【成才之路】高中数学 3-2-1第1课时 直线的方向向量和平面的法向量同步检测 新人教A版选修2-1

【成才之路】高中数学3-2-1第1课时直线的方向向量和平面的法向量同步检测新人教A版选修2-1【成才之路】高中数学3-2-1第1课时直线的方向向量和平面的法向量同步检测新人教A版选修2-1PAGE/NUMPAGES【成才之路】高中数学3-2-1第1课时直线的方向向量和平面的法向量同步检测新人教A版选修2-13.2HYPERLINK":\\TDDOWNLOAD\\各科教材\\数学（人教A版）\\人教A版数学选修2-1\\3-2-1. ppt 关于艾滋病ppt课件精益管理ppt下载地图下载ppt可编辑假如ppt教学课件下载triz基础知识ppt "\t"_parent"第HYPERLINK":\\TDDOWNLOAD\\各科教材\\数学（人教A版）\\人教A版数学选修2-1\\3-2-1.ppt"\t"_parent"1HYPERLINK":\\TDDOWNLOAD\\各科教材\\数学（人教A版）\\人教A版数学选修2-1\\3-2-1.ppt"\t"_parent"课时HYPERLINK":\\TDDOWNLOAD\\各科教材\\数学（人教A版）\\人教A版数学选修2-1\\3-2-1.ppt"\t"_parent"HYPERLINK":\\TDDOWNLOAD\\各科教材\\数学（人教A版）\\人教A版数学选修2-1\\3-2-1.ppt"\t"_parent"直线的方向向量和平面的法向量一、选择题1．若平面α、β的法向量分别为a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1，3))，b＝(－1，2,6)，则(　　)A．α∥β　　　　　　　　B．α与β相交但不垂直C．α⊥βD．α∥β或α与β重合[ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ]　D[解析]　∵b＝－2a，∴b∥a，∴α∥β或α与β重合．2．直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2，3,2)，则(　　)A．l1∥l2B．l1与l2相交，但不垂直C．l1⊥l2D．不能确定[答案]　C[解析]　∵a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.3．在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，给出下列结论：①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)．②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)．③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)．④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)．其中正确的个数为(　　)A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个[答案]　C[解析]　DD1∥AA1，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0,0,1)；BC1∥AD1，eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(0,1,1)，直线AD⊥平面ABB1A1，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0,1,0)；C1点坐标为(1,1,1)，eq\o(AC1,\s\up6(→))与平面B1CD不垂直，∴④错．4．已知空间四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连结各边中点P、Q、R、S，如图，所得图形是(　　)A．长方形B．正方形C．梯形D．菱形[答案]　D[解析]　∵eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(BQ,\s\up6(→))－eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).同理eq\o(SR,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(SR,\s\up6(→))，∴四边形PQRS为平行四边形，又∵eq\o(PS,\s\up6(→))＝eq\o(AS,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，∴|eq\o(PS,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|，即PS＝eq\f(1,2)BD，又|eq\o(PQ,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴PQ＝eq\f(1,2)AC，∵AC＝BD，∴PS＝PQ，∴四边形ABCD为菱形．5．若直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－3，－6,6)，则(　　)A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1、l2相交但不垂直D．不能确定[答案]　D[解析]　∵a＝(1,2，－2)，b＝(－3，－6,6)，∴b＝－3a，∴l1∥l2或l1与l2重合，故选D.6．若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是(　　)A．(0,1,2)B．(3,6,9)C．(－1，－2,3)D．(3,6,8)[答案]　B[解析]　因为(3,6,9)＝3(1,2,3)＝3a，即向量(3,6,9)与a平行，故(3,6,9)能作为平面γ的法向量．7．如果一条直线l与平面α内的两条直线垂直，那么l与α的位置关系是(　　)A．平行　　　　　　　　B．垂直C．l⊂αD．不确定[答案]　D[解析]　直线和平面可能的位置关系是平行，垂直，在平面内，故选D.8．平面的一条斜线和这个平面所成的角θ的范围是(　　)A．0°<θ<180°B．0°≤θ≤90°C．0°<θ≤90°D．0°<θ<90°[答案]　D[解析]　由斜线和平面所成的角定义知选D.二、填空题9．如果三点A(1,5，－2)，B(2,4,2)，C(a,3，b＋2)在同一直线上，那么a＝________，b＝________.[答案]　3　210．平面α的法向量u＝(x,1，－2)，平面β的法向量v＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，y，\f(1,2)))，已知α∥β，则x＋y＝________.[答案]　eq\f(15,4)[解析]　∵α∥β，∴u∥v，∴eq\f(x,－1)＝eq\f(1,y)＝eq\f(－2,\f(1,2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝－\f(1,4)))，∴x＋y＝eq\f(15,4).11．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，则平面α的一个法向量是________(写出一个即可)．[答案]　形如(2k，k,0)　(k≠0)的都可以[解析]　因为A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－2，－4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量是n＝(x，y，z)，依题意，应有n·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0且n·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y－4z＝0，,2x－4y－3z＝0.))解得z＝0且x＝2y.令y＝1，则x＝2，所以平面α的一个法向量是n＝(2,1,0)．(答案不唯一)12．已知空间直角坐标系O－xyz中的点A(1,1,1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则点P的坐标满足的条件为________．[答案]　x＋y＋z＝3[解析]　由题意知，OA⊥α，直线OA的方向向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,1,1)，因为P∈α，∴eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(AP,\s\up6(→))，∴(1,1,1)·(x－1，y－1，z－1)＝0，∴x＋y＋z＝3.三、解答题13．如图所示，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，∠PDA为θ，能否确定θ，使直线MN是直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由．[解析]　以点A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，设|AD|＝2a，|AB|＝2b，∠PDA＝θ，则A(0,0,0)、B(0,2b,0)、C(2a,2b,0)、D(2a,0,0)、P(0,0,2atanθ)、M(0，b,0)、N(a，b，atanθ)．∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,2b,0)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(2a,2b,2atanθ)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(a,0，atanθ)．∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝(0,2b,0)·(a,0，atanθ)＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(MN,\s\up6(→))，即AB⊥MN.若MN⊥PC，即eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝(a,0，atanθ)·(2a,2b,2atanθ)＝2a2－2a2tan2θ＝0，则tan2θ＝1，而θ是锐角，∴tanθ＝1，θ＝45°.即当θ＝45°时，直线MN是直线AB与PC的公垂线．14．在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，E是PC中点，求证：PA∥平面EDB.[ 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ]　设eq\o(DA,\s\up6(→))＝a，eq\o(DC,\s\up6(→))＝b，eq\o(DP,\s\up6(→))＝c，则eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝a－c，∵eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))－2eq\o(DE,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))与eq\o(DB,\s\up6(→))、eq\o(DE,\s\up6(→))共面，∵eq\o(DB,\s\up6(→))、eq\o(DE,\s\up6(→))不共线，PA⊄平面BDE.∴PA∥平面BDE.15．已知A(－1,2,4)，B(2,3,5)，以eq\o(AB,\s\up6(→))的方向为正向，如图在直线AB上建立一条数轴，M、N为轴上的两点，且分别满足条件：(1)AMMB＝21，(2)ANNB＝－3.求点M和点N的坐标．[解析]　由(1)由已知得eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))，即eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝2(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)))，eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→)).设M(x，y，z)，则(x，y，z)＝eq\f(2,3)(2,3,5)＋eq\f(1,3)(－1,2,4)，所以x＝eq\f(4,3)－eq\f(1,3)＝1，y＝eq\f(2,3)×3＋eq\f(2,3)＝eq\f(8,3)，z＝eq\f(2,3)×5＋eq\f(4,3)＝eq\f(14,3)，因此点M的坐标为(1，eq\f(8,3)，eq\f(14,3))．(2)因为ANNB＝－3，所以eq\o(AN,\s\up6(→))＝－3eq\o(NB,\s\up6(→))，即eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－3(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))),2eq\o(ON,\s\up6(→))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，设N(x，y，z)，则(x，y，z)＝eq\f(3,2)(2,3,5)－eq\f(1,2)(－1,2,4)，所以x＝3＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,2)，y＝eq\f(9,2)－1＝eq\f(7,2)，z＝eq\f(15,2)－2＝eq\f(11,2)，因此点N的坐标为(eq\f(7,2)，eq\f(7,2)，eq\f(11,2))．16．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2eq\r(2)，侧棱长为4，E，F分别是棱AB、BC的中点，EF∩BD＝G.求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1.[解析]　以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由题意知：D(0,0,0)，B1(2eq\r(2)，2eq\r(2)，4)，E(2eq\r(2)，eq\r(2)，0)，F(eq\r(2)，2eq\r(2)，0)，eq\o(B1E,\s\up6(→))＝(0，－eq\r(2)，－4)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)，eq\r(2)，0)．设平面B1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)．则n·eq\o(B1F,\s\up6(→))＝－eq\r(2)y－4z＝0，n·eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\r(2)x＋eq\r(2)y＝0.解得x＝y，z＝－eq\f(\r(2),4)y，令y＝1得n＝(1,1，－eq\f(\r(2),4))，又平面BDD1B1的一个法向量为eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2eq\r(2)，2eq\r(2)，0)而n·eq\o(AC,\s\up6(→))＝1×(－2eq\r(2))＋1×2eq\r(2)＋(－eq\f(\r(2),4))×0＝0即n⊥eq\o(AC,\s\up6(→)).∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.内容总结