第9章第2节

第九章　第二节1．(2014·大连测试)已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为(　　)A．0　　　　B．－8　　　　C．2　　　　D．10解析：选B　由条件知kAB＝eq\f(4－m,m＋2)＝－2，解得m＝－8，故选B.2．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　)A．x＋2y－1＝0　　　　B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0　　　　D．x＋2y－3＝0解析：选D　由 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 意得直线x－2y＋1＝0与直线x＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x－2y＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x＝1的对称点为(3,0)，所以所求直线方程为eq\f(y－0,1－0)＝eq\f(x－3,1－3)，即x＋2y－3＝0.故选D.3．(2014·潍坊一中月考)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　　)A．1或3　　　　B．1或5C．3或5　　　　D．1或2解析：选C　若k＝3，则两直线为y＝－1，y＝eq\f(3,2)，此时，两直线平行，满足条件；当k≠3时，要使两直线平行，则有eq\f(k－3,2k－3)＝eq\f(4－k,－2)≠eq\f(1,3)，即eq\f(1,2)＝eq\f(4－k,－2)≠eq\f(1,3)，解得k＝5.综上得k＝3或k＝5，故选C.4．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且2lg(sinB)＝lg(sinA)＋lg(sinC)，则两条直线l1：xsin2A＋ysinA＝a与l2：xsin2B＋ysinC＝c的位置关系是(　　)A．平行　　　　B．重合C．垂直　　　　D．相交但不垂直解析：选B　由2lg(sinB)＝lg(sinA)＋lg(sinC)，得sin2B＝sinAsinC，故eq\f(sin2A,sin2B)＝eq\f(sinA,sinC)，又eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(a,c)，所以两直线重合．所以选B.5．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为(　　)A．x＋2y－5＝0　　　　B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0　　　　D．3x＋y－5＝0解析：选A　由平面几何知识知，过点A与原点距离最大的直线是过点A且与OA垂直的直线．由于kOA＝2，故所求直线斜率为－eq\f(1,2)，因此所求直线方程为y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.故选A.6．若A(2,0)，B(x，y)，C(0,4)三点共线，则eq\r(x2＋y2)的最小值为(　　)A.eq\f(4\r(5),5)　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．2eq\r(5)解析：选A　由题意可知直线AC的方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,4)＝1，即2x＋y－4＝0，由题知点B在直线AC上，eq\r(x2＋y2)表示B点到原点O的距离公式，结合图形可知是最小值即为原点O到直线2x＋y－4＝0的距离d＝eq\f(|－4|,\r(5))＝eq\f(4\r(5),5).故选A.7．(2014·新昌中学月考)直线l1：kx＋(1－k)y－3＝0和l2：(k－1)x＋(2k＋3)y－2＝0互相垂直，则k＝________.解析：－3或1　由两条直线垂直得k(k－1)＋(1－k)(2k＋3)＝0，解得k＝－3或k＝1.8．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq\f(2\r(13),13)，则c的值是________．解析：－6或2　由题意得，eq\f(3,6)＝eq\f(－2,a)≠eq\f(－1,c)，∴a＝－4且c≠－2，则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋eq\f(c,2)＝0，由两平行线间的距离公式得eq\f(2\r(13),13)＝eq\f(|\f(c,2)＋1|,\r(13))，解得c＝2或c＝－6.9．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．解析：[0,10]　由题意得，点P到直线的距离为eq\f(|4×4－3×a－1|,5)＝eq\f(|15－3a|,5).由条件知eq\f(|15－3a|,5)≤3，所以|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10].10．从点(2,3)射出的光线沿与直线x－2y＝0平行的直线射到y轴上，则经y轴反射的光线所在的直线方程为________．解析：x＋2y－4＝0　由题意得射出的光线方程为y－3＝eq\f(1,2)(x－2)，即x－2y＋4＝0，该直线与y轴交点为(0,2)，又(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，∴反射光线所在直线过(0,2)，(－2,3)．故所求方程为eq\f(y－2,3－2)＝eq\f(x,－2)，即x＋2y－4＝0.11．过点P(1,2)的直线l被两平行线l1：4x＋3y＋1＝0与l2：4x＋3y＋6＝0截得的线段长|AB|＝eq\r(2)，求直线l的方程．解：设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2－k，,4x＋3y＋1＝0，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－7,3k＋4)，\f(－5k＋8,3k＋4)))；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2－k，,4x＋3y＋6＝0，))解得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－12,3k＋4)，\f(8－10k,3k＋4))).∵|AB|＝eq\r(2)，∴eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3k＋4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5k,3k＋4)))2)＝eq\r(2)，整理得7k2－48k－7＝0，解得k1＝7或k2＝－eq\f(1,7)，因此所求直线l的方程为x＋7y－15＝0或7x－y－5＝0.12．(2014·沧州模拟)如图，函数f(x)＝x＋eq\f(\r(2),x)的定义域为(0，＋∞)．设点P是函数图象上任一点，过点P分别作直线y＝x和y轴的垂线，垂足分别为M，N.(1)求证：|PM|·|PN|为定值；(2)O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．(1)证明：设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，x0＋\f(\r(2),x0)))(x0＞0)，则|PN|＝x0，|PM|＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),x0))),\r(2))＝eq\f(1,x0)，因此|PM|·|PN|＝1.因此|PM|·|PN|为定值．(2)解：直线PM的方程为y－x0－eq\f(\r(2),x0)＝－(x－x0)，即y＝－x＋2x0＋eq\f(\r(2),x0)，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝－x＋2x0＋\f(\r(2),x0)，))解得x＝y＝x0＋eq\f(1,\r(2)x0).连接OP，S四边形OMPN＝S△NPO＋S△OPM＝eq\f(1,2)|PN||ON|＋eq\f(1,2)|PM||OM|＝eq\f(1,2)x0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(\r(2),x0)))＋eq\f(1,2)·eq\f(1,x0)·eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(1,\r(2)x0)))＝eq\r(2)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)＋\f(1,x\o\al(2,0))))≥1＋eq\r(2)，当且仅当x0＝eq\f(1,x0)，即x0＝1时等号成立．所以四边形OMPN面积的最小值为1＋eq\r(2).1．(2014·辽宁五校联考)给出命题p：直线l1：ax＋3y＋1＝0与直线l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行的充要条件是a＝－3；命题q：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是(　　)A．命题“p且q”为真　　　　　　B．命题“p或q”为假C．命题“p或綈q”为假　　　　D．命题“p且綈q”为真解析：选D　若直线l1与直线l2平行，则必满足a(a＋1)－2×3＝0，解得a＝－3或a＝2，但当a＝2时两直线重合，所以l1∥l2等价于a＝－3，所以命题p为真．如果这三点不在平面β的同侧，则不能推出α∥β，所以命题q为假．故选D.2．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为(　　)A．0或－eq\f(1,2)　　　　B.eq\f(1,2)或－6C．－eq\f(1,2)或eq\f(1,2)　　　　D．0或eq\f(1,2)解析：选B　依题意得eq\f(|3m＋5|,\r(m2＋1))＝eq\f(|－m＋7|,\r(m2＋1)).所以|3m＋5|＝|m－7|.所以(3m＋5)2＝(m－7)2，整理得2m2＋11m－6＝0.解得m＝eq\f(1,2)或m＝－6.故选B.3．过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)的距离为2的直线方程为________．解析：y＝2或4x－3y＋2＝0　由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋3＝0，,2x＋3y－8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))∴l1，l2的交点为(1,2)．设所求直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，∵P(0,4)到直线的距离为2，∴2＝eq\f(|－2－k|,\r(1＋k2))，解得k＝0或k＝eq\f(4,3).∴直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.4．(2014·深圳调研)在平面直角坐标系xOy中，定点A(4,3)，且动点B(m,0)在x轴的正半轴上移动，则eq\f(m,|AB|)的最大值为________．解析：eq\f(5,3)　依题意知|AB|＝eq\r(m－42＋32)，所以eq\f(m,|AB|)＝eq\f(m,\r(m－42＋32))＝eq\r(\f(m2,m2－8m＋25))＝eq\r(\f(1,1－\f(8,m)＋\f(25,m2)))＝eq\r(\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,m)－\f(4,5)))2＋\f(9,25)))≤eq\r(\f(25,9))＝eq\f(5,3)，当且仅当eq\f(5,m)＝eq\f(4,5)，即m＝eq\f(25,4)时等号成立，所以eq\f(m,|AB|)的最大值为eq\f(5,3).5．(1)在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)在直线l：3x－y－1＝0上求一点Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．甲解：(1)如图甲所示，设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．设B′的坐标为(a，b)，则kBB′·kl＝－1，即3·eq\f(b－4,a)＝－1.∴a＋3b－12＝0.①又由于线段BB′的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b＋4,2)))，且在直线l上，∴3×eq\f(a,2)－eq\f(b＋4,2)－1＝0，即3a－b－6＝0.②由①②得a＝3，b＝3，∴点B′的坐标为(3,3)．于是AB′的方程为eq\f(y－1,3－1)＝eq\f(x－4,3－4)，即2x＋y－9＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－1＝0，,2x＋y－9＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝5，))所以l与AB′的交点坐标为P(2,5)．(2)如图乙所示，设C关于l的对称点为C′，连接AC′交l于点Q，此时的Q满足|QA|＋|QC|的值最小，求出C′的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(24,5))).乙∴AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，AC′和l的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,7)，\f(26,7)))，故Q点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,7)，\f(26,7))).