---来源搜集，文内均可编辑---来源搜集，文内均可编辑PAGE12---来源搜集，文内均可编辑一元二次方程根与系数关系（韦达定理），多元方程解法，高次方程解法一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．一）、一元二次方程的根的判断式一元二次方程，用配方法将其变形为：(1)当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：(2)当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：(3)当时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，
表
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示为：【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1)(2)(3)说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【例2】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4)方程无实数根．【例3】已知实数、满足，试求、的值．二）、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的两个根为：所以：，定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．【例4】若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．
分析
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：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：*【例5】一元二次方程有两个实根，一个比3大，一个比3小，求的取值范围。*【例6】已知一元二次方程一个根小于0，另一根大于2，求的取值范围。【例7】已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根满足．分析：(1)由韦达定理即可求之；(2)有两种可能，一是，二是，所以要分类讨论．解：(1)∵方程两实根的积为5【例8】已知是一元二次方程的两个实数根．(1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由．(2)求使的值为整数的实数的整数值．说明：(1)存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．练习：1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是()A．B．C．D．2．若是方程的两个根，则的值为()A．B．C．D．3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于()A．B．C．D．4．若实数，且满足，则的值为()A．B．C．D．5．若方程的两根之差为1，则的值是_____．6．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则=_____，=_____．7．对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可能等于10，您是否同意他的看法？请您说明理由．*8．一元二次方程两根、满足求取值范围。9．已知关于的一元二次方程．(1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根为，且满足，求的值．10．已知关于的方程．(1)取何值时，方程存在两个正实数根？(2)若该方程的两根是一个矩形相邻两边的长，当矩形的对角线长是时，求的值．11．已知关于的方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请您说明理由．12．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1．(1)求实数的取值范围；(2)若，求的值．四、一元高次方程的解法含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数大于2的整式方程叫做一元高次方程。一元高次方程的解法通常用试根法因式分解或换元法达到降次的目的，转换为一元一次方程或一元二次方程，从而求出一元高次方程的解。【例1】解方程（1）x3+3x2-4x=0（2）x4-13x2+36=0练习：解方程（1）x3+5x2-6x=0（2）（x2-3x）2-2（x2-3x）-8=0五、三元一次方程组的解法举例1）．三元一次方程组的概念：三一次方程组中含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程。注：（1）“未知项”与“未知数”不同。（2）每个方程不一定都含有三个未知数。它的一般形式是未知项的系数不全为零，其中每一个方程都可以是三元、二元、一元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数。2）．解三元一次方程组的基本思想方法是：【例1】解方程组 【例2】 解方程组练习：1.解下列三元一次方程组1） 2） 3）2．已知，且x+y+z=24，求x、y、z的值。3．代数式ax2+bx+c在x为1，-1，2时，它的值分别是-6，-8，-11，求：①a，b，c的值；②当x=-4时，求代数的值。*4．已知2x+5y+4z=0，3x+y-7z=0，且xyz≠0求：的值。*5．已知且xyz≠0，求x：y：z．．*6．用100元恰好买了三种笔共100支，其中金笔每支10元，铂金笔每支3元，圆珠笔每支0．5元，试问三种笔各买了多少支？六、简单的二元二次方程组的解法举例（1）二元二次方程及二元二次方程组 观察方程，此方程的特点：①含有两个未知数；②是整式方程；③含有未知数的项的最高次数是2. 定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程. 二元二次方程的一般形式是：（a、b、c不同时为零）.其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项. 定义②：二元二次方程组即有两个未知数且未知数的最高次数为二次的方程组由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组.例如：都是二元二次方程组.（2）二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法. 我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解. 解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程. 对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法. 【例1】解方程组 2解方程组 练习： *1.解方程组 *2.解方程组 提示：（1）×3＋（2）得（x－2y）（3x－y）＝0 3.解方程组
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