高二数学选修1-2第二章推理与证明*孝高蒋志方*2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.一、复习推理合情推理演绎推理归纳(特殊到一般）类比（特殊到特殊）三段论（一般到特殊）合情推理是发现的方法，演绎推理是数学中严格证明的工具.合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明。数学中证明的方法有哪些呢？直接从原命
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的条件逐步推得命题成立的证明方法称为直接证明，其一般形式为：本题条件已知定义已知定理已知公理…本题结论二、直接证明的概念已知a>0,b>0,求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b>0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:探究:一： 从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.三、综合法(顺推证法、由因导果法)1、综合法的概念条件结论推理论证条件定理公理定义PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ…注：用P
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示已知条件,已有的定义,定理,公理等.Q表示所要证明的结论。2、综合法的框图表示3、综合法的特点由因导果（浮想联翩，尝试前进）例1:如图所示,△ABC在平面α外,求证:P,Q,R三点共线.ABCPQR3、利用综合法进行证明（1）（2）证明：因为所以于是例3：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．分析：把题中的文字语言转化为符号语言由此式联想到内角各能得到什么？又由此式联想到三角形什么知识？A,B,C成等差数列2B=A+Ca,b,c成等比数列b2=ac余弦定理二二者联系起来能得到什么结论？证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C，-------①因为A+B+C=180o，--------②所以B=60o。---------③由a,b,c成等比数列，有b2=ac,-------④则b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,再有④得a2+c2-ac=ac，即(a-c)2=0因此a=c。从而有A=C--------⑤则由②③⑤得A=B=C=60o。所以三角形ABC是等边三角形。证明 (1)在四棱锥P-ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD.因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD，因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB又因为AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD所以AB⊥PD，又因为AB∩AE＝A，综上得PD⊥平面ABE.上式显然成立,因此原不等式成立.思考：这种证明的方法有什么特点？探究二 从证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知,定理,定义,公理等)注：用Q表示所要证明的结论得到一个明显成立的条件QP1P1P2P2P3…四、分析法（倒推证法，执果索因）1、分析法的概念2、分析法的框图表示要证：只要证：只需证：显然成立上述各步均可逆所以结论成立3、分析法的特点执果索因（执果索因，妙在转化）4、分析法的格式例：求证不等式：.注：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的条件。证明：要证即证故不等式成立.只需证只需证解:要证只需证展开,只需证只需证21<25因为21<25成立,所以成立.证法1:对于正数a,b,有证法2:要证只要证只要证只要证因为最后一个不等式成立，故结论成立。综合法分析法表达简洁!目的性强,易于探索!直接证明综合法和分析法的推证过程如下：综合法已知条件结论分析法结论已知条件通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程直接证明（综合法和分析法）相同都是直接证明不同证法1综合法：由因导果，形式简洁，易于表述；证法2分析法：执果索因，利于思考，易于探路思考：请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点。回顾以往的数学学习，说说你对这两种证明方法的新认识。综合法的特点:由因导果分析法的特点：执果索因.上联：由因导果，顺藤摸瓜下联：执果索因，逆推破案横批：得心应手跟踪练习：课本的
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