向量与三角函数综合试
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向量与三角函数综合
试题
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PAGEPAGE8向量与三角函数综合试题向量与三角函数综合试题1．已知向量a、b满足b·(a-b)=0，且|a|=2|b|，则向量a+2b与a的夹角为（D）A.B.C.D.2．已知向量，，其中.若，则当恒成立时实数的取值范围是（ B ）A．或B．或C．D．3．已知O为原点，点P（x，y）在单位圆x2+y2=1上，点Q（2cos，2sin），且=(，－)，则·的值是（ A ）A．B．C．2D．4．，则||的最小值是BA.B.C.1D.5．如图，△ABC中，AB=4，AC=4，∠BAC=60°，延长CB到D，使，当E点在线段AD上移动时，若的最大值是（C）A．1B．C．3D．6．已知向量,向量,向量,则向量与向量的夹角的取值范围是（D）A．B．C．D．7．已知向量,实数满足,则的最小值为（ D ）A．B．1C．D．8．如图，BC是单位圆A的一条直径,F是线段AB上的点，且，若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则的值是（B）B．）（ ）A．B．C．D．不确定9．已知三点的坐标分别是，，，，若，则的值为（B）A．B．C．2D．10.在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若•=1，则AB的长为（ C ） A．B．C．D．1解：如图：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，，∴====，∴．∵，∴．∴AB的长为．11．已知向量，向量，则的最大值是2．12．已知且，是钝角，若的最小值为，则的最小值是。13．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是14．已知向量，实数满足则的最大值为1615．在平行四边形已知，点的中点，点在上运动（包括端点），则的取值范围是．[，1]16．在△ABC中，，是边上任意一点（与不重合），且，则等于．17.已知O为锐角△ABC的外心，AB=6，AC=10，=x+y，且2x+10y=5，则边BC的长为 4 ．解：分别取AB，AC的中点为D，E，并连接OD，OE，根据条件有：OD⊥AB，OE⊥AC；在Rt△OAD中，cos∠OAD===；∴=；同理可得，；∴=36x+60ycos∠BAC①=60xcos∠BAC+100y②又2x+10y=5③∴由①②③解得cos∠BAC=；由余弦定理得：，∴BC=．故
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为：．18.已知向量=（cosA，﹣sinA），=（cosB，sinB），•=cos2C，其中A、B、C为△ABC的内角．（Ⅰ）求角C的大小（Ⅱ）若AB=6，且，求AC、BC的长．解：（Ⅰ）∵=（cosA，﹣sinA），=（cosB，sinB），∴•=cos2C，即cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B）=﹣cosC=cos2C，…（2分）化简得：2cos2C+cosC﹣1=0，…（4分）故cosC=（cosC=﹣1舍去）∵C∈（0，π），∴C=．…（7分）（Ⅱ）∵，∴•cos=36，即•=36．①…（9分）由余弦定理得AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=36，化简得：AC+BC=12②…（12分）联解①②，可得AC=BC=6．19．已知向量，向量与向量的夹角为，且．（1）求向量；（2）若向量与共线，向量，其中A、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，求的取值范围．解：（1）设．由，得x+y=﹣1①又向量与向量的夹角为得=，即x2+y2=1②由①、②解得或，∴或．…（5分）（2）结合（1）由向量与共线知；由A、B、C依次成等差数列知．…（7分）∴，∴==．…（10分）∵，∴，∴，∴，∴．…（12分）20.已知向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），设函数f（x）=•﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=1，a=且b+c=3，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）∵向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），∴函数f（x）=•﹣3=﹣3==．故函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由f（A）=1得，，即=．∵0＜A＜π，∴，∴=，解得A=．由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2abcosA=（b+c）2﹣3bc，∵a=且b+c=3，∴3=32﹣3bc，解得bc=2．∴==．21.已知△ABC的面积为S，且．（1）求tan2A的值；（2）若，，求△ABC的面积S．解：（1）设△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．∵，∴，…（2分）∴，∴tanA=2．…（4分）∴．…（5分）（2），即，…（6分）∵tanA=2，∴…（7分），∴，解得．…（9分）∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（11分）由正弦定理知：，可推得…（13分）∴．…（14分）22．设平面向量,若存在实数和角,其中，使向量,且.(1).求的关系式;(2).若,求的最小值,并求出此时的值.解:(1)∵,且，∴∴(2)设,又∵，∴，则令得(舍去)∴时,时,∴时,即时，为极小值也是最小值,最小值为.23.设向量，，其中（1）求的最大值和最小值；（2）若，求实数k的取值范围.
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