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历年高考数学真题全国卷版修订稿WEIHUAsystemofficeroom【WEIHUA16H-WEIHUAWEIHUA8Q8-WEIHUA1688】历年高考数学真题全国卷版2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013大纲全国,理1)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为(  ).A.3B.4C.5D.62.(2013大纲全国,理2)=(  ).A.-...

历年高考数学真题全国卷版修订稿
WEIHUAsystemofficeroom【WEIHUA16H-WEIHUAWEIHUA8Q8-WEIHUA1688】历年高考数学真 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 全国卷版2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013大纲全国,理1)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为(  ).A.3B.4C.5D.62.(2013大纲全国,理2)=(  ).A.-8B.8C.-8iD.8i3.(2013大纲全国,理3)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=(  ).A.-4B.-3C.-2D.-14.(2013大纲全国,理4)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为(  ).A.(-1,1)B.C.(-1,0)D.5.(2013大纲全国,理5)函数f(x)=(x>0)的反函数f-1(x)=(  ).A.(x>0)B.(x≠0)C.2x-1(x∈R)D.2x-1(x>0)6.(2013大纲全国,理6)已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=,则{an}的前10项和等于(  ).A.-6(1-3-10)B.(1-310)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)7.(2013大纲全国,理7)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是(  ).A.56B.84C.112D.1688.(2013大纲全国,理8)椭圆C:的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是(  ).A.B.C.D.9.(2013大纲全国,理9)若函数f(x)=x2+ax+在是增函数,则a的取值范围是(  ).A.[-1,0]B.[-1,+∞)C.[0,3]D.[3,+∞)10.(2013大纲全国,理10)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(  ).A.B.C.D.11.(2013大纲全国,理11)已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若,则k=(  ).A.B.C.D.212.(2013大纲全国,理12)已知函数f(x)=cosxsin2x,下列结论中错误的是(  ).A.y=f(x)的图像关于点(π,0)中心对称B.y=f(x)的图像关于直线对称C.f(x)的最大值为D.f(x)既是奇函数,又是周期函数二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013大纲全国,理13)已知α是第三象限角,sinα=,则cotα=__________.14.(2013大纲全国,理14)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种.(用数字作答)15.(2013大纲全国,理15)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是__________.16.(2013大纲全国,理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,OK=,且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°,则球O的表面积等于__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013大纲全国,理17)(本小题满分10分)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=,且S1,S2,S4成等比数列,求{an}的通项公式.18.(2013大纲全国,理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.(1)求B;(2)若sinAsinC=,求C19.(2013大纲全国,理19)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB和△PAD都是等边三角形.(1)证明:PB⊥CD;(2)求二面角A-PD-C的大小.20.(2013大纲全国,理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判.(1)求第4局甲当裁判的概率;(2)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.21.(2013大纲全国,理21)(本小题满分12分)已知双曲线C:(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为.(1)求a,b;(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.22.(2013大纲全国,理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)=.(1)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;(2)设数列{an}的通项,证明:a2n-an+>ln2.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 :B解析:由题意知x=a+b,a∈A,b∈B,则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素.故选B.2.答案:A解析:.故选A.3.答案:B解析:由(m+n)⊥(m-n)|m|2-|n|2=0(λ+1)2+1-[(λ+2)2+4]=0λ=-3.故选B.4.答案:B解析:由题意知-1<2x+1<0,则-1<x<.故选B.5.答案:A解析:由题意知=2yx=(y>0),因此f-1(x)=(x>0).故选A.6.答案:C解析:∵3an+1+an=0,∴an+1=.∴数列{an}是以为公比的等比数列.∵a2=,∴a1=4.∴S10==3(1-3-10).故选C.7.答案:D解析:因为(1+x)8的展开式中x2的系数为,(1+y)4的展开式中y2的系数为,所以x2y2的系数为.故选D.8.答案:B解析:设P点坐标为(x0,y0),则,,,于是.故.∵∈[-2,-1],∴.故选B.9.答案:D解析:由条件知f′(x)=2x+a-≥0在上恒成立,即在上恒成立.∵函数在上为减函数,∴.∴a≥3.故选D.10.答案:A解析:如下图,连结AC交BD于点O,连结C1O,过C作CH⊥C1O于点H.∵CH⊥平面C1BD,∴∠HDC为CD与平面BDC1所成的角.设AA1=2AB=2,则,.由等面积法,得C1O·CH=OC·CC1,即,∴.∴sin∠HDC=.故选A.11.答案:D解析:由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0),则直线AB的方程为y=k(x-2),将其代入y2=8x,得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=4.①由∵,∴(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=0.∴(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0,即x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0.④由①②③④解得k=2.故选D.12.答案:C解析:由题意知f(x)=2cos2x·sinx=2(1-sin2x)sinx.令t=sinx,t∈[-1,1],则g(t)=2(1-t2)t=2t-2t3.令g′(t)=2-6t2=0,得.当t=±1时,函数值为0;当时,函数值为;当时,函数值为.∴g(t)max=,即f(x)的最大值为.故选C.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.答案:解析:由题意知cosα=.故cotα=.14.答案:480解析:先排除甲、乙外的4人,方法有种,再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中,有种排法,因此甲、乙不相邻的不同排法有(种).15.答案:解析:作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.∵直线y=a(x+1)过定点C(-1,0),由图并结合题意可知,kAC=4,∴要使直线y=a(x+1)与平面区域D有公共点,则≤a≤4.16.答案:16π解析:如下图,设MN为两圆的公共弦,E为MN的中点,则OE⊥MN,KE⊥MN,结合题意可知∠OEK=60°.又MN=R,∴△OMN为正三角形.∴OE=.又OK⊥EK,∴=OE·sin60°=.∴R=2.∴S=4πR2=16π.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解:设{an}的公差为d.由S3=得3a2=,故a2=0或a2=3.由S1,S2,S4成等比数列得=S1S4.又S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d,故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d).若a2=0,则d2=-2d2,所以d=0,此时Sn=0,不合题意;若a2=3,则(6-d)2=(3-d)(12+2d),解得d=0或d=2.因此{an}的通项公式为an=3或an=2n-1.18.解:(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以a2+c2-b2=-ac.由余弦定理得cosB=,因此B=120°.(2)由(1)知A+C=60°,所以cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC-sinAsinC+2sinAsinC=cos(A+C)+2sinAsinC=,故A-C=30°或A-C=-30°,因此C=15°或C=45°.19.(1)证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形.过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O.连结OA,OB,OD,OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点,故OE⊥BD,从而PB⊥OE.因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OE∥CD.因此PB⊥CD.(2)解法一:由(1)知CD⊥PB,CD⊥PO,PB∩PO=P,故CD⊥平面PBD.又PD平面PBD,所以CD⊥PD.取PD的中点F,PC的中点G,连结FG,则FG∥CD,FG⊥PD.连结AF,由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.所以∠AFG为二面角A-PD-C的平面角.连结AG,EG,则EG∥PB.又PB⊥AE,所以EG⊥AE.设AB=2,则AE=,EG==1,故AG==3.在△AFG中,FG=,,AG=3,所以cos∠AFG=.因此二面角A-PD-C的大小为.解法二:由(1)知,OE,OB,OP两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.设||=2,则A(,0,0),D(0,,0),C(,,0),P(0,0,).=(,,),=(0,,).=(,0,),=(,,0).设平面PCD的法向量为n1=(x,y,z),则n1·=(x,y,z)·(,,)=0,n1·=(x,y,z)·(0,,)=0,可得2x-y-z=0,y+z=0.取y=-1,得x=0,z=1,故n1=(0,-1,1).设平面PAD的法向量为n2=(m,p,q),则n2·=(m,p,q)·(,0,)=0,n2·=(m,p,q)·(,,0)=0,可得m+q=0,m-p=0.取m=1,得p=1,q=-1,故n2=(1,1,-1).于是cos〈n1,n2〉=.由于〈n1,n2〉等于二面角A-PD-C的平面角,所以二面角A-PD-C的大小为.20.解:(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”,A2表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”,A表示事件“第4局甲当裁判”.则A=A1·A2.P(A)=P(A1·A2)=P(A1)P(A2)=.(2)X的可能取值为0,1,2.记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙”,B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”,B2表示事件“第2局乙和甲比赛时,结果为乙胜甲”,B3表示事件“第3局乙参加比赛时,结果为乙负”.则P(X=0)=P(B1·B2·A3)=P(B1)P(B2)·P(A3)=,P(X=2)=P(·B3)=P()P(B3)=,P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=,EX=0·P(X=0)+1·P(X=1)+2·P(X=2)=.21.(1)解:由题设知=3,即=9,故b2=8a2.所以C的方程为8x2-y2=8a2.将y=2代入上式,求得.由题设知,,解得a2=1.所以a=1,b=.(2)证明:由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程为8x2-y2=8.①由题意可设l的方程为y=k(x-3),,代入①并化简得(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≤-1,x2≥1,x1+x2=,x1·x2=.于是|AF1|===-(3x1+1),|BF1|===3x2+1.由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,即x1+x2=.故,解得k2=,从而x1·x2=.由于|AF2|===1-3x1,|BF2|===3x2-1,故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,|AF2|·|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16.因而|AF2|·|BF2|=|AB|2,所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.22.(1)解:由已知f(0)=0,f′(x)=,f′(0)=0.若,则当0<x<2(1-2λ)时,f′(x)>0,所以f(x)>0.若,则当x>0时,f′(x)<0,所以当x>0时,f(x)<0.综上,λ的最小值是.(2)证明:令.由(1)知,当x>0时,f(x)<0,即.取,则.于是==ln2n-lnn=ln2.所以.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013课标全国Ⅰ,理1)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-<x<},则(  ).A.A∩B=B.A∪B=RC.BAD.AB2.(2013课标全国Ⅰ,理2)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为(  ).A.-4B.C.4D.3.(2013课标全国Ⅰ,理3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是(  ).A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样4.(2013课标全国Ⅰ,理4)已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为(  ).A.y=B.y=C.y=D.y=±x5.(2013课标全国Ⅰ,理5)执行下面的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于(  ).A.[-3,4]B.[-5,2]C.[-4,3]D.[-2,5]6.(2013课标全国Ⅰ,理6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为(  ).A.cm3B.cm3C.cm3D.cm37.(2013课标全国Ⅰ,理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=(  ).A.3B.4C.5D.68.(2013课标全国Ⅰ,理8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  ).A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π9.(2013课标全国Ⅰ,理9)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=(  ).A.5B.6C.7D.810.(2013课标全国Ⅰ,理10)已知椭圆E:(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为(  ).A.B.C.D.11.(2013课标全国Ⅰ,理11)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是(  ).A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]12.(2013课标全国Ⅰ,理12)设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=,cn+1=,则(  ).A.{Sn}为递减数列B.{Sn}为递增数列C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013课标全国Ⅰ,理13)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=__________.14.(2013课标全国Ⅰ,理14)若数列{an}的前n项和,则{an}的通项公式是an=_______.15.(2013课标全国Ⅰ,理15)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=__________.16.(2013课标全国Ⅰ,理16)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013课标全国Ⅰ,理17)(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.18.(2013课标全国Ⅰ,理18)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明:AB⊥A1C;(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.19.(2013课标全国Ⅰ,理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验,检验 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.20.(2013课标全国Ⅰ,理20)(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.21.(2013课标全国Ⅰ,理21)(本小题满分12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(2013课标全国Ⅰ,理22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.(1)证明:DB=DC;(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.23.(2013课标全国Ⅰ,理23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).24.(2013课标全国Ⅰ,理24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲:已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1,且当x∈时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I新课标)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.答案:B解析:∵x(x-2)>0,∴x<0或x>2.∴集合A与B可用图象表示为:由图象可以看出A∪B=R,故选B.2.答案:D解析:∵(3-4i)z=|4+3i|,∴.故z的虚部为,选D.3.答案:C解析:因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分层抽样.4.答案:C解析:∵,∴.∴a2=4b2,.∴渐近线方程为.5.答案:A解析:若t∈[-1,1),则执行s=3t,故s∈[-3,3).若t∈[1,3],则执行s=4t-t2,其对称轴为t=2.故当t=2时,s取得最大值4.当t=1或3时,s取得最小值3,则s∈[3,4].综上可知,输出的s∈[-3,4].故选A.6.答案:A解析:设球半径为R,由题可知R,R-2,正方体棱长一半可构成直角三角形,即△OBA为直角三角形,如图.BC=2,BA=4,OB=R-2,OA=R,由R2=(R-2)2+42,得R=5,所以球的体积为(cm3),故选A.7.答案:C解析:∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,∴am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3.∴d=am+1-am=3-2=1.∵Sm=ma1+×1=0,∴.又∵am+1=a1+m×1=3,∴.∴m=5.故选C.8.答案:A解析:由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体,由图中数据可知圆柱底面半径r=2,长为4,在长方体中,长为4,宽为2,高为2,所以几何体的体积为πr2×4×+4×2×2=8π+16.故选A.9.答案:B解析:由题意可知,a=,b=,又∵13a=7b,∴,即.解得m=6.故选B.10.答案:D解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),∵A,B在椭圆上,∴①-②,得,即,∵AB的中点为(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2,而=kAB=,∴.又∵a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.∴椭圆E的方程为.故选D.11.答案:D解析:由y=|f(x)|的图象知:①当x>0时,y=ax只有a≤0时,才能满足|f(x)|≥ax,可排除B,C.②当x≤0时,y=|f(x)|=|-x2+2x|=x2-2x.故由|f(x)|≥ax得x2-2x≥ax.当x=0时,不等式为0≥0成立.当x<0时,不等式等价于x-2≤a.∵x-2<-2,∴a≥-2.综上可知:a∈[-2,0].12.答案:B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.答案:2解析:∵c=ta+(1-t)b,∴b·c=ta·b+(1-t)|b|2.又∵|a|=|b|=1,且a与b夹角为60°,b⊥c,∴0=t|a||b|cos60°+(1-t),0=+1-t.∴t=2.14.答案:(-2)n-1解析:∵,①∴当n≥2时,.②①-②,得,即=-2.∵a1=S1=,∴a1=1.∴{an}是以1为首项,-2为公比的等比数列,an=(-2)n-1.15.答案:解析:f(x)=sinx-2cosx=,令cosα=,sinα=,则f(x)=sin(α+x),当x=2kπ+-α(k∈Z)时,sin(α+x)有最大值1,f(x)有最大值,即θ=2kπ+-α(k∈Z),所以cosθ===sinα=.16.答案:16解析:∵函数f(x)的图像关于直线x=-2对称,∴f(x)满足f(0)=f(-4),f(-1)=f(-3),即解得∴f(x)=-x4-8x3-14x2+8x+15.由f′(x)=-4x3-24x2-28x+8=0,得x1=-2-,x2=-2,x3=-2+.易知,f(x)在(-∞,-2-)上为增函数,在(-2-,-2)上为减函数,在(-2,-2+)上为增函数,在(-2+,+∞)上为减函数.∴f(-2-)=[1-(-2-)2][(-2-)2+8(-2-)+15]=(-8-)(8-)=80-64=16.f(-2)=[1-(-2)2][(-2)2+8×(-2)+15]=-3(4-16+15)=-9.f(-2+)=[1-(-2+)2][(-2+)2+8(-2+)+15]=(-8+)(8+)=80-64=16.故f(x)的最大值为16.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解:(1)由已知得∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理得PA2=.故PA=.(2)设∠PBA=α,由已知得PB=sinα.在△PBA中,由正弦定理得,化简得cosα=4sinα.所以tanα=,即tan∠PBA=.18.(1)证明:取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OC⊥AB.由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C平面OA1C,故AB⊥A1C.(2)解:由(1)知OC⊥AB,OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两相互垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题设知A(1,0,0),A1(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0).则=(1,0,),==(-1,,0),=(0,,).设n=(x,y,z)是平面BB1C1C的法向量,则即可取n=(,1,-1).故cos〈n,〉==.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.19.解:(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=.(2)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=400)=,P(X=500)=,P(X=800)=.所以X的分布列为X400500800PEX==506.25.20.解:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为(x≠-2).(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=.若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切得,解得k=.当k=时,将代入,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=.所以|AB|=.当时,由图形的对称性可知|AB|=.综上,|AB|=或|AB|=.21.解:(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4.而f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,则F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得F(0)≥0,即k≥1.令F′(x)=0得x1=-lnk,x2=-2.①若1≤k<e2,则-2<x1≤0.从而当x∈(-2,x1)时,F′(x)<0;当x∈(x1,+∞)时,F′(x)>0.即F(x)在(-2,x1)单调递减,在(x1,+∞)单调递增.故F(x)在[-2,+∞)的最小值为F(x1).而F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.②若k=e2,则F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).从而当x>-2时,F′(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)单调递增.而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.③若k>e2,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上,k的取值范围是[1,e2].请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(1)证明:连结DE,交BC于点G.由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG=.设DE的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于.23.解:(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为,.24.解:(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x∈时,f(x)=1+a.不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a-2对x∈都成立.故≥a-2,即.从而a的取值范围是.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013课标全国Ⅱ,理1)已知集合M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N=(  ).A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,2,3}D.{0,1,2,3}2.(2013课标全国Ⅱ,理2)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=(  ).A.-1+iB.-1-IC.1+iD.1-i3.(2013课标全国Ⅱ,理3)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=(  ).A.B.C.D.4.(2013课标全国Ⅱ,理4)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,lα,lβ,则(  ).A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l5.(2013课标全国Ⅱ,理5)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=(  ).A.-4B.-3C.-2D.-16.(2013课标全国Ⅱ,理6)执行下面的程序框图,如果输入的N=10,那么输出的S=(  ).A.B.C.D.7.(2013课标全国Ⅱ,理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为(  ).8.(2013课标全国Ⅱ,理8)设a=log36,b=log510,c=log714,则(  ).A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c9.(2013课标全国Ⅱ,理9)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=(  ).A.B.C.1D.210.(2013课标全国Ⅱ,理10)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是(  ).A.x0∈R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=011.(2013课标全国Ⅱ,理11)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为(  ).A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x12.(2013课标全国Ⅱ,理12)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是(  ).A.(0,1)B.C.D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013课标全国Ⅱ,理13)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=__________.14.(2013课标全国Ⅱ,理14)从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为,则n=__________.15.(2013课标全国Ⅱ,理15)设θ为第二象限角,若,则sinθ+cosθ=__________.16.(2013课标全国Ⅱ,理16)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013课标全国Ⅱ,理17)(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.18.(2013课标全国Ⅱ,理18)(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB=.(1)证明:BC1∥平面A1CD;(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.19.(2013课标全国Ⅱ,理19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1)将T表示为X的函数;(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的数学期望.20.(2013课标全国Ⅱ,理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:(a>b>0)右焦点的直线交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程;(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.21.(2013课标全国Ⅱ,理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(2)当m≤2时,证明f(x)>0.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.22.(2013课标全国Ⅱ,理22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.23.(2013课标全国Ⅱ,理23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.24.(2013课标全国Ⅱ,理24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ac≤;(2).2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.答案:A解析:解不等式(x-1)2<4,得-1<x<3,即M={x|-1<x<3}.而N={-1,0,1,2,3},所以M∩N={0,1,2},故选A.2.答案:A解析:==-1+i.3.答案:C解析:设数列{an}的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q≠1.∵q≠1时,S3==a1·q+10a1,∴=q+10,整理得q2=9.∵a5=a1·q4=9,即81a1=9,∴a1=.4.答案:D解析:因为m⊥α,l⊥m,lα,所以l∥α.同理可得l∥β.又因为m,n为异面直线,所以α与β相交,且l平行于它们的交线.故选D.5.答案:D解析:因为(1+x)5的二项展开式的通项为(0≤r≤5,r∈Z),则含x2的项为+ax·=(10+5a)x2,所以10+5a=5,a=-1.6.答案:B解析:由程序框图知,当k=1,S=0,T=1时,T=1,S=1;当k=2时,,;当k=3时,,;当k=4时,,;…;当k=10时,,,k增加1变为11,满足k>N,输出S,所以B正确.7.答案:A解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系O-xyz的图像为下图:则它在平面zOx上的投影即正视图为,故选A.8.答案:D解析:根据公式变形,,,,因为lg7>lg5>lg3,所以,即c<b<a.故选D.9.答案:B解析:由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示,作直线2x+y=1,因为直线2x+y=1与直线x=1的交点坐标为(1,-1),结合题意知直线y=a(x-3)过点(1,-1),代入得,所以.10.答案:C解析:∵x0是f(x)的极小值点,则y=f(x)的图像大致如下图所示,则在(-∞,x0)上不单调,故C不正确.11.答案:C解析:设点M的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+=5,则x0=5-.又点F的坐标为,所以以MF为直径的圆的方程为(x-x0)+(y-y0)y=0.将x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,即-4y0+8=0,所以y0=4.由=2px0,得,解之得p=2,或p=8.所以C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.12.答案:B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.答案:2解析:以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则点A的坐标为(0,0),点B的坐标为(2,0),点D的坐标为(0,2),点E的坐标为(1,2),则=(1,2),=(-2,2),所以.14.答案:8解析:从1,2,…,n中任取两个不同的数共有种取法,两数之和为5的有(1,4),(2,3)2种,所以,即,解得n=8.15.答案:解析:由,得tanθ=,即sinθ=cosθ.将其代入sin2θ+cos2θ=1,得.因为θ为第二象限角,所以cosθ=,sinθ=,sinθ+cosθ=.16.答案:-49解析:设数列{an}的首项为a1,公差为d,则S10==10a1+45d=0,①S15==15a1+105d=25.②联立①②,得a1=-3,,所以Sn=.令f(n)=nSn,则,.令f′(n)=0,得n=0或.当时,f′(n)>0,时,f′(n)<0,所以当时,f(n)取最小值,而n∈N+,则f(6)=-48,f(7)=-49,所以当n=7时,f(n)取最小值-49.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解:(1)由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB.①又A=π-(B+C),故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.②由①,②和C∈(0,π)得sinB=cosB,又B∈(0,π),所以.(2)△ABC的面积.由已知及余弦定理得4=a2+c2-.又a2+c2≥2ac,故,当且仅当a=c时,等号成立.因此△ABC面积的最大值为.18.解:(1)连结AC1交A1C于点F,则F为AC1中点.又D是AB中点,连结DF,则BC1∥DF.因为DF平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(2)由AC=CB=得,AC⊥BC.以C为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.设CA=2,则D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2),=(1,1,0),=(0,2,1),=(2,0,2).设n=(x1,y1,z1)是平面A1CD的法向量,则即可取n=(1,-1,-1).同理,设m是平面A1CE的法向量,则可取m=(2,1,-2).从而cos〈n,m〉=,故sin〈n,m〉=.即二面角D-A1C-E的正弦值为.19.解:(1)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39000,当X∈[130,150]时,T=500×130=65000.所以(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400.20.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则,,,由此可得.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,,所以a2=2b2.又由题意知,M的右焦点为(,0),故a2-b2=3.因此a2=6,b2=3.所以M的方程为.(2)由解得或因此|AB|=.由题意可设直线CD的方程为y=,设C(x3,y3),D(x4,y4).由得3x2+4nx+2n2-6=0.于是x3,4=.因为直线CD的斜率为1,所以|CD|=.由已知,四边形ACBD的面积.当n=0时,S取得最大值,最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.21.解:(1)f′(x)=.由x=0是f(x)的极值点得f′(0)=0,所以m=1.于是f(x)=ex-ln(x+1),定义域为(-1,+∞),f′(x)=.函数f′(x)=在(-1,+∞)单调递增,且f′(0)=0.因此当x∈(-1,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在(-1,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(2)当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时,f(x)>0.当m=2时,函数f′(x)=在(-2,+∞)单调递增.又f′(-1)<0,f′(0)>0,故f′(x)=0在(-2,+∞)有唯一实根x0,且x0∈(-1,0).当x∈(-2,x0)时,f′(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,从而当x=x0时,f(x)取得最小值.由f′(x0)=0得=,ln(x0+2)=-x0,故f(x)≥f(x0)=+x0=>0.综上,当m≤2时,f(x)>0.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.22.解:(1)因为CD为△ABC外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.因为B,E,F,C四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径.(2)连结CE,因为∠CBE=90°,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DB·BA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.而DC2=DB·DA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.23.解:(1)依题意有P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α).M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).(2)M点到坐标原点的距离(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.24.解:(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.(2)因为,,,故≥2(a+b+c),即≥a+b+c.所以≥1.参考公式:如果事件互斥,那么球的表面积公式如果事件相互独立,那么其中R表示球的半径球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是,那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中R表示球的半径2012年普通高等学校招生全国统一考试选择题复数=A2+IB2-IC1+2iD1-2i2、已知集合A={1.3.},B={1,m},AB=A,则m=A0或B0或3C1或D1或33椭圆的中心在原点,焦距为4一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为A+=1B+=1C+=1D+=14已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为A2BCD1(5)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为(A)(B)(C)(D)(6)△ABC中,AB边的高为CD,若a·b=0,|a|=1,|b|=2,则(A)(B)(C)(D)(7)已知α为第二象限角,sinα+sinβ
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林深见鹿
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