圆锥曲线轨迹方程经典例题

----.可修编-.轨迹方程经典例题轨迹为圆的例题：必修2课本P124B组2：长为2a的线段的两个端点在轴和轴上移动，求线段AB的中点M的轨迹方程：必修2课本P124B组：M与两个定点〔0,0〕，A〔3,0〕的距离之比为，求点M的轨迹方程;〔一般地：必修2课本P144B组2：点M(,)与两个定点的距离之比为一个常数；讨论点M(,)的轨迹方程〔分=1，与1进展讨论〕必修2课本P122例5：线段AB的端点B的坐标是〔4,3〕，端点A在圆上运动，求AB的中点M的轨迹。〔2013新课标2卷文20〕在平面直角坐标系中，圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为。〔1〕求圆心的的轨迹方程；〔2〕假设点到直线的距离为，求圆的方程。如下图，P(4，0)是圆x2+y2=36的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，那么在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在上．〔1〕假设圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；〔2〕假设圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值围．〔2013卷理20〕动圆过定点，且在轴上截得弦的长为8.求动圆圆心的轨迹的方程；点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，假设轴是的角平分线，证明直线过定点。椭圆类型：定义法：〔选修2-1P50第3题〕点M(,)与定点F(2，0)的距离和它到定直线的距离之比为，求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)讨论：当这个比例常数不是小于1，而是大于1，或等于1是的情形呢？〔对应双曲线，抛物线〕圆锥曲线第一定义：〔选修2-1P50第2题〕一个动圆与圆外切，同时与圆切，求动圆的圆心轨迹方程。圆锥曲线第一定义：点M()圆上的一个动点,点〔1,0〕为定点。线段的垂直平分线与相交于点Q(,),求点Q的轨迹方程;(注意点〔1,0〕在圆)其他形式：〔选修2-1P50例3〕设点A,B的坐标分别是〔-5,0〕，〔5,0〕，直线AM,BM相交于点M，且他们的斜率的乘积为，求点M的轨迹方程:〔是一个椭圆〕〔讨论当他们的斜率的乘积为时可以得到双曲线〕〔2013新课标1卷20〕圆，圆，动圆与圆外切并且与圆切，圆心的轨迹为曲线。〔1〕求的方程；〔2〕是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求〔2013卷文20〕动点到直线的距离是它到点的距离的倍。〔1〕求动点的轨迹的方程〔2〕过点的直线与轨迹交于两点，假设是的中点，求直线的斜率。双曲线类型：8、圆锥曲线第一定义：点M()圆上的一个动点,点〔1,0〕为定点。线段的垂直平分线与相交于点Q(,),求点Q的轨迹方程;(注意点〔1,0〕在圆外)定义法：〔选修2-1P59例5〕点M(,)与定点F(5，0)的距离和它到定直线的距离之比为，求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)抛物线类型：10、定义法：〔选修2-1〕点M(,)与定点F(2，0)的距离和它到定直线的距离相等，求点M的轨迹方程。〔或：点M(,)与定点F(2，0)的距离比它到定直线的距离小1，求点M的轨迹方程。〕〔2013卷文20〕动点到直线的距离是它到点的距离的倍。〔1〕求动点的轨迹的方程〔2〕过点的直线与轨迹交于两点，假设是的中点，求直线的斜率三点，，，曲线上任意一点满足。〔1〕求曲线的方程；〕在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：〔x-5〕2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.〔Ⅰ〕求曲线C1的方程；〔〕设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨〔m>0,且m≠1〕。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。〔I〕求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；〔〕如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。(Ⅰ)求直线与直线交点M的轨迹方程;〔〕如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。〔Ⅰ〕求轨迹的方程；〔Ⅱ〕设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值围。1.(★★★★)椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.(★★★★)设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，那么直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为()A.B.C.D.二、填空题3.(★★★★)△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－,0),C(,0)，且满足条件sinC－sinB=sinA,那么动点A的轨迹方程为_________.4.(★★★★)高为5m和3m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，那么地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.(★★★★)A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.(★★★★)双曲线=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.8.(★★★★★)椭圆=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值.一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.2.解析：设交点P(x,y〕,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)∵A1、P1、P共线，∴∵A2、P2、P共线，∴解得x0=二、3.解析：由sinC－sinB=sinA,得c－b=a,∴应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：4.解析：设P(x,y〕，依题意有,化简得P点轨迹方程为4x2+4y2－85x+100=0.答案：4x2+4y2－85x+100=0三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为=1(y≠0)6.解：设P(x0,y0〕(x≠±a),Q(x,y).∵A1(－a,0),A2(a,0).由条件而点P(x0,y0)在双曲线上，∴b2x02－a2y02=a2b2.即b2(－x2)－a2()2=a2b2化简得Q点的轨迹方程为：a2x2－b2y2=a4(x≠±a).8.解：(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0〕,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,那么(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=2x0－c,y1=2y0.(2x0)2+(2y0)2=(2a)2∴x02+y02=a2.故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y≠0)(2)如右图，∵S△AOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB当∠AOB=90°时，S△AOB最大值为a2.此时弦心距|OC|=.在Rt△AOC中，∠AOC=45°，专题一：求曲线的轨迹方程课前自主练习：1．如图1，中，，，点在轴上方运动，且，那么顶点的轨迹方程是．图1图2图3图42．如图2，假设圆：上的动点与点连线的垂直平分线交于点，那么的轨迹方程是．3．如图3，点，点在圆上运动，的平分线交于，那么的轨迹方程是．4．与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为．5．如图4，垂直于轴的直线与轴及抛物线分别交于点、，点在轴上，且点满足，那么线段的中点的轨迹方程是．几种常见求轨迹方程的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：1．直接法：由题设所给〔或通过分析图形的几何性质而得出〕的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．直接法求轨迹方程的一般步骤：建系——设点——列式——代换——化简——检验；【例1】〔1〕求和定圆的圆周的距离等于的动点的轨迹方程；〔2〕过点作圆：的割线，求割线被圆截得弦的中点的轨迹．解：〔1〕设动点，那么有或．即或．故所求动点的轨迹方程为或．〔2〕设弦的中点为，连结，那么．∵，∴，化简得：．其轨迹是以为直径的圆在圆的一段弧〔不含端点〕．【例2】直角坐标平面上一点和圆：，动点到圆的切线长等于圆的半径与的和．求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．解：如图，设切圆于，又圆的半径，∴，∴，由．设，那么，∴，即．可化为．故所求的轨迹是以点为中心，实轴在轴上的双曲线的右支，顶点为，如图．【例4】定圆的半径为，定点与圆的圆心的距离为．又一动圆过定点，且与定圆相切．求动圆圆心的轨迹方程．解：以所在的直线为轴，以的中点为原点建立坐标系，如图．当动圆与定圆外切时，；当动圆与定圆外切时，．由双曲线的定义知动圆圆心的轨迹应是以、为两焦点的双曲线〔外切时为右支，切时为左支〕．显然，，又，故．所以所求的点轨迹方程是：．3．动点转移法：假设动点随曲线上的点的变动而变动，且、可用、表示，那么将点坐标表达式代入曲线方程，即得点的轨迹方程．这种方法称为动点转移法〔或代换法或相关点法〕．【例5】定点、为抛物线，上任意一点，点在线段的中点，当点在抛物线上变动时，求点的轨迹方程．解：设点，且设点，那么有．∵点是线段的中点．由中点坐标公式得：，∴．将此式代入中，并整理得：，即为所求轨迹方程．它是一条抛物线．4．待定系数法：当动点的轨迹是确定的某种曲线时，设出这种曲线的方程，然后列方程，求出所设的参数，进而求出方程．如求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．【例7】假设抛物线和以坐标轴为对称轴、实轴在轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线被双曲线截得的线段长等于，求此双曲线方程．解：设所求双曲线方程为，将代入整理得：．∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程应有等根．∴，即．由和得：．由弦长公式得：．即．由得：，．∴双曲线的方程是．5．参数法：当动点的坐标、之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量，并用表示动点的坐标、，从而动点轨迹的参数方程消去参数，便可得到动点的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有的围确定出、的围．【例8】抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于不同两点、，以、为邻边作平行四边形，求顶点的轨迹方程．解：设，：，中点为，，，与联立得：．，，．，．，∵，为中点，∴，．消得：．稳固练习：1．平面上和两相交的定圆〔半径不等〕同时相外切的动圆圆心的轨为〔　　〕〔A〕椭圆的一局部　　　〔B〕椭圆　　　〔C〕双曲线的一局部　　　〔D〕双曲线2．动点与定点的距离比动点到轴的距离大，那么动点的轨迹〔　　〕〔A〕抛物线　　　〔B〕抛物线的一局部　　　〔C〕抛物线和一射线　　　〔D〕抛物线和一直线3．定直线和外一点，过与相切的圆的圆心轨迹是〔　　〕〔A〕抛物线　〔B〕双曲线　　　　〔C〕椭圆〔D〕直线4．一动圆与两圆和都外切，那么动圆圆心轨迹为〔　　〕〔A〕圆　　　　〔B〕椭圆　　　　〔C〕双曲线的一支　　　　〔D〕抛物线5．椭圆的焦点是、、是椭圆上的一个动点．如果延长到，使得，那么动点的轨迹是〔　　〕〔A〕圆　　　　〔B〕椭圆　　　　〔C〕双曲线的一支　　　　〔D〕抛物线6．点、，动点满足，那么点的轨迹是〔　　〕〔A〕圆　　　　〔B〕椭圆　　　　〔C〕双曲线　　　　〔D〕抛物线7．与圆外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是〔　　〕〔A〕〔B〕和〔C〕〔D〕和8．过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于两点、，那么线段中点的轨迹方程为〔　　〕〔A〕　　〔B〕〔C〕　　〔D〕9．过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于A、B两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，假设，且，那么点的轨迹方程是〔　　〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕10．两点、，点为坐标平面的动点，满足，那么动点的轨迹方程为〔　　〕〔A〕　　〔B〕　　〔C〕　〔D〕11．与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程是〔　　〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕12．设为双曲线上一动点，为坐标原点，为线段的中点，那么点的轨迹方程是．13．，是圆：〔为圆心〕上一动点，线段的垂直平分线交于，那么动点的轨迹方程为．14．倾斜角为的直线交椭圆于、两点，那么线段中点的轨迹方程是．15．求焦点在坐标轴上，中心在原点且经过和两点的椭圆方程．16．双曲线与椭圆共焦点，它的一条渐近线方程为，那么双曲线的方程是．17．是椭圆上的任意一点，从右焦点作的外角平分线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．18．如图，直线：与直线：之间的阴影区域〔不含边界〕记为，其左半局部记为，右半局部记为．〔1〕分别用不等式组表示和；〔2〕假设区域中的动点到，的距离之积等于，求点的轨迹的方程；19．设椭圆方程为，过点的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．20．过双曲线：的左焦点作直线与双曲线交于、两点，以线段、为邻边作平行四边形，求顶点的轨迹方程．21．设点和为抛物线上原点以外的两个动点，，，求点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．