专题——立体几何及空间向量

专题立体几何及空间向量空间几何体(一)空间几何体的结构特征(1)多面体一一由若干个平面多边形围成的几何体•围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。旋转体一一把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴(2)柱，锥，台，球的结构特征棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。1.2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的关系:斜棱柱棱柱棱垂直于底面直棱柱底面是正多形正棱柱夂其他棱柱L1.3棱柱的性质：侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；②（了解）长方体的一条对角线ACi与过顶点A的条棱所成的角分别是，那么cos2cos2cos21，过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形;直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形1.4长方体的性质:长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】ACi2AB2AD2AA12sin2sin2sin22；③（了解）长方体的一条对角线ACi与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是，贝Ucos2cos2cos22，sin2sin2sin21.1.5侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形•S直棱柱侧ch1.6面积、体积公式：V（其中c为底面周W棱柱全ch2S底，耳棱柱S底h长，h为棱柱的高）圆柱2.1圆柱一一以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形第2页2r2,V圆柱=S底h=r2h（其中r为底面半2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.2.4面积、体积公式：S圆柱侧=2rh;S圆柱全=2rh径，h为圆柱高）棱锥3.1棱锥一一有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。正棱锥一一如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥3.2棱锥的性质：平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图：VSOB,VSOH,VSBH,VOBH为直角三角形）3.3侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。113.4面积、体积公式：S正棱锥侧=-ch,S正棱锥全=—chS底，V棱锥=-S底h.23（其中c为底面周长，h侧面斜高，h棱锥的高）圆锥4.1圆锥一一以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥4.2圆锥的性质:平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;轴截面是等腰三角形；如右图：VSAB如右图：I2h2r2.4.3圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。4.4面积、体积公式：母纟轴hI轴截面rAO顶点侧面底面1S圆锥侧=rl，S圆锥全=r（rI），V圆锥=-r2h（其中r为底面半径，h为圆锥的高，I为母线长）5.棱台5.1棱台一一用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.上底面高下底面|\A'D'"OSC''M"B'侧棱侧面35.2正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形;正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形；如右图：四边形O'MNO,O'B'BO都是直角梯形棱台经常补成棱锥研究.如右图：VSO'M与VSON,VS'O'B'与VSOB相似，注意考虑相似比.15.3棱台的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积、体积公式：$全已上底+S下底+S侧，V棱台=—(S+・.SS^S')h,(其3中S,S'是上，下底面面积，h为棱台的高)圆台6.1圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台6.2圆台的性质：圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆;圆台的轴截面是等腰梯形；圆台经常补成圆锥来研究。如右图：VSO'A与VSOB相似，注意相似比的应用.6.3圆台的侧面展开图是一个扇环；6.4圆台的表面积、体积公式：$全=r1V圆台=一(S+.SS'S')h=-(r2rR3R2(Rr)l，R2)h，(其中r，R为上下底面半径，h为高)球7.1球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球；7.2球的性质：①球心与截面圆心的连线垂直于截面;②r.R2d2（其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r）7.3球与多面体的组合体：球与正四面体,球与长方体，球与正方体等的内接与外切.注：球的有关问题转化为圆的问题解决.7.4球面积、体积公式：S求4R2,V球4r3（其中r为球的半径）（二）空间几何体的三视图与直观图投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形;正视图一一光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图一一光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图一一光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图;直观图:3.1直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。点、直线、平面之间的位置关系（一）平面的基本性质平面一一无限延展，无边界公理1.1三个定理与三个推论1:如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。公理2:不共线的三点确定一个平面.推论1:直线与直线外的一点确定一个平面.推论2:两条相交直线确定一个平面.推论3:两条平行直线确定一个平面.公理3:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）（二）空间图形的位置关系空间直线的位置关系：异面:与蠶//b1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述:a//b,b//ca//c相等1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角第7页或互补1.3异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线；（2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。图形语言:PA符号语言：aAPA与a异面1.4异面直线所成的角：（1）范围:0,90作异面直线所成的角：平移法.如右图，在空间任取一点0,过0作a'〃a,b7/b，则a',b'所成的角为异面直线a,b所成的角。特别地,找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点（如线段中点，端点等）上，形成异面直线所成的角•l直线与平面的位置关系：]IIA丨〃平行：〃平面与平面的位置关系：曲亠斜交：I=a相父垂直：（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1.线面平行:定义：直线与平面无公共点•a//ba//（线线平行线面平行）a//b（线面平行线线平行）判定定理：aba//性质定理：aI④判定或 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 线面平行的依据:（i）定义法（反证）:II1〃（用于判断）；a//b（ii）判定定理:a//“线线平行面面平行”（用于证明）；（iii）//a//“面面平行线面平行”（用于证明）；（4）a//线面斜交：II①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。【如图】PO于0,则AO是PA在平面内的射影，贝UPAO就是直线PA与平面所成的角。范围：0,90，注：若I或I//，则直线I与平面所成的角为0;若I,则直线l与平面所成的角为90。面面平行:①定义：I//；判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行;//【如下图①】,aIb0,a〃，b〃推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行符号表述：a,b,aIbO,a',b',a//a',b//b'判定2:垂直于同一条直线的两个平面互相平行号表述：a,a//.【如右图】③判定与证明面面平行的依据：（1）//【如上图②】定义法;判定定理及推论（常用）（3）判定④面面平行的性质：（1//)aa//（面面平行线面平行）；（2）//Iaa//b；（面面平行线线平行）（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等。（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面符号表述：若任意a,都有la,且l，则l•a,balb0②判定定理：llalbl（线线垂直线面垂直）③性质：（1）1,ala（线面垂直线线垂直）；（2）a,ba//b；④证明或判定线面垂直的依据：（1）定义（反证）；（2）判定定理（常用）；（3）a//bba（较常用）；（4）//aaIb工a；（5）a（面aab从平面外一点向这个平面所引的垂线射影越长；（3）垂线段OBOC；PAPBOAPO（1）斜线相等面垂直线面垂直）常用;⑤三垂线定理及逆定理：（I）斜线定理:段与斜线段中，（2）斜线越长图】PBPC（II）三垂线定理及逆定理：已知PO，斜线PA在平面内的射影为0A，第11页①若aOA，则aPA——垂直射影垂直斜线，此为三垂线定理;②若aPA，则aOA垂直斜线垂直射影,（1）定义：若二面角I的平面角为90，则此为三垂线定理的逆定理；三垂线定理及逆定理的主要应用：（1）证明异面直线垂直；（2）作、证二面角的平面角；（3）作点到线的垂线段；【如图】3.2面面斜交①二面角：（1）定义：【如图】OBl,OAIAOB是二面角一I的平面角范围：AOB[0,180]②作二面角的平面角的方法:（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法.3.3面面垂直（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.（线面垂直面面垂直）（3）性质：①若，二面角的一个平面角为MON，贝UMON90；(面面垂直线面垂直);aaABAa或a//aa.④Aaa空间向量及其应用1.空间向量的坐标运算空间直角坐标系在空间选定一点0和一个单位正交基底{i，j，k}(i，j，k按右手系排列)建立坐标系，坐标轴正方向与i，j，k方向相同.空间一点P的坐标的确定可以按如下方法：过P分别作三个坐标平面的平行平面(或垂直平面)，分别与坐标轴交于A、urnB、C三点，|x|=OA,|y|=OB,|z|=OC,当OA与i方向相同时，x>0,反之x<0.同uuu理确定y、z.点P的坐标与OP坐标相同.向量的直角坐标运算设a=(x1,y1,Z1),b=(x2,y2,Z2)，贝Ua+b=(X1+b1,y1+y2,Z1+Z2)；a-b=(X1-b1,y1-y2,Z1-Z2)；a.b=X1X2+y1y2+Z1Z2,a//bX1=X2,y1=y2,Z1=Z2(R)a丄bX1X2+y1y2+Z1Z2=0.夹角和距离公式①夹角公式cos=a1bia2b2色氐②距离公式设A(xi,yi,zi),B(X2,y2,Z2)，则uuuAB=(X2-xi,y2-yi,Z2-Z1)uuu222|AB|=(X2xi)2(y2yi)2(Z2zi)2.定比分点公式设A(xi,yi,Zi),B(X2,y2,Z2),uuur若M分AB为定比(^-i),则Mx=2^2i特别地，当为x2x=2，则的坐标为Z2y=—壮Z=^L，yi，Zi=i即M为中点时得中点坐标公式:yiy「由中点公式，可得以A(x三角形重心公式：x=却yZiZ2Z=2i,yi,Zi),B(X2,y2,Z2),C(X3,y3,Z3)为顶点的yiy2y3_ZiZ2Z3,Z=一33X2X3厂,y=.平面法向量的概念和求法向量与平面垂直：如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n丄平面的法向量：如果n丄，那么向量n叫做平面的法向量.一个平面的法向量有无数条，它们的方向相同或相反.一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题.推导平面法向量的方法如下：在选定的空间直角坐标系中，设平面的法向量n=(x,y,z)［或n=(x,y,i)或n=(x,i,z),或n=(i,y,z)］，在平面内任选定两个不共线的向量a,b.由n丄，得na=0且nb=0,由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到n.说明：为求平面的法向量n,按理应当设n=(x,y,z)，但是因为相差一个常数因子并不影响其与平面ABC的垂直性，在z^O的条件下，由n=(x,y,z)=z(-,zy，1)，令X=x',y=y'，于是可设n=(x'y',1)，同理也可设n=(1,y'，z),zzz或n=(x',1,z).有时为了需要，也求法向量n上的单位法向量no,no=例1.在棱长为1的正方体ABCD—AiBiCiDi中,求平面A1C1D的法向量n和单位法向量no. 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：建立空间直角坐标系，如图1，则D(O,O,O),A1(1,O,1),C1(0,1,1),uumujun得DA1=(1,O,1),DC1=(O,1,1).图1设平面A1C1D的法向量n=(x,y,1).uuujuuuj由n丄面A1C1D,得n丄DA,,n丄DC1.有(x，y，1)(1A1)O,得x1(x,y,1)(O,1,1)Oy1••n=(-1,-1,1),n°亠(h")|n|V111.3、空间向量在立体几何解题中的应用空间角1.异面直线所成的角uuu设点A,B直线a,C,D直线b,构造向量AB,uuiuCD.uuurcos=uuuuuuABCD-uuu_ttMF,|AB||CD|uuuuuu所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角.2•线面所成的角uuu如图，AB为平面的斜线，n为平面的法向量，如果AB与n之间所成的角为锐角，则斜线AB与平面之间所成的角=2uuu即利用向量AB与n求出的是角，实际上所求的角若为锐角，贝U=—-，sin=cos;2若为钝角，贝U=—-(-)=-，sin=-cos22uunuuu总之有，sin=|cos|=3.二面角的求法面角一I—，平面的法向量向量n•则二面角一I—的平面角cos=|cos|=mn.(|m||n|根据二面角的大小定，钝角取-锐角取+)若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都指向二面角内或外时，贝U为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个指向二面角内，另一个指向外时，贝U为二面角的平面角.说明：由于法向量的多样性，二面角的两个半平面的法向量n1与n2的夹角可能等于所求二面角的平面角，也可能等于所求二面角的平面角的补角.如何来确定两法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角呢？一靠经验：通过题目估计它是钝角还是锐角；二用半平面旋转法：把二面角的一个半平面绕棱按照同一个方向旋转到与另一个半平面重合时，若两个半平面的法向量的方向相同，则相等，若方向相反，则互补.（二）空间距离1.点到面的距离设A是平面外一点，AB是的一条斜线，交uu平面于点B,而n是平面的法向量，那么向量BA在n方向上的正射影长就是点A到平面的距离uuruuu所以h=|BA||cosBA,nuuu晋⑴2.异面直线间的距离A、B分别为a、b上的任意两uuu点.令向量n丄a,n丄b，贝Un//CD.uuuuuuruuuuuur'.'AB=AC+CD+DB,uuuuuuruuuuuur•'•ABn=ACn+CDn+DBn,uuuuuuuuuABn|uuuuuuuuu|n|=|CD||n|,：|CD|=l(,|n|uuu•••两异面直线a、b间的距离为：d=1ABn1|n|•ABn=CDn,其中n与a、b均垂直（即a，b的公垂向量），A、B分别为两异面直线上的任意两点..线面距离直线a与平面平行时，直线上任意一点A到平面的距离就是直线a与平面之间的距离.其求法与点到面的距离求法相同..平面与平面间的距离平面与平面平行时，其中一个平面上任意一点到平面的距离就是平面与平面间的距离.其求法与点到面的距离求法相同.用法向量求直线到平面间的距离，首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题.用法向量求两平行平面间的距离，首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题.（三）证明面面平行或面面垂直；线面平行或线面垂直等若两平面、的法向量分别为ni、n2,贝U(1)当ni门2=0时，平面丄平面;⑵当ni=n2,即它们共线时，平面//平面.若平面的一法向量为n,直线AB在平面夕卜，则uuu(1)当nAB=0时，AB//平面；uuu⑵当n=AB，即它们共线时，AB丄平面.uuuuuu(3)当ABa=0，ABb=0时，AB丄平面(a和b为内两相交向量)利用法向量来解决上述五种立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题.但是也有局限性，高中阶段用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如:正(长)方体、直棱柱、正棱锥等.