2003—2008《工程与科学计算》历届试
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
类型1.直解法例1.用列主元素Gauss消去解下列线性方程组（结果保留5位小数）0.7290%0.8100x21.0000%1.0000x21.3310%1.2100X20.9000x30.68671.0000X30.83381.1000x31.0000例2.设线性方程组Axb,其中ATOC\o"1-5"\h\z丄丄341丄丄45求Cond（A）,并分析线性方程组是否病态2.迭代法例1.设线性方程组Axb为22x1111x22，022X32写出求解线性方程组的Jacobi迭代格式，并确定当取何值时Jacobi迭代格式收敛.例2.写出求解线性方程组Axb的Seidel迭代格式，并判断所写格式的收敛性，其中Axb为3为2X362x2X382x1X22X35TOC\o"1-5"\h\z3.插值例1.已知.10010,12111,.14412,（1）试用二次插值多项式计算.115的近似值（数据保留至小数点后第5位）（2）估计所得结果的截断误差（数据保留至小数点后第5位）例2.由下列插值条件X1246/7f(X)4、1011求4次Newton插值多项式，并写出插值余项.4.Runge—Kutta格式yxy2y2sinxy(0)1,y'(0)1的计算格式例写出标准RungeKutta方法解初值问题5•代数精度例1.数值求积公式形如1°xf(x)dxS(x)Aof(O)Aif(1)A2f(0)Asf(1)试确定其中参数A1,A2,A3,A4,使其代数精度尽量高，并确定代数精度例2.验证数值求积公式f(x)dx是Gauss型求积公式.6.Romberg方法例对积分°•..1x2dx,用Romberg方法计算积分的近似值，误差不超过10并将结果填(1)设(x)为[a,b]上关于权函数(x)的n次正交多项式，以(x)的零点为节点建立Lagrange插值基函数{li(x)},bb2证明：(x)h(x)dx(x)[li(x)]dx,i1,2,,naa证明：设n次正交多项式(x)的零点为X1,X2,H|xn，则以这n个零点为节点建立的Lagrange插值基函数{li(x)},i1,2川，n是n-1次多项式，ljx)?是2n-2次多项式.故2当f(x)取h(x)和li(x)时Gauss型求积公式(x)f(x)dxAkf(Xk)k1nAkli(xk)Ab等号成立，即(x)h(x)dxa(x)l：(x)dxAJi2(xQA1则有b(x)li(x)dxab2(x)[li(x)]dx,i1,2,,n(2)对线性方程组Ax若A是n阶非奇异阵,0，x是Ax\b的精确解，x是Axb的近似解。记rAx(3)初值问题y卜"II1x*||证明:CondAb证明：由于x是Ax又A是n阶非奇异阵,A1rb的精确解，贝UAxb则xxA1rA1r，且bAxbAxAxAxA(xx)卜1MWhA1Ab||r||COndAbaxb,y(0)0有解12y(x)吉axbX，若Xnnh,yn是用Euler格式解得的y(x)在xXn处的近似值，证明：y(Xn)yn卡ahxn证明：记f(x,y)axb,f(Xn,yn)fn,且y(0)0,XnnhEuler格式为yn1yn1hfn1(yn2hfn:2)hfn1yhf0hf1hfn1h(ax0b)h(ax1b)h(axn1b)hbah2hb2ah2hb(n1)ah2hb豊“ah2nhb舟ax；*ahxbxnyn舟ax；bXn(4ax2bXn号ahXn)今ahxnhf(Xn」n)则有y(Xn)AynynCnn为非奇异阵，试证：线性方程组Axb的数值解可用(4)设Seidel迭代方法求证明：因为A为非奇异矩阵，故Axb与ATAxATb是同解方程组，而AA正定，则Seidel格式收敛，即用Seidel方法一定能求得Axb的解.(5)试导出求解初值问题yf(x,y),axby(a)y。的梯形格式，并证明用梯形格式解初值问题yy0所得数值解为yy(0)1证明将yf(x,y)在［Xn，Xni］上积分，得y(Xni)y(Xn)Xn1xf(x,y(x))dx.xn将右端的积分用梯形公式计算其近似值，并用yn,yn1分别代替yn1yn2[f(Xn,yn)f(Xn1,yn1)]y(Xn),y(Xn1),f(x,y)y代入梯形公式yn1yn月(ynYn1),则有ynyn1Yn)得ynyn1yn因为Y01,yn(6)设fC4Xo,X2,hX22X。X1Xoh，证明f(X1)![f(Xo)2f(xJ匕)]hj12(4)(),(Xo,X2)证明：f(x)的一次Lagrange插值多项式及余项形式为(XX1)(Xx2)(xxo)(xx1)(xXo)(Xxjf(x)[f(Xo)12f(X1)o—f(X2)o1](XoX1)(XoX2)(X1Xo)(X1X2)(X2Xo)(X2X1)f；)(XXo)(xX1)(XX2),(Xo,X2)其二阶导数为f(x)[f(Xo)f(Xi)f(X2)](XoXi)(XoX2)(XiXo)(XiX2)(X2Xo)(X2Xi)f®(2)-「、-「、2f(4)(i)I!屮(X3!(Xxo)(xXi)(xX2)Xo)(XXi)(XX2)],,4X2Xo2xoh，有注意到hf(Xi)[f(Xo^-fy2hf(I)()-oI!22f(4)(i)f(Xi)f(X2)f(Xi)[f(xo)2f(Xi)4!f%)](h2)f()3!o,,i,2(Xo,X2)£i2(4)(),(Xo,X2)(7)证明求积公式20f(x)dx5f(13)89f(1)If(13)是稳定的.(8)设初值问题yf(x,y)y(a)y。b中的f区域D上关于y满足Lipschitz条件,证明：格式h甘yniyn-(Ki4Kif(Xn,yn)\2Knf(Xn-h,yn33&)餌)是收敛的.倒数第三题，求AO、Ai、A2参数的那道题，前面积分限是0到i，而后面求积公式的第一个求积节点居然小于0!(i/2-根号3/I)，在积分限之外。
浙公网安备 33021202002483