第二章22 222第2课时椭圆方程及性质的应用

第二章22 222第2课时椭圆方程及性质的应用第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆方程及性质的应用高效演练知能提升A级基础巩固一、选择题x21•已知直线I:X+y—3=0,椭圆—+y2=1,则直线与椭圆的位置关系是（）B.相切A.相交C.相离D.相切或相交x2解析：把X+y—3=0代入—+y2=1,得X2+(3—X)2=1,即5x2—24X+32=0.因为△=(—24)2—4X5X32=—64<0,所以直线与椭圆相离.答案：C2.如图，直线I:X—2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B,该椭圆的离心率为（）解析：因为X—2...

第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆方程及性质的应用高效演练知能提升A级基础巩固一、选择题 x21•已知直线I:X+y—3=0,椭圆—+y2=1,则直线与椭圆的位置关系是（）B.相切A.相交C.相离D.相切或相交x2解析：把X+y—3=0代入—+y2=1,得X2+(3—X)2=1,即5x2—24X+32=0.因为△=(—24)2—4X5X32=—64<0,所以直线与椭圆相离.答案：C2.如图，直线I:X—2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B,该椭圆的离心率为（）解析：因为X—2y+2=0,所以即c21斤匚门a25一=2，所以C2=4,1y=2X+1,即b=1c2^答案：D3.椭圆22+晋=1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是A.8,C.5,B.5,4解析:因为a=5,c=4,所以最大距离为a+c=9,最小距离为a-c=1.答案：D4•过椭圆X12+2y2=4的左焦点作倾斜角为n的弦AB则弦AB的长为（3解析：由y2=迥(X+)，消去y整理得7X2+12存+8=0,X+2y=4,由弦长公式得|AB=71+(V3)2X/816—4X—=—丿77答案：B225•已知F是椭圆莘+y=1的一个焦点,259AB为过其中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为（A.6B.15C.20D.12D.9,1解析:x2y27.已知椭圆方程是9+¥=1,则以A(1,1)为中点的弦MN所在的直线方程为解析：设Mx1,y1),N(x2,y2),则曽+攀=1，①94x22y22-可+^4-=2①-②得(x1+x2)(x1—x2)—(y1+y2)(y1—y2)所以k=x1—2=-g=4X2=4=—9X2=—g.所以直线l的方程为y—1=—9(x—1),即4x+9y—13=0.答案：4x+9y—13=08.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为芈过F1的直线I交C于A,22xy答案：16+8=1B两点，且△ABF的周长为16,那么C的方程为三、解答题x2y29.在椭圆7+万=1上求一点P，使它到直线I:3x—2y—16=0的距离最短，并求出最短距离.解：设与椭圆相切并与I平行的直线方程为y=|x+m代入乎+y2=1,并整理得4x2+3mx+n2—7=0,△=9n2—16(n2—7)=0?n2=16?n=±4,33故两切线方程为y=2X+4和y=尹—4,显然y=|x—4距I最近，且最短距离d=,|16-8L^=吝，切点为P|,—7J.2'^32+(—2)2pH'24丿l与椭圆C相交于A,B两x2y210.设椭圆C眨+^2=1(a>b>0)的右焦点为F,过F的直线点，直线I的倾斜角为60°,AF=2FB⑴求椭圆C的离心率;15⑵如果|AB=；4，求椭圆C的方程.解：设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知，yi<0，y2>0.(1)直线I的方程为y=V3(x—c)，其中c=#a2-b2,jy=\f3(x-c),联立(x21y2,得(3a2+b2)y2+^3b2cy-3b4=0,[0?+臣=1，解得y1=海4，y2=M…3a2+b23a2+b2因为AF=2FB,所以一y1=2y2,前P3b2(c+2a)-U3b2(c-2a)即3a2+b2==•3a2+b2得离心率e=-=3.a3(2)因为丨AB=yj1+3|y2-y1|,所以念-弊T由a=3,得b2=5a2,b=当,代入上式得4a=~，所以a=3,b={5,x2y2故椭圆C的方程为—+；=1.B级能力提升1.已知椭圆¥+£=1(a>b>0)的离心率是芈，过椭圆上一点M作直线MAMB分别交椭圆于A,B两点，且斜率分别为ki，k2，若点A,B关于原点对称,则ki•k2的值为()A.1B答案:2x22•已知椭圆C2+y2=1的右焦点为F,直线l:x=2,点ACl，线段AF交C于点B,fff若FA=3FB则|AF=•解析：设点A(2,n),B(xo,yo)•2由椭圆C：I+y2=1知a2=2,b2=1,所以c=1,即卩c=1,所以右焦点F(1,0)•所以由FA=3FB得(1,n)=3(xo—1,y。)•所以1=3(xo—1)且n=3yo.41所以xo=3,yo=^n.2x将xo,yo代入2+y2=1,解得n2=1,所以|AF=>/(2—1)2+n2=屮工1=^/2.答案:迄223•如图所示，点AB分别是椭圆訂+1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上，且位于x轴上方，PALPFr(1)求点P的坐标；⑵设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.解：⑴由已知可得点A—6,0),F(4,0),ff设点P的坐标是(X,y)，则AF=(x+6,y),FF=(x—4,y)•r-22lx-+仏=1由已知得i362o,〔(x+6)(x—4)+y2=o.则2x2+9x—18=o,即得x=2或x=—6.由于y>0,只能x=3，于是y=5/3.所以点P的坐标是G,⑵直线AP的方程是X-帝y+6=0.设点M的坐标是（m,0）,则M到直线AP的距离是号6于是哼=|m一6|,又一6WmK6,解得m=2,设椭圆上的点（X,y）到点M的距离d,有d2=（X-2）2+y2=X2—4x+4+20-9x2=9£—|]+15,由于一6KXK6.所以当x=9时，d取最小值屮511s=2IOF•Iy1-y2|<2I°F•2b=12.答案:二、填空题6.已知F1为椭圆CX2+y2=1的左焦点，直线I:y=x—1与椭圆C交于A,B两点,那么IF1A+1F1B的值为解析：设A(x1,y1),B(x2,y2),由$2+2y2=2，联立得：3x2—4x=0,y=X—1,可知：A(0，—1),B3,3］又F1(—1,0),所以|F1A|+|F1B|=罷+532=831.答案：呼3

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