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学案6　函数的奇偶性与周期性自主梳理1．函数奇偶性的定义如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有______________，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有____________，则称f(x)为偶函数．2．奇偶函数的性质(1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝____；f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(|x|)⇔f(x)－f(－x)＝____.(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于____轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于________对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性．3．函数的周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x＋T)＝________，则称f(x)为________函数，其中T称作f(x)的周期．若T存在一个最小的正数，则称它为f(x)的________________．(2)性质：①f(x＋T)＝f(x)常常写作f(x＋eq\f(T,2))＝f(x－eq\f(T,2))．②如果T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)．③若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝eq\f(1,fx)或f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)(a是常数且a≠0)，则f(x)是以______为一个周期的周期函数．自我检测1．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是(　　)A．1B．2C．3D．42．[2014·全国新课标卷Ⅰ]设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数3．[2014·重庆卷]下列函数为偶函数的是(　　)A．f(x)＝x－1B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－xD．f(x)＝2x＋2－x.4．（2013年高考山东卷（文））已知函数为奇函数,且当时,,则（　　）A．2B．1C．0D．-25．(2011·开封模拟)设函数f(x)＝eq\f(x＋1x＋a,x)为奇函数，则a＝________.探究点一　函数奇偶性的判定例1　判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；(2)f(x)＝log2(x＋eq\r(x2＋1))；变式迁移1　判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x2－x3；(2)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；(3)f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋3|－3).探究点二　函数单调性与奇偶性的综合应用例2　（2013年高考天津卷（文））已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间单调递增.若实数a满足,则a的取值范围是（　　）A．B．C．D．变式迁移2　(2011·承德模拟)已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．探究点三　函数性质的综合应用例3　、[2014·湖北卷]已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　)A．{1，3}B．{－3，－1，1，3}C．{2－eq\r(7)，1，3}D．{－2－eq\r(7)，1，3}变式迁移3　[2014·全国卷]奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝(　　)A．－2B．－1C．0D．11．．（2013年高考重庆卷（文））已知函数,,则（　　）A．B．C．D．2．（2013年高考辽宁卷（文））已知函数（　　）A．B．C．D．3．（2013湖北卷）x为实数,表示不超过的最大整数,则函数在上为（　　）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数4（2012年高考（上海文））已知是奇函数.若且.,则_______.5．2013年高考安徽（文））定义在上的函数满足.若当时.,则当时,=________________.学案6　函数的奇偶性与周期性答案自主梳理1．f(－x)＝－f(x)　f(－x)＝f(x)2．(1)0　0　(2)y　原点　(3)相反3．(1)f(x)　周期　最小正周期　(2)③2a自我检测1．B　[因为f(x)为偶函数，所以奇次项系数为0，即m－2＝0，m＝2.]2．C3．．D　[解析]A中，f(－x)＝－x－1，f(x)为非奇非偶函数；B中，f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x，f(x)为非奇非偶函数；C中，f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数；D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，f(x)为偶函数．故选D4．D　5．－1解析　∵f(－1)＝0，∴f(1)＝2(a＋1)＝0，∴a＝－1.代入检验f(x)＝是奇函数，故a＝－1.课堂活动区例1　解　(1)定义域要求≥0且x≠－1，∴－1

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