，小散大必散。a若limnll0,则b收敛a收敛；a发散b发散。nnnnnbnn1n1n1n1aa若limn0,则b收敛a收敛。若limn,则b发散a发散。nnnnnbnbnn1n1nn1n11解题时常将级数a与p级数比较，以判定a的敛散性。nnpnn1n1n13.根值判别法：设：limna，则当01时，级数收敛；当1时，nn级数发散；当1时，不确定。注意：=0时级数也收敛。a4.比值判别法：设：limn1，则当01时，级数收敛；当1时，nan级数发散；当1时，不确定。注意：=0时级数也收敛。5.积分判别法：fx是在1，上单调递减的正项连续函数，则正项级数fn与广义积分fxdx具有相同的收敛性。1n1广义积分fxdx的敛散性的判别 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 与正项级数的相同。16.定义法：suuu;lims存在，则收敛；否则发散。n12nnn交错级数uuuu(或uuu,u0)的审敛法——莱布尼兹定理：1234123nuu如果交错级数满足nn1，那么级数收敛且其和su,其余项r的绝对值ru。交limu01nnn1nn错级数1na判断收敛一般用下述方法：nn1莱布尼兹定理：如果交错级数满足aa，lima0那么级数收敛且其和sa,nn1n1（1）n其余项r的绝对值ra。如果a不满足条件，则一般可改用：nnn1n（2）取通项的绝对值所构成的级数，若收敛则原级数绝对收敛；若此绝对值所构成的级数用比值法或根值法判定发散，则通项不趋于0，原级数发散。（3）拆项或并项的方法，将通项拆成两项，若以此两项分别作通项的级数均收敛，则原级数收敛；若一级数收敛另一发散，则原级数发散。若并项后的级数发散，则原级数也发散。（4）如果能立即看出lima0，则级数a必发散。nnnn1绝对收敛与条件收敛：若a收敛，则a收敛且称为绝对收敛；若a发散但a收敛则称为条件收敛。nnnnn1n1n1n1由a发散不能断言a也发散。但如果a的发散是由比值法（或根值法）nnnn1n1n1推断出的，则lima0，从而lima0，于是a也发散。nnnnnn11(1)n1调和级数发散，而收敛；级数收敛。nnn2绝对收敛级数的和仍绝对收敛，绝对收敛级数与条件收敛级数的和是条件收敛。任意项级数的判别法：①绝对值判别：若级数a收敛，则a收敛。即绝对收敛的级nnn1n1数一定收敛。②拆项或并项的方法，将通项拆成两几项之和，利用交错级数和正项级数的判别方法。其一般判别步骤如下图所示：u任意项级数nn1limu0非u发散nnnn1是收敛u用正项级数判别法u绝对收敛nnn1n1发散收敛u条件收敛u用莱布尼茨法则、定义或基本性质判别nnn1n1发散u发散nn1幂级数：1x1时，收敛于1xx2x3xn　　1xx1时，发散对于级数(3)aax　ax2axn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全012nxR时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使xR时发散，其中R称为收敛半径。xR时不定10时，Ra求收敛半径的方法：设limn1，其中a，a是(3)的系数，则0时，R幂nn1nan时，R0级数在收敛域上的性质：若幂级数axn的收敛半径为R，bxn的收敛半径为R，则n1n2n1n1(ab)xnaxnbxn，收敛半径RminR,R。nnnn12n1n1n111例：幂级数xn的收敛域为_______________nn2nn2nn2n111解：由于lim1,lim，xn的收敛半径为1,xn的收敛nn1n1n2n12nn2nn2n21111半径为2，xn的收敛半径为1，当x1时，级数xn绝对收敛，nn2nnn2nn2n2所以，收敛域为1,1。当两个幂级数的收敛域不同时，它们的和的收敛域是两个收敛域的交集，这种方法可以简化求幂级数的收敛域。幂级数在收敛域R,R上绝对收敛，且和函数S(x)为连续函数。若axn在-R或R处nn1收敛，则S(x)在-R或R处分别右连续、左连续。和函数S(x)为可导函数且S、xanxn1，逐项求导后收敛半径不变。和函数S(x)为可积函数且nn1xxStdtatndt，逐项积分后收敛半径不变。逐项求导、逐项积分后，收敛半径00nn1不变但收敛域可能改变，在端点处的敛散性可能改变。若幂级数axn在xx处发散，则当xx时级数axn发散。如果在某点n00nn1n1xx处幂级数条件收敛，则xx必位于该幂级数的收敛域的端点。00a例：设幂级数ax-1n在x=3处条件收敛，则幂级数nxn1在x=3处（C）nn1n1n1A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性与a相关n解：原幂级数在x=3处条件收敛说明收敛半径为3-1=2。幂级数经逐项积分、平移后，收敛半径不变，所以后一幂级数的收敛域为（-2，2]。X=3在收敛域外，所以在该点处发散。a幂级数axn收敛半径的求法：设limn1或limna可以为，则当nnnann1n10时R=;当=时R=0；当0，时R=。此种求收敛半径的方法是充分条件，a若limn1不存在时并不能说收敛半径不存在，因为收敛半径总是存在的。对于类似nanuax2n、ax3n等级数的收敛半径不能这样做，应根据limn11求收敛半径。nnnun1n1n2n!2n!例：求x2n的收敛半径。解：设ux2n,用比值判别法，n!2nn!2n1u2n22n112n!由limn1limx24x2得：当x时4x21，级数x2n绝对收敛；nunn122n!2nn112n!1当x时4x21，级数x2n发散；所以收敛半径为R。2n!22n1a2n22n11错解：由公式limn1lim4，所以R。nann124nn小试身手：幂级数x2n的收敛半径为__________（答案：3）2n3nn1级数的和的求法：观察所给幂级数通项xn的系数a，若a为n的简单有理式，则通过拆项将其拆成更nn简单的分式之和；通过逐项积分，设法消去分式中分子的n(或n-1,n+1等)；通过逐项1求导，设法消去分式中分母的n(或n-1，n+1等)；最后设法利用级数之和xn。1xn0若a的分母为n!或2n!或2n-1!也可通过上述方法化简，最后利用ex,sinx,cosx的展开n式求和。若a的分母为2n!!或2n-1!!也可通过上述方法化简，最后利用1xm的展n开式求和。幂级数求和还应求出收敛域。常用方法举例：设sxaxn,用下列两种nn1、xa途径求和函数sx：（1）sx(naxn1)dx；（2）sxnxn1。0nn1n1n1用幂级数求和的方法求某些数项级数的和时，要找到一个适当的幂级数，求出它的和，再命x为某值得到欲求的数项级数的和。已知某些和求另一些与此相关的和时，关键步骤时，将欲求的前n项部分和表示成已知部分和，然后取极限。函数展开成幂级数：直接展开法：利用泰勒级数公式，将函数在某个区间上直接展开成指定点的泰勒级数。f(x)f(n)(x)函数展开成泰勒级数：f(x)f(x)(xx)0(xx)20(xx)n002!0n!0f(n1)()余项：R(xx)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limR0n0n(n1)!nf(0)f(n)(0)x0时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)f(0)xx2xn02!n!fx展开成x的幂级数的步骤：1求出fnxn1,2,...;2求fn0n1,2,...;f(0)f(n)(0)3写出f(0)f(0)xx2xn并求出敛散半径R；2!n!f(n1)()4当xR,R时，limRxlimxn10位于0与x之间是fx的nnn(n1)!f(0)f(n)(0)迈克劳林级数收敛的充要条件。此时f(x)f(0)f(0)xx2xn2!n!间接展开法：通过一定的运算（主要是加减法，数乘运算，逐项积分和逐项求导运算）将函数转化为其它函数，进而利用新函数的幂级数（主要是一些简单函数的迈克劳林展开式）展开将原来函数展开为幂级数。间接法是将函数展开为幂级数的主要方法，具体方法是：①先求导，展开成幂级数后在积分；②先积分，展开成幂级数后在求导。当然，中间还要通过一些适当的运算。一些常用函数展开成幂级数：m(m1)m(m1)(mn1)(1x)m1mxx2xn　(1x1)2!n!n1112n3!!1x1xxn1x122n!!n2n112n1!!12n1!!1xn1x1，1xn1x11x2n!!1x2n!!n1n111xx2...1nxn...1x11x111xx2..xn...1x1，12x...nxn1...1x11x1x2x2xn1x2x3xnln1xx......，ex1x......x2n12!3!n!x3x5x2n1sinxx(1)n　(x)3!5!(2n1)!x2x4x2ncosx1...1n...x2!4!2n!x2x3xn1ln1xx...1n...1x123n1eixeixeixeix欧拉公式：eixcosxisinx　　cosx　sinx22三角级数：af(t)AAsin(nt)0(acosnxbsinnx)0nn2nnn1n1其中，aaA，aAsin，bAcos，tx。00nnnnnn正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在[,]上的积分＝0。傅立叶级数：af(x)0(acosnxbsinnx)，周期2，2nnn111其中af(x)cosnxdx　，bf(x)sinnxdx　(n1,2,3)nn11211121,3252822426224111211121　（相加）,1（相减）2232426223242122正弦级数：a0，bf(x)sinnxdx　n1,2,3　f(x)bsinnx是奇函数nnn02a余弦级数：b0，af(x)cosnxdx　n0,1,2　f(x)0acosnx是偶函数nn2n0anxnx周期为2l的周期函数的傅立叶级数：f(x)0(acosbsin)，2nlnln11lnx1lnx周期为2l,其中af(x)cosdx　，bf(x)sindx　(n0,1,2,3)nllnllll当x是f(x)的连续点时，该级数收敛于f(x)；当x是f(x)的间断点时，该级数收敛于f(x)fxfx在该点的左右极限的平均值。24.2.例题选讲1例1.试求无穷级数arctan的和。n2n1n1tanxtany解：由于tanxy,1tanxtanytanxtany当xy时有xyarctantanxyarctan21tanxtany11111arctanarctannn1arctanarctan211nn11nn1nn11arctann2n14n1U例2.设U是单调递增且有界的正数数列，证明：级数1n收敛。nUn1n1UUUUU证明：由于U单调递增，则01nn1nn1n,nUUUn1n11nUUUUi1in11，由U单调递增且有界得limU存在nnUUni111UUU级数n1n收敛，级数1n收敛UUn11n1n11例3.求级数arctan的和。2n2n1nn11n1nnn1解：tanarctanarctan2nn12n1n1nn1n1nn1arctanarctanarctan2n2n1n1narctanlimarctan2n2nn14n1ann!例4.讨论级数a0的敛散性。nnn1an1n1!nn1nn1n111n1a解：limalim1alim1nann!nn1nn1enn当a>e时，级数发散；当0