北京市第五十七中学2023届高三上学期开学考试数学试卷及答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页北京市第五十七中学2023届高三上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则（       ）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（       ）A．B．C．D．3．下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（       ）A．B．C．D．4．已知，，，则下列不等式错误的是（       ）.A．B．C．D．5．设，则“是第一象限角”是“”的                    A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（       ）A．18B．24C．36D．487．如果函数在定义域内存在区间，使在上的值域是，那么称为“倍增函数”，若函数为“倍增函数”，则实数的取值范围是（       ）A．B．C．D．8．已知函数是偶函数，则下列结论可能成立的是（       ）A．，B．，C．，D．，9．已知奇函数f(x)的定义域为且是f(x)的导函数.若对任意都有则满足的θ的取值范围是（       ）A．B．C．D．10．已知成等比数列，且．若，则A．B．C．D．二、填空题11．若复数，，则的共轭复数的虚部为______．12．若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是_______.13．若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是______．14．已知函数，给出下列命题：（1）无论取何值，恒有两个零点；（2）存在实数，使得的值域是；（3）存在实数使得的图像上关于原点对称的点有两对；（4）当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是.其中，所有正确命题的序号是___________.三、双空题15．已知正方形的边长为是的中点，点满足，则___________；___________.四、解答题16．已知数列的前n项和为，，.(1)求，；(2)若数列是等差数列，且，，求数列的通项公式；(3)设，求.17．中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．18．已知函数（，）．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数解析式的两个合理条件作为已知，条件①：的最大值为1；条件②：的一条对称轴是直线；条件③：的相邻两条对称轴之间的距离为．求：(1)函数的解析式；(2)若将函数图像上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位，得到函数的图像，若在区间上的最小值为，求的最大值．19．已知函数（）．(1)求的单调区间；(2)若，求证：函数只有一个零点，且；(3)当时，记函数的零点为，若对任意且，都有，求实数的最大值．20．已知函数.（1）判断函数在区间上的单调性，并说明理由；（2）求证：函数在内有且只有一个极值点；（3）求函数在区间上的最小值.21．给定整数，数列、、、每项均为整数，在中去掉一项，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为.将、、、中的最小值称为数列的特征值.（Ⅰ）已知数列、、、、，写出、、的值及的特征值；（Ⅱ）若，当，其中、且时，判断与的大小关系，并说明理由；（Ⅲ）已知数列的特征值为，求的最小值. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．B【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】由题知，再判断集合关系即可.【详解】解：不等式等价于，解得所以，因为所以，，.故选：B2．A【解析】根据任意角三角函数的概念可得出，然后利用诱导公式求解.【详解】因为角以为始边，且终边与单位圆交于点，所以，则.故选：A.【点睛】当以为始边，已知角终边上一点的坐标为时，则，.3．D【分析】先判断为偶函数，在上单调递增，再根据奇偶性的定义与单调性的定义，结合初等函数的性质依次判断各选项即可.【详解】解：对于函数，为偶函数，在上单调递增，所以对于A选项，为奇函数，不满足；对于B选项，不具有奇偶性，不满足；对于C选项，是偶函数，在上单调递减，不满足；对于D选项，是偶函数，且对于时，由于，所以，所以，所以，即.即函数在上单调递增，满足.故选：D4．D【分析】对A结合不等式化简可判断；对B，由，代换，再结合不等式性质可判断范围；对C，结合可判断；对D，结合基本不等式可判断.【详解】对A，由可得，故A正确；对B，因为，所以，，因为，所以，故B正确；对C，，化简得，故C正确；对D，，由得，即，故，故D项错误，故选：D5．C【详解】充分性：若是第一象限角，则,,可得，必要性：若，不是第三象限角，，，则是第一象限角，“是第一象限角”是“”的充分必要条件，故选C.【方法点睛】本题通过任意角的三角函数主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.6．C【分析】以为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，由圆方程设，写出向量的坐标，由数量积的坐标表示求出数量积，利用三角函数知识得最大值．【详解】骑行过程中，相对不动，只有点绕点作圆周运动．如图，以为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意，，，圆方程为，设，则，，，易知当时，取得最大值36．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值．7．D【分析】首先判断出的单调性，然后根据倍增函数的定义列式求得的取值范围.【详解】由于在定义域上是增函数，根据“倍增函数”的定义可知，且.则，所以.构造函数，即有两个解.，令，解得所以在区间上递减，在上递增，极小值也即是最小值为.注意到当时，，，当时，，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查新定义函数性质的理解和运用，考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，属于中档题.8．C【分析】根据题意，由偶函数的性质可得sin（x+α）=cos（-x-β），进而利用三角函数的和差公式化简可得sinxcosα+cosxsinα=cosxcosβ-sinxsinβ，分析可得sinα=cosβ，cosα=-sinβ，由三角函数诱导公式分析可得α=β+，分析选项即可得答案．【详解】根据题意，设x＞0，则-x＜0，则有f（x）=sin（x+α），f（-x）=cos（-x-β），又由函数f（x）是偶函数，则有sin（x+α）=cos（-x-β），变形可得：sin（x+α）=cos（x+β），即sinxcosα+cosxsinα=cosxcosβ-sinxsinβ，必有：sinα=cosβ，cosα=-sinβ，分析可得：α=β+，分析选项只有B满足α=β+，故选B．【点睛】本题考查偶函数的性质，涉及三角函数和差公式的应用，关键是利用偶函数的性质，得到关于α、β的三角恒等式．9．D【解析】令，先判断函数为奇函数，再判断函数在区间，上单调递减，由，得，即可求出．【详解】令，，，为奇函数，为偶函数，为奇函数．，，有，，在区间，上单调递减，又为奇函数，在区间，上单调递减，当，，，，，，故选：D【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.10．B【分析】先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.【详解】令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，，选B.【点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如11．##【分析】先计算得，再结合共轭复数，复数虚部的概念求解即可.【详解】解：因为复数，，所以，，所以的共轭复数为所以的共轭复数的虚部为故答案为：12．【详解】试题分析：时，是减函数，又，∴由得在上恒成立，．考点：1.三角函数的单调性；2.导数的应用．13．【分析】由题知，进而讨论得当，时，的值域为，再分和两种情况讨论求解即可.【详解】解：因为当时，，所以，要使函数的定义域和值域的交集为空集，则，当，时，值域中有元素，此时不满足题意，所以，当，时，的值域为，下面分两种情况讨论，当时，函数的值域为，要使条件满足，则，解得：当时，函数的值域为，要使条件满足，则，解得，综上，正数的取值范围是故答案为：14．（3）（4）【分析】本题考查函数的相关性质：（1）利用零点即对应方程的根进行分析处理；（2）结合图像分析值域；（3）考查对称点问题，转化为两个函数交点问题进行处理；（4）利用数形结合分析处理相关问题，把直线绕定点旋转确定临界位置．【详解】（1）显然则,若恒有两个零点，则有且只有一个零点，当时，无零点，不符合题意，∴（1）不成立；（2）显然，若的值域是，则的值域包含，则,但时，的对称轴，即在内递增，，∴（2）不成立；（3）的图像上关于原点对称的点有两对，则可得：有两解，当时，的对称轴，开口向下，与有两个交点，∴（3）成立；（4）如图，直线过定点,数学结合可知：,又∵,则,综上所诉：，∴（4）成立．故答案为：（3）（4）．15．        【详解】解：以A为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，所以，，设，所以，因为，所以，所以，又，所以.故答案为：；10.16．(1)；；(2)(3)【分析】（1）直接令求解即可；（2）结合（1）令得，进而求得的公差为，再根据通项公式求解即可；（3）根据得数列的通项公式，再结合（2）得，进而根据等比数列前项和公式求解即可.（1）解：令，则，解得，令，则，解得.所以；；（2）解：由（1）知；，所以令，则，解得.所以，，设等差数列的公差为，则，解得所以数列的通项公式为（3）解：由（1）知，时，，当时，，整理得，所以数列是等比数列，公比为，首项为所以.由（2）知，所以，所以，即数列是等比数列，公比为，首项为，所以17．（1）；（2）1【详解】试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解.试题解析：（1），，∵，，∴．由正弦定理可知.（2）∵，，∴．设，则，在△与△中，由余弦定理可知，，，∵，∴，∴，解得，即．考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．18．(1)选择条件①③得；(2)【分析】（1）由题知，进而结合已知条件选择①③能确定函数解析式，再求解即可；（2）结合函数平移变换得，进而根据题意得，再解不等式即可得答案.（1）解：，当选条件②，的一条对称轴是直线时，，即，显然不成立，条件①③能确定函数解析式，因为的最大值为1，的相邻两条对称轴之间的距离为所以，，解得，，所以，（2）解：根据题意得，因为，所以，因为在区间上的最小值为所以，，解得.所以，的最大值为.19．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）求出函数的定义域，求导，在分类讨论，根据导函数的符号即可求出函数的单调区间；（2）当时，由（1）知，的极小值为，极大值为，再结合零点的存在性定理即可得证；（3）因为，所以任意且，由（2）可知，且，由此能推导出使得恒成立的的最大值．（1）解：函数的定义域为，，令，则或，当，即时，，所以函数在上递增，当，即时，或时，，，，所以函数在上递减，在上递增，当，即时，或时，，，，所以函数在上递减，在上递增，综上所述，当时，函数的增区间为，当时，函数的减区间为，增区间为，当时，函数的减区间为，增区间为；（2）证明：当时，由（1）知，的极小值为，极大值为，因为，，且在上是减函数，所以至多有一个零点．又因为，所以函数只有一个零点，且；（3）解：因为，所以任意且，由（2）可知且，因为函数在上是增函数，在上是减函数，所以，，所以，当时，，所以，所以的最小值为，所以使得恒成立的的最大值为．【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查满足条件的实数的最大值的求法，考查推理论证能力，考查等价转化思想，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用，属于难题．20．（1）增函数，理由见解析（2）证明见解析（3）【分析】（1）求导，利用导数的符号判断可得结果；（2）利用导数，根据极值点的定义可证结论正确；（3）根据在时取得最小值，在时取得最大值，可得在时取得最小值.【详解】（1）因为，所以，因为，所以，所以函数在区间上为增函数.（2）设，则，当时，，所以在上为减函数，又，，所以存在唯一，使得，即存在唯一，使得，与在区间内的变化情况如下：+0增函数极大值减函数所以函数在内有且只有一个极值点.（3）由（1）（2）知，在内单调递增，在内单调递减，又因为，，所以当时，，又因为当时，，所以，当且仅当时等号成立，所以在上的最小值为.【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值和最值是解题关键.21．（Ⅰ）；；.的特征值为；（Ⅱ），理由见解析；（Ⅲ）最小值为.【解析】（Ⅰ）根据题中的定义可求出、、的值及的特征值；（Ⅱ）分、和、两种情况讨论，结合题中定义可证明出；（Ⅲ）设，利用（Ⅱ）中的结论，结合数列的特征值为，可得出，并证明出，即可求出的最小值.【详解】（Ⅰ）由题知：，，，的特征值为；（Ⅱ）.理由如下：由于，可分下列两种情况讨论：当、时，根据定义可知：，同理可得：.所以，所以.   当、时，同理可得：，所以，所以.                       综上有：；（Ⅲ）不妨设，，显然，，.当且仅当时取等号；.当且仅当时取等号；由（Ⅱ）可知、的较小值为，所以.当且仅当时取等号，此时数列为常数列，其特征值为，不符合题意，则必有.下证：若，，总有.证明：.所以.因此.当时，可取到最小值，符合题意.所以的最小值为.【点睛】本题考查数列中的新定义，涉及数列中不等式的综合问题，解题的关键就是充分利用题中的新定义进行求解，考查推理能力，属于难题.