§3Euler积分本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数,即和.它们统称为Euler积分.在积分计算等方面,它们是很有用的两个特殊函数.一.Gamma函数考虑无穷限含参积分,当时,点还是该积分的瑕点.因此我们把该积分分为来讨论其敛散性.:时为正常积分.时,.利用非负函数积的Cauchy判别法,注意到时积分收敛.(易见时,仍用Cauchy判别法判得积分发散).因此,时积分收敛.:对R成立,.因此积分对R收敛.综上,时积分收敛.称该积分为Euler第二型积分.Euler第二型积分定义了内的一个函数,称该函数为Gamma函数,记为,即=,.函数是一个很有用的特殊函数.2.函数的连续性和可导性:在区间内非一致收敛.这是因为时积分发散.这里利用了下面的结果:若含参广义积分在内收敛,但在点发散,则积分在内非一致收敛.但在区间内闭一致收敛.即在任何上,一致收敛.因为时,对积分,有,而积分收敛.对积分,,而积分收敛.由M—判法,它们都一致收敛,积分在区间上一致收敛.作类似地讨论,可得积分也在区间内闭一致收敛.于是可得如下结论:的连续性:在区间内连续.的可导性:在区间内可导,且.同理可得:在区间内任意阶可导,且.3.函数的凸性与极值:,在区间内严格下凸.(参下段),在区间内唯一的极限小值点(亦为最小值点)介于1与2之间.4.的递推公式函数表:的递推公式:.证..于是,利用递推公式得:,,,…………,,一般地有.可见,在上,正是正整数阶乘的表达式.倘定义,易见对,该定义是有意义的.因此,可视为内实数的阶乘.这样一来,我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了内的所有实数上,于是,自然就有,可见在初等数学中规定是很合理的.函数表:很多繁杂的积分计算问
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可化为函数来处理.人们仿三角函数表、对数表等函数表,制订了函数表供查.由函数的递推公式可见,有了函数在内的值,即可对,求得的值.通常把内函数的某些近似值制成表,称这样的表为函数表.5.函数的延拓:时,该式右端在时也有意义.用其作为时的定义,即把延拓到了内.时,依式,利用延拓后的,又可把延拓到内.依此,可把延拓到内除去的所有点.经过如此延拓后的的图象如[1]P347图表21—4.例1求,,.(查表得.)解.),..6.函数的其他形式和一个特殊值:某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为函数.倘能如此,可查函数表求得该积分的值.常见变形有:ⅰ>令,有=,因此,,.ⅱ>令.注意到[1]P277E7的结果,得的一个特殊值.ⅲ>令,得.取,得.例2计算积分,其中.解I.二.Beta函数——Euler第一型积分：1．Beta函数及其连续性：称(含有两个参数的)含参积分为Euler第一型积分.当和中至少有一个小于1时,该积分为瑕积分.下证对,该积分收敛.由于时点和均为瑕点.故把积分分成和考虑.:时为正常积分;时,点为瑕点.由被积函数非负,和,(由Cauchy判法)积分收敛.(易见时积分发散).:时为正常积分;时,点为瑕点.由被积函数非负,和,(由Cauchy判法)积分收敛.(易见时积分发散).综上,时积分收敛.设D,于是,积分定义了D内的一个二元函数.称该函数为Beta函数,记为,即=不难验证,函数在D内闭一致收敛.又被积函数在D内连续,因此,函数是D内的二元连续函数.2.函数的对称性:.证=.由于函数的两个变元是对称的,因此,其中一个变元具有的性质另一个变元自然也具有.3.递推公式:.证,而,代入式,有,解得.由对称性,又有.4.函数的其他形式:ⅰ>令,有,因此得,.ⅱ>令,可得,.特别地,,.ⅲ>令,有==,即,ⅳ>令,可得.ⅴ>,.三.函数和函数的关系:函数和函数之间有关系式,以下只就和取正整数值的情况给予证明.和取正实数值时,证明用到函数的变形和二重无穷积分的换序.参阅[1]P349.证反复应用函数的递推公式,有,而.特别地,且或时,由于,就有.余元公式——函数与三角函数的关系：对，有.该公式的证明可参阅:Фихтенгалъц,微积分学教程Vol2第3分册,或参阅余家荣编《复变函数》P118—119例1（利用留数理论证明）.利用余元公式,只要编制出时的函数表,再利用三角函数表,即可对,查表求得的近似值.利用Euler积分计算积分:例3利用余元公式计算.解,.例4求积分.解令,有I.例5计算积分.解,该积分收敛.(亦可不进行判敛,把该积分化为函数在其定义域内的值,即判得其收敛.)I.例6,求积分,其中V:.解.而.因此,.
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