复习建议：函数是高中数学最重要的基础知识，在一套高考试卷中考查到函数以及与函数相关问题的试题数量是较多的，但在本节中我们主要是研究函数概念、函数
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示方法、函数性质，以及指数函数、对数函数、幂函数本身的问题，在复习时要以此为重点．函数问题中的重点是函数的性质，难点是函数性质的综合运用，特别是在抽象函数中函数性质的综合运用，在复习中注意引导学生抓住这个重点，通过例、习题掌握使用函数性质分析问题、解决问题的基本方法．1.函数的概念及其表示函数的定义域和值域均为非空的数集，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．
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函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.3．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0
1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；(2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情?探究点一函数的概念的理解和性质的应用例1(1)[2012·山东卷]函数f(x)＝1ln?x＋1?＋4－x2的定义域为()A．[－2,0)∪(0,2]B．(－1,0)∪(0,2]C．[－2,2]D．(－1,2](2)[2012·福建卷]设函数D(x)＝?????1，x为有理数，0，x为无理数，则下列结论错误的是()A．D(x)的值域为{0,1}B．D(x)是偶函数C．D(x)不是周期函数D．D(x)不是单调函数[思考流程](1)(分析)观察所给函数解析式的形式?(推理)利用对数、分式和根式有意义的条件列出不等式组?(结论)解不等式组并求交集得出函数的定义域．(2)(分析)欲判断选项结论需根据新函数定义和函数性质进行?(推理)根据D(x)的定义，利用函数值域、偶函数、周期函数、函数单调性概念，逐项作出判断?(结论)参照选项作出选择．[答案](1)B(2)C[解析](1)方法一(特值法)：当x＝－2时，ln(x＋1)无意义，排除A，C；当x＝0时，ln(0＋1)＝ln1＝0，不能充当分母，所以排除D.故选B.方法二：要使函数有意义，则有?????x＋1>0，ln?x＋1?≠0，4－x2≥0，即?????x>－1，x≠0，－2≤x≤2，即－10，此时x＝0时，y＝ab2>0，即函数图象与y轴正半轴有一个交点；x＝a是函数的变号零点，x＝b是函数的不变号零点．综合上述特征，只能是选项B中的图象．方法2：函数是一个三次项为负的三次函数，这类函数的基本特征是从左到右先单调递减，再单调递增(如果无极值点则仍然单调递减)，再单调递减，由此看只能是选项A，B中的图象，再结合y′＝－(x－b)2＋(a－x)·2(x－b)＝(x－b)[－3x＋2a＋b]得出函数有一个极值点x＝b，即可确定只能是选项B中的图象．[答案](1)B(2)B(2)方法1：函数f(x)满足x＋1>0且ln(x＋1)－x≠0，即x>－1且ln(x＋1)－x≠0，设g(x)＝ln(x＋1)－x，则g′(x)＝1x＋1－1＝－xx＋1，由于x＋1>0，显然当－10，当x>0时g′(x)<0，故函数g(x)在x＝0处取得极大值，也是最大值，故g(x)≤g(0)＝0，当且仅当x＝0时g(x)＝0，故函数f(x)的定义域是(－1,0)∪(0，＋∞)，且函数g(x)在(－1,0)∪(0，＋∞)的值域为(－∞，0)，故函数f(x)的值域也是(－∞，0)，且在x＝0附近函数值无限小，观察各个选项中的函数图象，只有选项B中的图象符合要求．方法2：(特殊值检验法)x＝0时，函数无意义，排除选项D中的图象，x＝1e－1时，f??????1e－1＝1ln1e－??????1e－1＝－e<0，排除选项A，C中的图象，故只能是选项B中的图象．注：这里选取特殊值x＝1e－1∈(－1,0)，这个值可以直接检验选项A，C，这种取特值的技巧在解题中很有用处[点评]根据函数的解析式判断函数图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时可结合部分特殊函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法．变式题函数y＝ln??????1x与y＝－x2＋1在同一平面直角坐标系内的大致图象为()图1－2－3[解析]函数y＝ln??????1x＝－ln|x|，是偶函数，且在x>0时，函数单调递减，排除选项A，B；函数y＝－x2＋1中y≤－1，排除选项D中的图象，只能是选项C中的图象．[答案]C?探究点三基本初等函数的性质及其应用例3(1)[2012·江西卷]若函数f(x)＝?????x2＋1，x≤1，lgx，x>1，则f(f(10))＝()A．lg101B．2C．1D．0(2)设a＝??????120.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>cB．alog0.30.3＝1，即c>1.所以bb>aB．b>a>cC．a>b>cD．b>c>a[解析]x∈(e－1，1)时，a＝lnx∈(－1,0)，b＝??????12lnx>1，c＝elnx＝x∈(e－1，1)．所以b>c>a.[答案]D?技巧当奇函数在x＝0处有定义时，一定有f(0)＝0(反之不真)；在函数的奇偶性问题中使用函数奇偶性的定义是对函数定义域内任意x恒成立(当然对定义域内的特殊值也成立)得到关于x的恒等式，从而确定函数解析式中的字母参数问题(在选择题和填空题中也可以使用特殊的函数值)．?易错忽视函数的定义域，分段函数中分段点处混用函数解析式，复合函数值计算层次混乱．推理论证能力——函数问题中的代数推理示例[2012·福建卷]函数f(x)在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有f??????x1＋x22≤12[f(x1)＋f(x2)]，则称f(x)在[a，b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的；②f(x2)在[1，3]上具有性质P；③若f(x)在x＝2处取得最大值1，则f(x)＝1，x∈[1,3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有f（x1＋x2＋x3＋x44）≤14[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)]．其中真命题的序号是()A．①②B．①③C．②④D．③④[命题阐释]本题以函数为背景给出了一个新定义，目的是考查学生利用反例否定命题、利用演绎推理证明一般命题的能力，重点考查在代数问题中进行逻辑推理的能力．[思考流程](分析)欲判断各个命题是否为真，只需举反例否定或演绎证明为真?①推理：根据定义构建函数，图象不连续但符合定义?(结论)对命题①的真假作出判断；②推理：根据定义构造函数f(x)，f(x)符合定义要求但f(x2)不符合定义要求?(结论)对命题②的真假作出判断；③推理：证明f(x)＝1，只要证明f(x)≤1且f(x)≥1?(结论)对命题③的真假作出判断；④推理：x1，x2，x3，x4∈[1,3]?x1＋x22，x3＋x42∈[1,3]，代入定义中的不等式?(结论)对命题④的真假作出判断．[解析]考虑函数f(x)＝?????1，1≤x<3；2，x＝3.否定命题①；考虑函数f(x)＝－x，x∈[1,3]，否定命题②；设x∈[1,3]，则4－x∈[1,3]，根据定义f????????x＋?4－x?2≤12[f(x)＋f(4－x)]，即f(x)＋f(4－x)≥2，根据已知f(x)的最大值为1，所以f(x)≤1，f(4－x)≤1，即只能f(x)＝1，所以③是真命题；x1，x2，x3，x4∈[1,3]时，x1＋x22，x3＋x42∈[1,3]，代入可得f????????x1＋x2＋x3＋x44≤f?x1?＋f?x2?＋f?x3?＋f?x4?4，所以④是真命题．[答案]D[跟踪练]1．已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)，y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且f(4)＝4，则f(2012)＝()A．0B．－4C．－8D．－162．已知定义在R上的函数f(x)满足f??????x＋32＝－f(x)，且函数y＝f??????x－34为奇函数，给出三个结论：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于点??????－34，0对称；③f(x)是偶函数．其中正确结论的个数为()A．3B．2C．1D．0[解析]由y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称可知，f(x)的图象关于点(0,0)对称，即为奇函数，令x＝－3可知，f(3)＋f(－3)＝2f(3)，进而f(－3)＝f(3)，又f(－3)＝－f(3)，可知f(3)＝0，所以f(6＋x)＋f(x)＝0，可知f(x)是一个周期为12的周期函数，所以f(2012)＝f(－4)＝－f(4)＝－4.故选B.1．[答案]B[解析]由f??????x＋32＝－f(x)，得f(x＋3)＝－f??????x＋32＝f(x)，可得3是函数f(x)的一个周期，故结论①正确；由于函数y＝f??????x－34为奇函数，其图象关于坐标原点对称，把这个函数图象向左平移34个单位即得函数y＝f(x)的图象，此时对称中心移到点??????－34，0，故f(x)的图象关于点??????－34，0对称，结论②正确；2．[答案]A由于函数y＝f??????x－34为奇函数，故－f??????x－34＝f??????－x－34，以x＋34代换x得－f(x)＝f??????－x－32，又f??????x＋32＝－f(x)，所以f??????x＋32＝f??????－x－32，以x－32代换x得f(x)＝f(－x)，故f(x)是偶函数，结论③正确．(注：f(x＋a)为奇函数??x，f(－x＋a)＝－f(x＋a))选题理由：例1为指数函数、三角函数交汇类试题，解题中要研究函数的奇偶性以及函数值的变化规律，才能较好地作出判断，该题对学生解答图象分析类试题具有较好的示范作用；例2考查指数函数、对数函数和不等式等，其中最值的求解方法很丰富，是一题多解的好题；例3的主要思想是函数与方程，把问题转化为方程的解，是一个训练学生等价转化问题方法的较好题目．这三个题目可作为探究点二、三的补充．例1[2012·山东卷]函数y＝cos6x2x－2－x的图象大致为()[解析]由函数y＝cos6x2x－2－x为奇函数，排除选项A，当x无限大时，y趋向于0，排除选项C，当x从正数趋向于0时，y趋向于正无穷大，故选D.[答案]D例2[2012·湖南卷]已知两条直线l1：y＝m和l2：y＝82m＋1(m＞0)，l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，ba的最小值为()A．162B．82C．834D．434[解析]考查函数的图象变换、均值不等式和对数方程，以及数形结合和函数与方程思想，综合程度高，难度也较大，关键是转化为关于m的代数式最值问题．线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，由已知可求出ABCD四点的横坐标得a＝|xA－xC|＝????????2－m－2－82m＋1，b＝|xB－xD|＝????????2m－282m＋1，[答案]B所以ba＝????????2m－282m＋1????????2－m－2－82m＋1＝2m＋82m＋1，令t＝m＋82m＋1＝??????m＋12＋4m＋12－12≥2??????m＋124m＋12－12＝4－12，ba＝2m＋82m＋1≥24－12＝82，所以最小值为82.例3对于定义域为D的函数f(x)，若存在区间M＝[a，b]?D(a＜b)，使得{y|y＝f(x)，x∈M}＝M，则称区间M为函数f(x)的“等值区间”．给出下列四个函数：①f(x)＝2x；②f(x)＝x3；③f(x)＝sinx；④f(x)＝log2x＋1.则存在“等值区间”的函数的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]问题等价于方程f(x)＝x在函数的定义域内是否存在至少两个不相等实根．由于2x>x，故函数f(x)＝2x不存在等值区间；由于x3＝x有三个不相等实根x＝－1,0,1，故函数f(x)＝x3存在三个等值区间[－1,0]，[0,1]，[－1,1]；由于sinx＝x只有唯一的实根x＝0，故函数f(x)＝sinx不存在等值区间；由于log2x＋1＝x有实根x＝1，x＝2，故函数f(x)＝log2x＋1存在等值区间[1,2]．(注：在x>0时sinxx恒成立，只有在x＝0时，sinx＝x，这个结论可以使用导数的方法进行证明．函数y＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，这既可以看作是幂函数的性质的应用，也可以使用导数的方法进行证明)[答案]B再见！
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