第4章4．2相似三角形由平行线截得的比例线段第1课时两个三角形相似的浙教版·九年级上册判定(一)1．(5分)已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形()CA．一定不相似C．一定相似B．不一定相似D．不确定是否相似A90°，3．(5分)如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的点．若∠AEF＝则一定有()A．△ADE∽△ECFC．△ADE∽△AEFB．△ECF∽△AEFD．△AEF∽△ABF5．C(6分)ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连结AE并延长交DC于点F，则DF∶FC＝()A．1∶4C．1∶2B．1∶3D．1∶16．(6分)如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，∠A＝∠D，要使∠B＝DEF∠DEC(答案不唯一)△ABC∽△，还需添加一个条件，你添加的条件是________________________．(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)487．(6分)如图，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶小孔插入桶内，测得木棒插入部分AB的长为100cm，木棒上沾油部分DB的长为60cm，桶高AC为80cm，则桶内油面CE的高度是____cm.8．(12分)已知在边长为1的正方形ABCD中，点E是AB的中点，CF⊥DE，垂足为点F.(1)试判断△CDF与△DEA是否相似，请说明理由；(2)求CF的长．解：(1)△ADE∽△FCD，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AB∥CD，∴∠CDF＝∠DEA.又∵CF⊥DE，∴∠CFD＝∠A，∴△ADE∽△FCD.122(2)由题意知AD＝CD＝1，AE＝，∴在Rt△DEA中，DE＝AD＋AE＝2CFCDAD·CD25由(1)可知△ADE∽△FCD，∴＝，则CF＝＝.ADDEDE51251＋（）＝.22211.(6分)定义：已知点P是△ABC一边上的一点(点P不与点A，B，C重合)，过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线3为过点P的△ABC的“相似线”．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有____条．点拨：最多有以下3种情况：①当PD∥CB时，△APD∽△ACB；②当PE∥AB时，△CPE∽△CAB；③当PF⊥AB时，△APF∽△ABC.12．(14分)如图，在ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)3若AB＝38，AD＝6，AF＝4，求AE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C＋∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC.∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC.ADAF(2)∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝8.由(1)知△ADF∽△DEC，∴＝，∴DECDAD·CD63×82222DE＝＝＝12，∴AE＝DE－AD＝12－（63）＝6.AF43【拓展创新】13．(18分)小红同学遇到了这样一个问题：如图①所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P.设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2＋b2＝5c2.EPPFEF1＝＝＝小红同学仔细分析后，得到如下解题思路：BPPABA2先连结EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故.设PF＝m，PE＝n，用m，n分别把PA，PB
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示出来，再分别在Rt△APE，Rt△BPF和Rt△APB中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证．(1)请你根据以上解题思路帮小红同学写出证明过程；(2)利用题中的结论，解答问题：如图②，在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连结BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，求MG2＋MH2的值．解：(1)设PF＝m，PE＝n，连结EF，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF为△ABC的中位线，111EPPFEF1nm1AE＝b，BF＝a，∴EF∥AB，EF＝AB，∴△EFP∽△BAP，∴＝＝＝，即＝＝，222BPPABA2PBPA222222122∴PB＝2n，PA＝2m.在Rt△AEP中，∵PE＋PA＝AE，∴n＋4m＝b①.在Rt△BFP中，∵PF4121222222222222＋PB＝BF，∴m＋4n＝a②.由①＋②，得5(n＋m)＝(a＋b)，∴a＋b＝20m＋20n.44在Rt△ABP中，∵AP2＋BP2＝AB2，∴4m2＋4n2＝c2，∴a2＋b2＝5c2.1(2)连结EF，∵E，F分别为OA，OD的中点，∴EF=AD.∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AD，212222∴EF∥BC，且EF＝BC.∴CE，BF为△MBC的中线，∴由题中结论得MB＋MC＝5BC＝5×32AE1＝45.∵四边形ABCD为菱形，∴OA＝OC，OB＝OD.又∵E，F分别为OA，OD的中点，∴＝，CE3DF1AGAE1＝.∵AG∥BC，∴△AEG∽△CEB，∴＝＝，∴AG＝1.同理可得DH＝1.∴GH＝1.∵GHBF3BCCE3MGMHGH1222∥BC，∴△MGH∽△MBC，∴＝＝＝，∴MB＝3GM，MC＝3MH，∴9MG＋9MH＝45，∴MGMBMCBC32＋MH＝5.3课时两个三角形相似的判定(三)第1．(4分)已知△ABC的三边长分别为9，6，12，△DEF的三边长分别为4，6，C8，则这两个三角形()A．一定不相似B．不一定相似C．一定相似D．无法判断是否相似C2．(4分)下列说法中，正确的是()A．两个直角三角形相似B．两个等腰三角形相似C．两个等边三角形相似D．两个锐角三角形相似3．(4分)(2017·D河北)若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比()A．增加了10%B．减少了10%C．增加了(1＋10%)D．没有改变5．(4分)下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与右图中的△BABC相似的三角形所在的网格图形是()6．(5分)已知在△ABC和△A1B1C1中，AB＝12cm，AC＝15cm，BC＝21cm，20A1B1＝16cm，B1C1＝28cm，则当A1C1＝____cm时，△ABC∽△A1B1C1.8．(10分)如图，已知点D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点．(1)求证：△DEF∽△ABC；(2)图中还有哪几个三角形与△ABC相似？解：(1)证明：∵D，F分别是BC，BA的中点，∴DF＝12AC，同理可得EF＝12BC，则DFAC＝EFCB＝EDAB＝12，∴△DEF∽△ABC.(2)图中与△ABC相似的三角形还有△AFE，△FBD和△EDC.DE＝12AB，10．(4分)如图，已知∠AOD＝90°，OA＝OB＝BC＝CD，那么下列结论成立的C是()A．△OAB∽△OCAC．△BAC∽△BDAB．△OAB∽△ODAD．以上结论都不成立411.(4分)各顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．如图，在4×8的方格网中，以M，N为顶点且与△ABC相似的格点三角形共有____个12．(8分)如图，已知AB∶AD＝BC∶DE＝AC∶AE，请猜想∠ABD与∠ACE的关系，并说明理由．解：∠ABD＝∠ACE.理由如下：∵AB∶AD＝BC∶DE＝AC∶AE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE.又∵AB∶AD＝AC∶AE，∴△BAD∽△CAE，∴∠ABD＝∠ACE.13．(8分)如图所示的是由4个边长为1的小正方形组成的图形，请求出∠ABC的度数．ABADBD解：由题意，得AB＝10，AD＝2，BC＝5，DC＝1，BD＝2，∴＝2，＝2，BCBDDCABADBD＝2，∴＝＝，∴△ABD∽△BCD，∴∠BAD＝∠CBD，∴∠1＝∠BAD＋∠ABD＝∠ABDBCBDDC＋∠CBD＝45°，即∠ABC＝45°.14．(12分)如图，在正方形网格(每个小正方形的边长均为1)上有△ABC和△DEF.(1)这两个三角形相似吗？为什么？(2)求∠A的度数；(3)请在网格中再画一个格点三角形，使它与△ABC相似，并求出其相似比．解：(1)由题意，得AB＝1＋2＝5，AC＝2＋6＝210，BC＝5，DE＝1，DF＝1＋2ABACBC22＝5，EF＝2＋2＝22，∴＝＝＝5，∴△ABC∽△EDF.DEEFDF(2)取AC的中点O，连结BO，则易得△ABO是等腰直角三角形，∴∠A＝45°.(3)答案不唯一，如：如图，△A′B′C′∽△ABC，它们的相似比是2.222222【拓展创新】15．(14分)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：(1)试证明△ABC是直角三角形；(2)试判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个点，并且与△ABC相似．解：(1)证明：根据勾股定理，得AB＝25，AC＝5，BC＝5，∴AB＋AC＝BC，∴△ABC为直角三角形．(2)△ABC∽△DEF，理由如下：根据勾股定理，得AB＝25，AC＝5，BC＝5，DE＝42，ABACBC5DF＝22，EF＝210，∴＝＝＝，∴△ABC∽△DEF.DEDFEF22(3)如图所示，△P2P4P5即为所求．222
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