十双线性函数与正交空间,辛空间

PAGE\*MERGEFORMAT#/7PAGE\*MERGEFORMAT#/7第十章双线性函数与正交空间、辛空间引言本章从线性函数入手，开拓上一章的度量性考察，阐述一般数域上向量空间的度量性方法，在阐述双线性函数的一般概念之后，介绍颇有应用价值的正交空间、辛空间的一些基本结论.§对偶空间教学目的通过2学时讲授，使学生理解线性函数、对偶空间的概念，基本掌握对偶基的概念及其求解.教学 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 本节从向量空间一类特殊的线性映射一线性函数入手，阐述对偶空间的概念.线性函数设丫是数域F上的一个向量空间.定义1设f£Hom(匕F),即Va,p£匕Vk£F,都有f(a+B)=f(a)+f(B),f(ka)=kf(a),则称f为丫上的一个线性函数，也称为余向量(covectors).由于f£Hom(匕F),因而第七章§1—§3中关于线性映射的基本结果对于线性函数也成立.线性函数是十分重要的函数类，在数学的各个分支和许多实际问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 中都将遇到它.下面举几个例子.例1定积分使每一个连续函数f(x)对应一个实数1bf(x)dx，并a且满足1b(f(x)+g(x))dx=1bf(x)dx+1bg(x)dx，1b(kf(x))dx=kfbf(x)dx.aaaaa所以定积分是C[a,b]上的一个线性函数.例2矩阵的迹把数域F上每一个〃阶矩阵A=(aj)nn对应F中的一个元素£a，并且有iii=1Tr(A+B)=TrA+TrB,Tr(kA)=kTrA.所以矩阵的迹是Mn(F)上的一个线性函数.例3在数域F上的一元多项式环F[x]中，未定元x用F中的一个元素t代入，它把每一个多项式f(x)对应F中的元素f(t).由于未定元％用t代入保持加法与乘法(从而也保持纯量乘法)，所以％用t(t£F)代入是向量空间F［划上的一个线性函数.例4给定F中的n个元素a.,a0，…，a,V(%,%，…，％)£TOC\o"1-5"\h\z12n12nFn，规定HYPERLINK\l"bookmark14"f(%,%，…,%)=a%+a%HFa%,(1)J12n1122nn7容易验证f保持加法与纯量乘法两种运算.因此形如(1)的函数f是Fn上的一个线性函数.请注意，在数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 中，把形如g(%,%，…,%)=a%+…+12n11a%+b的n元函数g叫做线性函数.若bW0,则g不保持加法运算，nn也不保持纯量乘法运算，从而g不是定义1意义上的线性函数.所以，“线性函数”这一术语在分析和代数里有不同的含义.代数课程中讲的线性函数是分析课程中的齐次线性函数.我们来讨论有限维向量空间丫上的线性函数f的表达式.设丫是数域F上的n维向量空间，f是V上的一个线性函数.在丫中取一个基%,%,…,a.由于f可以看成是向量空间V到向量空间F的一个线性映射，因此f完全被它在V的一个基a,a，…,a上的“12n作用所决定.即只要知道f(a),f(a)，…,f(a),就可以知道V中任12n一向量p=Z%a在f作用下的象iii=1f(P)=£%.f(a.).(2)iii=1⑵就是线性函数f在基。1,…，an下的表达式.它表明，f在B上的函数值f(B)是B的坐标%］，…，％n的一次齐次多项式.进而考虑数域F上n维向量空间V上的线性函数的构造，由命题7.1.2易见定理10.1.1设V是F上一个n维向量空间，a1，a2，…，an是V的一个基，a1，a2,…，an是F中任意取定的n个数，则存在V上唯一确定的线性函数f,使得TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark20"f(a尸a,,i=1,2,…，n.(3)口因此，VP=X%a£V,贝冷在f下的象为f(P)=lL%a.iiiii=1i=1对偶空间设V是F上的一个向量空间，Hom(V,F)是V的所有线性函数组成的集合，我们来讨论Hom(V,F)的结构，以及它与V的关系.从第七章§2知道，Hom(V,F)也是F上的一个向量空间，称它是V上的线性函数空间，也记作T1(V).以下设V是n维向量空间.注意到F看成自身上的向量空间是1维的，因而有dimHom(V，F)=dimFnx1=n.这表明Hom(V,F)与V的维数相同，故它们同构，即Hom(V,F)0V.在V中取一个基a1,a2,…，an,我们来找Hom(V,F)的一个基.由于Hom(V,F)是n维的，因此只要找出V上的n个线性函数，并且它们线性无关就可以了.由定理10.1.1,给定F中n个元素1,0,…，0,则存在V上唯给定F中n个使得f2(a2)=1,一的线性函数f1,使得f1gl)=1,f1(a2)=…寸1gn)=o；元素0,1,0,…，0,则存在V上唯一的线性函数f2,f2(aj)=0,jW2；……；给定F中n个元素0,…，0,1,则存在V上唯一的线性函数fn,使得fn(an)=1,fn(aj)=0,j^n.这样我们找到了V上的；个线性函数f1,f2，…，fn，其中f(1WiWn)在基向量上的函数值为TOC\o"1-5"\h\zf网汽,⑷这里却是Kronecker记号.现在我们断言f1,f2，…，fn是线性无关的.设k1f1+k2于2+…+knfn=0,(5)并作用aj,则得kf1(aj)+k2f2(aj)+…+kfn(aj)=0.于是由(4)推得kj=0,j=1,…，n.因此f1,f2，…，fn线性无关.综上所述，f1,f2，…，fn是Hom(V,F)的一个基.因此，我们得到九定理10.1.2设V是数域F上的n维向量空间，则V上所有线性函数组成的集合Hom(V,F)也是数域F上的n维向量空间，称为V的对偶空间(或共轭空间)，记作V*；并且V*0V.口若在V中取一个基a1,a2,…，an,则由(4)确定的线性函数f1f2，…，fn是V*的一个基，叫做a1,a2,…，an的对偶基.设'%…，an是V的一个基，f1,f2，…，下V*是~\…，an的对偶基.我们分别来讨论V中任一向量B在基a1,a2,…，an下的坐标，以及V*中任一向量f在基f1,f2，…，fn下的坐标.设B=Xxa,由(4)得jjjT(6)f.(P)=Xx,f.(a.)Tx.,ijijijT即口在基a,…，a下的坐标的第i个分量等于f(B).因此TOC\o"1-5"\h\zP=£f.(p)a.(7)iii=1V*中任取一个向量f=£cf,比较左右两边的函数在a,上的函数值iiji=1得f(a.)=Xcf.(a.)=c..(8)jiijji=1这表明了在基f1,f2，…，4下的坐标的第j个分量等于f(a/.因此f=af(a.)f..⑼jjj=1例5设V=M2(F)，在V中取一个基E11,E12,E21,E22，求它的对偶基f11,f12,f21,f22,并求V上任一线性函数f的表达式.解从(4)得f11(E11)=1,f11(E12)==11(E21)==11(E22)=0f12(E12)=1,f12(E11)=f12(E21)=f12(E22)=0,f1(E21)=1,f21(E11)=f1(E12)=f1(E22)=0,f2(E22)=1,f2(E11)=f2(E12)=f2(E21)=0.任取A=(a)eM(F)，由于A=X工a..E..,所以f(A)=a,f(A)=a,ij222i[i]11111212i=1j=1f21(A)=a21,f22(A)=a22.于是，对于V上的任意一个线性函数f,,设f(E.))=c..,i,j=1,2,则由(9)得“"f(A)=cf(A)+cf(A)+cf(A)+cf(A)TOC\o"1-5"\h\z1111121221212222=ca+ca+ca+ca.(10)1111121221212222例6考察实数域R上的n维向量空间V=R[幻n.对任意取定的n个不同实数a1,a2，…，an,根据Lagrange插值公式，得到n个多项式"i=1,2，….,n./、(%—a,)…(%—a「)(％—a.,)…(%—a)p(%)=1i—1i+n,i(a-a)•••(a-a)(a-a)•••(a-a)i1ii-1ii+1in它们满足p.(a,)=6..,因此p1(%),p2(%)，…，pn(%)线性无关.因为由c1p1(%)+%2p2(%)+…+cnpn(%)=0,用ai代入，即得V乙cp(a)=cp(a)=c=0,i=1,2,•一，n.kkiiiiik=1乂V是n维的，所以p1(%),p2(%)，…，pn(%)是V的一组基.设LieV*(i=1,2，…，n)是在a.点的取值函数：L.(p(%))=p(a.)p(%)eV,i=1,2,…，n，则线性函数4满足LPj(x))=Pj(a)=%因此，L,L，…，L是p(x),p(x)，…，p(x)的对偶基.12niX^2nV中不同基的对偶基之间有什么关系？这就是定理10.1.3设V是数域F上n维向量空间，。1，…，。n与B1，…，Bn是V的两个基.设它们的对偶基分别是f1,…，fn与gj，…，gn.若V中基a1,…，an到基B1,…，Bn的过渡矩阵是A=(aj)nn,则V*中基f1，…，fn到基g:，…，gn的过渡矩阵为(A-1)'.Um证由已知条件，有“TOC\o"1-5"\h\z(B1，…，Bn)=(a1，…，an)A(11)于是P=£aa.(12)1ikik，k=1设f1,…，fn到g1，…，gn的过渡矩阵为B=(b..)nn，贝U”(g1，・，gn)=(f1，…，fn)BUm(13)于是g=£bf.将此式的两边作用于B.，并注意到f(P)=a，Jjjki,k'ikik=1则得TOC\o"1-5"\h\z"=g.(P.)=£bf(p.)=£ba..(14)ijjikjkikjkik=1k=1因此，A，B=In.故B=(A>1=(A-1)'.口双重对偶空间考察V到V*的一个同构映射.因为V和V*都是n维的，所以它们都与Fn同构.我们知道，在数域F上一个n维向量空间取定一个基后，让每个向量对应到它在这个基下的坐标就是所给n维向量空间到Fn的一个同构映射.于是，在V中取一个基a1，a2,…，an，而f1，f2，…，fneV*是。1，a2,…，an的对偶基，则有V到Fn的一个同构映射。1：o(乙aa.)=(a,a，…,a).1ii12ni=1又有Fn到V*的一个同构映射。2：一，nVz.o(a,a，…,a)=乙af.212niii=1从而有V到V*的一个同构映射。=。2。1：(15)vvo(乙aa)=乙af.iiiii=1i=1V0V**；PAGE\*MERGEFORMAT#/7PAGE\*MERGEFORMAT#/7TOC\o"1-5"\h\z设a=£aa,记o(a)=f,贝U由(15)得iiai=1W，一一f=Laf.(16)aiii=1对于丫中任一向量P=Xba,由(16)、(15)得iii=1TOC\o"1-5"\h\zf(P)=£af(P)=£ab「(17)aiiiii=1i=1因此，。在上述同构映射下的象f在B上的函数值f(B)等于。与B的坐aa标的对应分量乘积之和.以上的讨论是在F上任一n维向量空间进行的.因此对于F上n维向量空间匕我们也可以考虑丫*上的所有线性函数组成的向量空间Hom(V*,F)(也记成T1(V*)),它是丫*的对偶空间，简记成丫**.据定理10.1.2得，dimV**=dimV*=dimV.因此匕V0V**.(18)V**叫做V的双重对偶空间.进而求V到V**的一个同构映射，在V中取一个基。1,…，an,设它的对偶基是f1，…，fn.任取V中一个向量auXaiai,则由上讨i=1论有V到V*的一个同构映射巴,它把a映成fa.对V*,有V*到V**的一个同构映射。2,它把fa映成a**,其中a**(f)等于fa与f在基f1，…,fn下的坐标的对应分量乘积之和.由(16)、(9)两式，有TOC\o"1-5"\h\zf=£a.f.，f=nf(a.)f..因此aiiiii=1i=1a**(f)=Xaf(a)=f(工aa)=f(a).(19)iiiii=1i=1这样，我们找到了V到V-的一个同构映射。=。2。1,它把V中向量a映成V**中元素a**,其中a**(f)=f(a),Vf£V*.(20)因此证得定理10.1.4设V是F上的n维向量空间，V**是V的双重对偶空间，贝U并且V至U丫**的一个同构映射是o：a1a**,其中a**(f)如(20)所示.口必须指出，V到V**的上述同构映射不依赖于V中基的选择.因为上面在V中取定一个基a1,…，an,我们找到了V至V**的一个同构映射o：aia**,其中a**(f)=f(a),vfev*，即o(a)f=f(a),疗V*.又在v中另取一个基B1,…,Bn,设它的对偶基是g.…,gn.则类似地有V到V*的一个同构映射T，它把V中向量a=£bP映成g；且1i'i」ai=1有V*到V**的同构映射T2,它把ga映成T2(g/其中T2(ga)f等于g*f在基g1，…，g下的坐标的对应分量乘积之和.因为g=£bg，并01°n°aiii=1且f=£f(p.)g.,所以lIi=1TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark32"t(g)f=£bf(P.)=f(2>.P.)=f(a),VfeV*(21)2aiiiii=1i=1于是得到V到V**的又一个同构映射T=T2T1,它把V中向量。映成T(a),其中T(a)f=(T2T1(a))f=T2(ga)f=f(a),VfeV*.因此o(a)f=T(a)f,VfeV*.由此得出o(a)=T(a),Vaev.故O=T.这就 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 了V到V**的同构映射：aia**,其中a**(f)=f(a)不依赖于V中基的选择.这样的同构映射叫做 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 同构或自然同构.由于V到V**存在自然同构，因此我们可以把V**与V等同，从而可以把V看成V*的对偶空间，这样V与V*就互为对偶空间.这就是为什么把V*称为V的对偶空间的原因.由于V可以看成是V*的对偶空间V**,而V**是V*上所有线性函数组成的空间，因此任一n维向量空间可以看成是某个n维向量空间上所有线性函数组成的空间.课外作业：P513:2、1);3;4;5