平面直角坐标系一、本章的主要知识点（一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。1、记作（a，b）；2、注意：a、b的先后顺序对位置的影响。（二）平面直角坐标系1、历史：法国数学家笛卡儿最早引入坐标系，用代数方法研究几何图形2、构成坐标系的各种名称；3、各种特殊点的坐标特点。（三）坐标方法的简单应用1、用坐标表示地理位置；2、用坐标表示平移。二、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点：平行于x轴（或横轴）的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴（或纵轴）的直线上的点的横坐标相同。三、各象限的角平分线上的点的坐标特点：第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点：关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数五、特殊位置点的特殊坐标：坐标轴上点P（X，y）连线平行于坐标轴的点点P（x,y）在各象限的坐标特点象限角平分线上的点X轴Y轴原占八、、平行X轴平行Y轴第一象限第二象限第三象限第四象限第一、三象限第二、四象限(x,0)(0,y)(0,0)纵坐标相同横坐标不同横坐标相同纵坐标不同x>0y>0xV0y>0xV0yV0x>0yV0(m,m)(m,-m)六、利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：?建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向;?根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；?在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。知识一、坐标系的理解例1、平面内点的坐标是()A一个点B一个图形C一个数D一个有序数对学生自测个数据；个数据.)B原点0的坐标是0D原点0在坐标平面内1在平面内要确定一个点的位置，一般需要在空间内要确定一个点的位置，一般需要2、在平面直角坐标系内，下列说法错误的是(A原点0不在任何象限内C原点0既在X轴上也在Y轴上知识二、已知坐标系中特殊位置上的点，求点的坐标点在x轴上，坐标为(x,0)在x轴的负半轴上时，xvO,在x轴的正半轴上时，x>0点在y轴上，坐标为(0,y)在y轴的负半轴上时，y<0,在y轴的正半轴上时，y>0第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同(即在y=x直线上)；坐标点(x,y)xy>0第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反(即在y=-x直线上)；坐标点(x,y)xy<0,若点Q在y轴上例1点P在x轴上对应的实数是-3，则点p的坐标是1TOC\o"1-5"\h\z对应的实数是-，则点Q的坐标是，3例2点P(a-1,2a-9)在x轴负半轴上，则P点坐标是学生自测1、点P(m+2,m-1)在y轴上则点P的坐标是.2、已知点A(m,-2),点B(3,m-1),且直线AB//x轴，则m的值为。3、已知:A(1,2),B(x,y),AB//x轴，且B到y轴距离为2,则点B的坐标是•平行于x轴的直线上的点的纵坐标一定()A.大于0B.小于0C.相等D.互为相反数(3)若点(a,2)在第二象限，且在两坐标轴的夹角平分线上，则a=.⑶已知点P(x2-3,1)在一、三象限夹角平分线上，贝Ux=.5.过点A(2,-3)且垂直于y轴的直线交y轴于点B,则点B坐标为().A.(0,2)B.(2,0)C.(0,-3)D.(-3,0)6•如果直线AB平行于y轴，则点A,B的坐标之间的关系是().A.横坐标相等B.纵坐标相等C.横坐标的绝对值相等D.纵坐标的绝对值相等知识点三：点符号特征。点在第一象限时，横、纵坐标都为,点在第二象限时，横坐标为,纵坐标为_点有第三象限时，横、纵坐标都为，点在第四象限时，横坐标为，纵坐标为_y轴上的点的横坐标为，x轴上的点的纵坐标为。例1•如果a—bv0,且abv0,那么点（a,b）在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限，D、第四象限•例2、如果yv0,那么点P（x,丫）在（）x（A）第二象限（B）第四象限（C）第四象限或第二象限（D）第一象限或第三象限学生自测1•点P的坐标是（2,—3），则点P在第象限.2、点P（x,y）在第四象限，且|x|=3,|y|=2，则P点的坐标是。3•点A在第二象限，它到x轴、y轴的距离分别是.3、2，则坐标是若点P（x,y）的坐标满足xy>0,则点P在第象限；若点P（x,y）的坐标满足xy<0,且在x轴上方，则点P在第象限.若点P（a,b）在第三象限，则点P（—a,—b+1）在第象限；TOC\o"1-5"\h\z若点P（1-m,m）在第二象限，则下列关系正确的是（）A.0:::m::1B.m0C.m0D.m16.点（x,x-1）不可能在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7•已知点P（2x-10,3-x）在第三象限，贝Ux的取值范围是（）A.3：：X：：5B.35或xw3P在坐标平面内的位置:&（本小题12分）设点P的坐标（x,y）,根据下列条件判定点(1)xy=0；(2)xy0；(3)xy=0.⑵点A（1-.2，二）在第象限.（3）横坐标为负，纵坐标为零的点在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）X轴的负半轴（D）Y轴的负半轴（4）如果a-bv0,且abv0,那么点（a,b）在（）（A）第一象限，（B）第二象限（C）第三象限，（D）第四象限.⑸已知点A（m,n）在第四象限，那么点B（n,在第象限⑹若点P（3a-9,1-a）是第三象限的整数点（横、纵坐标都是整数），那么a=知识四：求一些特殊图形，在平面直角坐标系中的点的坐标。过点作x轴的线，垂足所代表的是这点的横坐标；过点作y轴的垂线，垂足所代表的实数，是这点的。点的横坐标写在小括号里第一个位置，纵坐标写小括号里的第个位置，中间用隔开。例1、X轴上的点P到Y轴的距离为2.5,则点P的坐标为()A(2.5,0)B(-2.5,0)C(0,2.5)D(2.5,0)或(-2.5,0)例2、已知三点A(0,4),B(—3,0),C(3,0),现以A、B、C为顶点画平行四边形，请根据A、B、C三点的坐标，写出第四个顶点D的坐标。学生自测TOC\o"1-5"\h\z1点A(2,3)至^x轴的距离为;点£(-4,0)到y轴的距离为;点C到x轴的距离为1,到y轴的距离为3,且在第三象限，则C点坐标是。2•若点A的坐标是(一3,5)，则它到x轴的距离是，至Uy轴的距离是.3•点P至Ux轴、y轴的距离分别是2、1,则点P的坐标可能为。已知点M到x轴的距离为3,到y轴的距离为2，贝UM点的坐标为().A.(3,2)B.(-3,-2)C.(3,-2)D.(2,3),(2,-3),(-2,3),(-2,-3)若点P(a,b)到x轴的距离是2,至Uy轴的距离是3,则这样的点P有()A.1个B.2个C.3个D.4个已知直角三角形ABC的顶点A(2,0),B(2,3).A是直角顶点，斜边长为5,求顶点C的坐标.直角坐标系中，正三角形的一个顶点的坐标是(0,.3),另两个顶点B、C都在x轴上，&对于边长为求B,C的坐标.6的正△ABC,建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标在平面直角坐标系中，A,B,C三点的坐标分别为(0,0),(0,-5),(-2,-2),?以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在第象限.直角坐标系中，一长方形的宽与长分别是6,8,对角线的交点在原点，两组对边分别与坐标轴平行，求它各顶点的坐标在平面直角坐标系中，A,B,C三点的坐标分别为(0,0),(0,-5),(-2,-2),?以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在第象限.(本小题11分)在图5的平面直角坐标系中，请完成下列各题:(1)写出图中A,B,C,D各点的坐标;(2)描出E(1,0),F(—1,3),G(-3,0),H(「1,-3);(3)顺次连接A,B,C,D各点，再顺次连接E,F,G,H,围成的两个封闭图形分别是什么图形?如图，正方形ABCD^(0,0)为中心，边长为4,求各顶点的坐标.已知等边△ABC的两个顶点坐标为A(-4,0),B(2,0),求：(1)点C的坐标；(2)?△ABC的面积知识点五：对称点的坐标特征。关于x对称的点，横坐标不,纵坐标互为;关于y轴对称的点，坐标不变，坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标,纵坐标。例1.已知A(—3,5),则该点关于x轴对称的点的坐标为;关于y轴对的点的坐标为;关于原点对称的点的坐标为;关于直线x=2对称的点的坐标为。例2.将三角形ABC的各顶点的横坐标都乘以-1，则所得三角形与三角形ABC的关系()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.将三角形ABC向左平移了一个单位学生自测1在第一象限到x轴距离为4,到y轴距离为7的点的坐标是;在第四象限TOC\o"1-5"\h\z到x轴距离为5，至Uy轴距离为2的点的坐标是;3•点A(-1,-3)关于x轴对称点的坐标是•关于原点对称的点坐标是。4•若点A(m,-2),B(1,n)关于原点对称，则m=,n=..已知：点P的坐标是(m,-1)，且点P关于x轴对称的点的坐标是(-3,2n)，则m=,n=;•点P(-1，2)关于x轴的对称点的坐标是，关于y轴的对称点的坐标是，关于原点的对称点的坐标是;7•若M(3,m)与N(n,m—1)关于原点对称，贝Um=,n=;&已知mn=0,则点(m,n)在;9•直角坐标系中，将某一图形的各顶点的横坐标都乘以-1，纵坐标保持不变，得到的图形与原图形关于轴对称；将某一图形的各顶点的纵坐标都乘以-1，横坐标保持不变，得到的图形与原图形关于轴对称.点A(-3,4)关于x轴对称的点的坐标是()A.(3,-4)B.(-3,-4)C.(3,4)D.(-4,-3)11.点P(-1,2)关于原点的对称点的坐标是()A.(1,-2)B(一1,一2)C(1,2)D.(2,-1)12.在直角坐标系中，点P(-2,3)关于y轴对称的点P1的坐标是()A(2,3)B.(2,-3)C.(-2,3)D.(-2,-3)若Ja-3+(b+2)2=0,则点M(a,b)关于y轴的对称点的坐标为.13•若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则此点一定在()A.原点B.x轴上C•两坐标轴第一、三象限夹角的平分线上D•两坐标轴第二、四象限夹角的平分线上知识点六：利用直角坐标系描述实际点的位置。需要根据具体情况建立适当的平面直角坐标系，找出对应点的坐标。例1、（2009绍兴市）如图是绍兴市行政区域图，若上虞市区所在地用坐标表示为（1,2），诸暨市区所在地用坐标表示为（-5,-2），那么嵊州市区所在地用坐标可表示为学生自测:TOC\o"1-5"\h\z10•课间操时，小华、小军、小刚的位置如下图左，小华对小刚说，如果我的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，那么你的位置可以表示成（A.(5,4)B.(4,5)C.(3,4))D.(4,3)（2008双柏县）如上右图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M,如果点M的位置用（—40,—30）表示，那么（10,20）表示的位置是（）A、点AB、点BC、点CD、点D知识点七：平移、旋转的坐标特点。图形向左平移m个单位，纵坐标不变，横坐标m个单位；图形向右平移m个单位，纵坐标不变，横坐标m个单位；图形向上平移个单位，横坐标，纵坐标增加n个单位；向下平移n个单位，不变，减小n个单位。旋转的情形，同学们自己归纳一下。例1.例2.三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A(2，-1)、B(1,-3)、C(4,-3.5).把三角形A!B!Ci向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A^Qi三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点；在平面直角坐标系中，将点M(1,0)向右平移3个单位，得到点M,，则点M,的坐标为.学生自测2.(本小题10分)矩形ABC［在坐标系中的位置如图3所示，若矩形的边长AB为1,AD为2,则点A,B,C,D的坐标依次为;把矩形向右平移3个单位，得矩形ABCD,2L,11)图33个单位A；B；C；D'的坐标为.3•小华若将平面直角坐标系中一只猫的图案向右平移了长度，而猫的形状，大小都不变，则她将图案上的各点坐标10..平面直角坐标系中一条线段的两端点坐标分别为(2,1),(4,1),若将此线段向右平移1个单位长度，则变化后的线段的两个端点的坐标分别为；?若将此线段的两个端点的纵坐标不变，？?横坐标变为原来的2?倍，？?则所得的线段与原线段相比;若将TOC\o"1-5"\h\z此线段的两个端点的横坐标不变，纵坐标分别加上1,?则所得的线段与原线段相比；若横坐标不变，纵坐标分别减去3,?则所得的线段与原线段相比。19.线段CD是由线段AB平移得到的，点A(-1,3)的对应点C(2,5),则B(-3,-2)的对应点D的坐标为。4.在平面直角坐标系中，点P(2,1)向左平移3个单位得到的的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6•将三角形ABC的各顶点的横坐标不变，纵坐标分别减去3，连结所得三点组成的三角形是由三角形ABC()A.向左平移3个单位B.向右平移3个单位C.向上平移3个单位D.向下平移3个单位37.如图，已知直角坐标系中的点A，点B的坐标分别为A(2,4),B(4,0),且P为AB的中点，若将线段AB向右平移3个单位后，与点P对应的点为Q,则点Q的坐标为()A.(3,2)B.(6,2)C.(6,4)D.(3,5)
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