高中数学课件_第五章_第二节_《等差数列及其前n项和》

1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，定义的表达式为.同一个常数an＋1－an＝d(n∈N*)2.等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，那么通项公式为an＝.a1＋(n－1)d[思考探究1]　　已知等差数列{an}的第m项为am，公差为d，则其第n项an能否用am与d表示？提示：可以.an＝am＋(n－m)d.3.等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，则三数的关系是A＝.[思考探究2]　　三数成等差数列时，一般设为a－d，a，a＋d；四数成等差数列呢？提示：可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.4.等差数列的前n项和公式已知条件首项和公差首项和末项选取公式1.已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d＝(　　)A.－　　　　　　　　　B.C.D.解析：a10＝a1＋9d＝10，S10＝10a1＋45d＝70，d＝. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：D2.已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于(　　)A.4B.5C.6D.7解析：∵{an}为等差数列，∴a2＋a8＝2a5＝12，则a5＝6.答案：C3.设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}前8项的和为(　　)A.128B.80C.64D.56解析：由解得a1＝1，d＝2，∴S8＝8a1＋d＝64.答案：Ca1+d=3,a1+6d=13,4.已知等差数列共10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为　　　　.解析：由题意知a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15，①a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，②②－①：5d＝15，∴d＝3.答案：35.数列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N*)，则该数列中乘积是负值的相邻两项为　　　　.解析：由已知得an＋1－an＝－，a1＝15，∴an＝a1＋(n－1)d＝15－(n－1)＝，显然a23＞0，a24＜0.∴该数列中乘积是负值的相邻两项为a23与a24.答案：第23项与第24项1. 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 一个数列{an}为等差数列的基本方法有两种：(1)利用等差数列的定义证明，即证明an＋1－and(n∈N*)(2)利用等差中项证明，即证明an＋2＋an＝2an＋1(n∈N*).2.解选择题、填空题时，可用通项或前n项和直接判断：(1)通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B，则{an}是等差数列；(2)前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列.[特别警示]　若说明一个数列不是等差数列，则只需找到其中连续三项不是等差数列即可.已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*).(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.[思路点拨][课堂笔记]　(1)证明：∵an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝.∴n≥2时，bn－bn－1＝－＝＝＝1.又b1＝，∴数列{bn}是以－为首项，以1为公差的等差数列.(2)由(1)知，bn＝n－，则an＝1＋＝1＋，设函数f(x)＝1＋，易知f(x)在区间(－∞，)和(，＋∞)内为减函数，∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.1.等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝＝na1＋d，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.[特别警示]　因为＝n＋a1－，故数列{}是等差数列.(2009·江苏高考)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足，S7＝7.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项.[思路点拨][课堂笔记]　(1)设{an}通项公式an＝a1＋(n－1)d，d≠0，则.由性质得，－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)，因为d≠0，所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝0.①又由S7＝7得7a1＋d＝7.②联立①②解得a1＝－5，d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－7，前n项和Sn＝n2－6n.(2)＝.令2m－3＝t，－6，因为t是奇数，∈N，所以t可取的值为±1.当t＝1，m＝2时，t＋－6＝3，2×5－7＝3是数列{an}中的项；t＝－1，m＝1时，t＋－6＝－15，数列{an}中的最小项是－5不符合.所以满足条件的正整数m＝2.若将“，S7＝7”改为“S10＝30，S20＝50”，求通项an和S30的值.解：由题意得 解之得∴an＝a1＋(n－1)d＝－n＋，S30＝30a1＋d＝60.1.等差数列的单调性：等差数列公差为d，若d＞0，则数列递增.若d<0，则数列递减.若d＝0，则数列为常数列.2.等差数列的简单性质：已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和.(1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(4)S2n－1＝(2n－1)an.(5)若n为偶数，则S偶－S奇＝d.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项).(6)数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数列(其中c、p、q均为常数，{an}，{bn}是等差数列).(2009·宁夏、海南高考改编)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知am－1＋am＋1－＝0，S2m－1＝38，求m的值.[思路点拨][课堂笔记]　由条件得2am＝am－1＋am＋1＝a，从而有am＝0或2.又由S2m－1＝×(2m－1)＝38且2am＝a1＋a2m－1得(2m－1)am＝38，故am≠0，则有2m－1＝19，m＝10.若将“am－1＋am＋1－＝0，S2m－1＝38”改为“S6＝72”，如何求a3＋a4.解：∵数列{an}为等差数列，∴S6＝＝3(a1＋a6)＝3(a3＋a4)，∴a3＋a4＝S6＝×72＝24.高考对等差数列的常规考法为：（1）在解答题中考查等差数列的判断或证明；（2）在选择题、填空题或解答题中考查等差数列的基本性质以及an，a1,d,n,Sn中的“知三求二”问题.09年安徽高考以选择题的形式考查了等差数列前n项和的最值问题，是高考命题的一个新方向.　[考题印证](2009·安徽高考)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.又Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是(　　)A.21　　　　　　　　　B.20C.19D.18【解析】　∵{an}为等差数列，∴a1＋a3＋a5＝105，a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，d＝a4－a3＝33－35＝－2，∴{an}是递减数列.an＝a3＋(n－3)d＝35＋(n－3)×(－2)＝－2n＋41，an≥0，－2n＋41≥0，n≤，∴当n≤20时，an>0，n≥21时，an<0，∴n＝20时，Sn最大.【答案】　B　[自主体验]已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值.解：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}为等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，{bn}前n项和为Tn.由a3＝10，S6＝72，得∴∴an＝4n－2，则bn＝an－30＝2n－31.由得≤n≤.∵n∈N*，∴n＝15.∴{bn}前15项为负值，∴T15最小，可知b1＝－29，d＝2，∴T15＝＝－225.1.(2009·辽宁高考){an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝(　　)A.－2　　　　　　　　　　B.－C.D.2解析：由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，则a1＝1，又由于a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－.答案：B2.设Sn是等差数列{an}的前n项和.已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　)A.13B.35C.49D.63解析：由等差数列的性质得S7＝＝49.答案：C3.已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值的正整数n的值是(　　)A.4或5B.5或6C.6或7D.8或9解析：法一：∵d＜0，|a3|＝|a9|，∴a3＋a9＝0，∴a1＋5d＝0，∴a1＝－5d.∴Sn＝na1＋d＝n2－n＝(n－)2－d.∵d＜0，∴当n＝5或6时，Sn最大.法二：∵d＜0，|a3|＝|a9|，∴a3＞0，a9＜0，且a3＋a9＝0，即2a6＝0，∴a6＝0，故数列{an}的前5项都大于0，从第7项开始各项都小于0.从而前5项或前6项的和最大.答案：B4.(2009·山东高考)在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝　　　　.解析：∵{an}是等差数列，设公差为d，∴3d＝a5－a2＝6，则a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.答案：135.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2∶a4＝7∶6，则S7∶S3等于　　　　.解析：＝2.答案：2∶16.(文)(2010·惠州模拟)等差数列{an}前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上.(1)求c，an；(2)若kn＝，求数列{kn}的前n项和Tn.解：(1)点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上，∴Sn＝n2＋ca1＝S1＝1＋c，a2＝S2－S1＝(4＋c)－(1＋c)＝3，a3＝S3－S2＝5，又∵{an}为等差数列，∴6＋c＝6，c＝0，d＝3－1＝2，an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)kn＝，Tn＝①②①－②得Tn＝(理)已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1(n≥2)，且a1＝5.(1)若存在一个实数λ，使得数列为等差数列，请求出λ的值；(2)在(1)的条件下，求出数列{an}的前n项和Sn.解：(1)假设存在实数λ符合题意，则必为与n无关的常数，∵要使是与n无关的常数，则＝0，得λ＝－1.故存在实数λ＝－1.使得数列为等差数列.(2)由(1)可得＝1，∴d＝1，且首项为＝2，∴＝2＋(n－1)＝n＋1，∴an＝(n＋1)2n＋1(n∈N*).令bn＝(n＋1)2n且前n项和为Tn，∴Tn＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)2n，①2Tn＝2×22＋3×23＋…＋n×2n＋(n＋1)2n＋1，②①－②得－Tn＝4＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)2n＋1＝2＋(2＋…＋2n)－(n＋1)2n＋1＝2n＋1－(n＋1)2n＋1＝－n·2n＋1，∴Tn＝n·2n＋1，∴Sn＝n·2n＋1＋n.