第8章排队论总结

排队论（QueuingTheory）排队论作为排队系统（随机服务系统）的数学理论和 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，是运筹学的一个重要分支。排队是日常生活中经常遇到的现象，如进餐馆就餐、图书馆借书、在车站候车、售票处购票等等。排队问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的表现形式往往是拥挤现象，随着生产与服务的日益社会化，由排队引起的拥挤现象会越来越普遍。一些排队系统的例子排队系统顾客服务台服务电话系统电话呼叫电话总机通呼叫或取消呼叫售票系统购票旅客售票窗口收款、售票设备维修出故障的设备修理工排除设备故障防空系统进入阵地的敌机高射炮瞄准、射击直至敌机被击落或离开飞机降落达到机场上空的飞机跑道降落诊疗系统病人医生或设备诊断（或治疗）注：要求服务的对象统称为顾客，提供服务的统称为服务台，顾客和服务台构成一个排队系统。排队系统及其特征排队可以是有形的队列，也可以是无形的队列。排队可以是人，也可以是物。排队系统服顾客源务顾客到来队列顾客离去机构3常见排队系统结构图1单队——单服务台系统1…12S单队——多服务台（串联）系统...单队——多服务台（并联）系统S4常见排队系统结构图12...S多队——多服务台（并联）系统......多队——多服务台（混联、网络）系统5基本的排队模型基本组成概念与记号常用概率分布（指数分布等）基本组成排队系统输入来源顾客队列服务机构服务完离开排队系统的三个基本组成部分.?输入过程(顾客按照怎样的规律到达);?排队规则(顾客按照一定规则排队等待服务);?服务机构(服务台的数量,服务的方式,服务时间分布等)排队系统的三大要素描述一、输入过程说明顾客按怎样的规律达到系统，通常从3方面刻画：（a）顾客总体（顾客源）数，（b）达到方式，（c）顾客相继达到的时间间隔分布。二、排队及排队规则排队:(a)损失制排队（b）等待制排队（c）混合制排队排队规则:（a）先到先服务FCFS（b）后到先服务LCFS，（c）有优先权服务PS，（d）随机服务RF。三、服务机制说明顾客按怎样的规律接受服务，通常从3方面刻画：（a）服务台数目及其连接形式（并联或串联），（b）顾客接受服务的方式（单个或成批），（c）服务时间分布。8基本排队模型－记号 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ArrivalQueueServer顾客到达时间间隔分布/服务时间分布/服务台数目/排队系统允许的最大顾客容量/顾客总体数量/排队规则(Kendall记号)M/M/1/?/?/FCFSM/M/1/?M:指数分布(Markovian)D:定长分布(常数时间)Ek:k阶Erlang分布G:普通的概率分布(任意概率分布)排队论研究的基本问题1.数量指标——研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统的基本运行特征。2.统计推断——检验系统是否达到平稳状态；检验顾客达到间隔的独立性；确定服务时间分布及参数。3.系统优化——系统的最优 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 和最优运营问题。系统状态=N(t)=队列长度=Pn(t)=s=基本排队模型－记号排队系统顾客的数量。在时间t排队系统中顾客的数量。等待服务的顾客的数量。在时间t,排队系统中恰好有n个顾客的概率。服务台的数目。基本排队模型－统计平稳条件下的记号?n=系统有n个顾客时的平均到达率（单位时间平均到达的顾客人数即是平均到达率）?n=系统有n个顾客时的平均服务率?=对任何n都是常数的平均到达率.?=对任何n都是常数的平均服务率.1/?=期望到达间隔时间1/?=期望服务时间?=服务强度，或称使用因子,?/(s?)LWq统计平稳条件下的记号平均队长平均等待时间Lq平均等待队长W平均逗留时间求解排队问题首先就要求出上述指标。L,W,Lq,Wq之间的关系L??WLq??WqLittle'sformulaW?Wq?1?关心的项目关心的项目:1、系统中无顾客的概率P02、系统中平均排队的顾客数L3、系统中的平均顾客数L4、系统中顾客平均的排队等待时间W5、系统中顾客的平均逗留时间W6、系统中顾客必须排队等待的概率P7、系统中恰好有n个顾客的概率Pqqwn常用概率分布定长分布（D）随机变量T----顾客到达间隔时间（或服务时间）P(T?a)?1分布函数1?FT(t)?P(T?t)???0fort?afort?a均值E(T)?a方差Var(T)?0负指数分布（M）随机变量T密度函数??efT(t)???0??tfort?0(??0,常数)fort?0??t分布函数F(t)?P(T?t)?1?e1E(T)?均值?方差,t?0.λfT(t)?1?Var(T)????????t2P(T?t)?e,t?0.E(T)?1t?指数分布性质1.fT(t)是一个严格下降函数P(0?T??t)?P(t?T?t??t)2.无后效性(无记忆性)P(T?t??t/T??t)?P(T?t)P(T?t??tandT??t)P(T?t??t/T??t)?P(T??t)??(t??t)??t???tP(T?t??t)eee??t????(?t)??e?P(T?t)???tP(T??t)ee3.P(T?t??t/T?t)???t,forsmallΔt.P(T?t?Δt/T?t)Moreprecisely,lim?λ.Δt?0Δt最简单流（普阿松流）Poisson过程（又称为Poisson流、最简单流）是排队论中最为常见的一种描述顾客到达规律的特殊随机过程。定义：设N(t)为时间?0,t?内达到系统的顾客数，如果满足下面三个条件：1.平稳性：在?t，t+?t?内有一个顾客达到的概率为??t+?(?t)；2.独立性：在任意两个不相交时间区间内顾客达到相互独立；3.普通性：在?t,t+?t?内多于一个顾客达到的概率为?(?t)则称｛N（t），t≥0｝为Poisson过程。18。Poisson过程与负指数分布定理1设N(t)为时间[0,t]内达到系统的顾客数，则{N(t),t≥0}为Poisson过程的充要条件是：n??tP(N(t)?n)?(?t)e在长度为t的时间区间内到达n个顾客的概率n!定理2设N(t)为时间[0,t]内达到系统的顾客数，则{N(t),t≥0}为参数为?的Poisson过程的充要条件是：相继达到时间间隔服从相互独立的参数为?的负指数分布。其中，单位时间内平均到达的顾客数=λ相继到达的间隔时间=1/λ上述定理阐述了Poisson过程与负指数分布的等价性。19验证过程：记:Pn(t)=Pn(0,t),由1)和2)有:没有顾客到达的概率P0(t,t??t)?1???t?o(?t)求Pn(t)=?用微分方程.分析[0,t),[t,t+△t)两段,到达数为n,分为三种情况,则:Pn(t??t)?Pn(t)(1???t)?Pn?1(t)??t?o(?t)?Pn(t??t)?Pn(t)???Pn(t)?t??Pn?1(t)?t?o(?t)Pn(t??t)?Pn(t)o(?t)????Pn(t)??Pn?1(t)??t?t当?t?0时:?dPn(t)???Pn(t)??Pn?1(t)?n?1时:?dt]??Pn(0)?0?dP0(t)???P0(t)?n?0时:?dt??P0(0)?1求解上述微分方程:(?t)??tPn(t)?et?0,n?0,1,2,......n!期望：E[N(t)]??t方差:Var[N(t)]??tnErlang（爱尔朗）分布v,v,…,v是k个相互独立的随机变量,服从相同参数(kμ)的负指数分布,那么:T=v+v+…+vk?1?k(?kt)??ktet?0的概率密度函数为:bk(t)?(k?1)!我们说T服从k阶Erlang分布.11E(T)?Var(T)?212k12k?k?例如串连的k个服务台，每台服务时间相对独立，服从相同的负指数分布（参数kμ），那么一顾客走完这k个服务台总共所需要的服务时间就服从上述的k阶Erlang分布。显然，k=1时，Erlang分布就是负指数分布。M/M/1/?/?或M/M/1模型一个基本地排列模型.一个服务台,到达率?和服务率?，都服从指数分布。?求Pn(t)=?建立微分方程,对M/M/1,[t,t+△t)时间区间内:??t?o(?t)1)有一个顾客到达的概率:没有一个顾客到达的概率:1-??t?o(?t)??t?o(?t)2)有一个顾客完成服务离开的概率:1-??t?o(?t)没有一个顾客完成服务离开的概率:3)多于一个顾客到达或离开的概率:o(?t)在时刻t+△t,系统中有n>0各顾客,存在以下情况:情况t时刻在[t,t+△t)t+△t时?An00nBn+101nCn-110nDn11n则:顾客数到达离开刻顾客数当?t?0时：dP（nt）对n?1，??Pn?1(t)??Pn?1(t)?(???)Pn(t)，n?1，2，...dt对n?0,仅有A和B两种情况:P0(t??t)?P0(t)(1???t)?P1(t)(1???t)??tdP（0t）则:???P0(t)??P1(t)dtPn(t??t)?Pn(t)(1???t)(1???t)?Pn?1(t)(1???t)??tPn?1(t)??t(1???t)?Pn(t)??t??t?o(?t)整理,两边同除?t:P(t??t)?P(t)o(?t)nn??Pn?1(t)??Pn?1(t)?(???)Pn(t)??t?t考虑稳态解，即P（t）与t无关,所以:n则:dPn(t)P?dt?0nnlim???Pn(t)????P0??P1?0??Pn?1??Pn?1?(???)Pn?0n?0n?1求解:?PP1?0??2P)P2?(0??n一般地:P)Pn?(0???Pn?1n?0??令:??(服务强度,服务机构利用率)????n1nP)?P?P?10?(0??0?1??n?0n?0?P0?1????nP?(1??)?n?1?n?计算有关指标–队长–L??nP??n(1??)??(??2??3??...)?(?–????????...)?–1???L??????nnn?0n?1232?2?3?...)23–队列长Lq??(n?1)Pn?n?0??nPn?1?n??Pn?1?n?2?L???1????????–––––逗留时间:可以证明,W服从参数为μ-λ的负指数分布.则:1W????等待时间1??Wq?W????????(???)L??WLq??Wq?Little 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ?W?Wq?L?Lq???1总结????Lq??21??,L??1??1Wq?,W??(1??)?(1??)Pn?(1??)?n?M/M/1/?系统顾客到达时间间隔和服务时间均服从负指数分布，只有一个服务台，系统内顾客容量无限。其中，?――平均到达率，?――平均服务率，????――服务强度。用N(t)表示在时刻t系统中的顾客数量，则(?tk??tPt)?P(N(t)?k)?)ek(k!,k?0,1,2,...在统计平稳条件下，有p0?1??，pn?(1??)?n,n?0可以看出?正是服务台忙的概率。M/M/1/?系统的几个重要指标在统计平稳条件下，有平均队长平均等待队长平均等待时间平均逗留时间L??公式1??LittleL??W2Lq??WqL?q?1??W?W1q?L?L??W?q??q?(???)?W?W11q??????M/M/1/?举例（1）某飞机票售票点仅有一个服务人员。若购票者是以最简单流到达，平均每小时到达5人，假定售票时间服从负指数分布，平均每小时可服务6人，试研究该售票点的排队情况。5解：??5,??6,??6平均队长L??1??＝5，?225?平均等待队长Lq?61??5??平均等待时间Wq??(???)61平均逗留时间W?Wq??＝1????1M/M/1/?举例（1）M/M/squeuingcomputationsArrivalrateServicerateNumberofservers56183.33%0.16674.16675.00000.83331.0000UtilizationP(0),probabilitythatthesystemisemptyLq,expectedqueuelengthL,expectednumberinsystemWq,expectedtimeinqueueW,expectedtotaltimeinsystem0.2Probability0.150.10.050024681012141618202224NUMBERINSYSTEM2628303234363840M/M/1/?举例（2）要购置计算机，有两种方案。甲方案是购进一大型计算机，乙方案是购置n台小型计算机。每台小型计算机是大型计算机处理能力的1。设要求上机的题目是参数为?的最简单流，大型计算机与小型计n算机计算题目的时间是负指数分布，大型计算机的参数是?。试从平均逗留时间、等待时间看，应该选择哪个方案。??1解：按甲方案，??，Wq甲?，W甲?。?(???)?????/n???，Wq乙?按乙方案，???nWq甲，??/n?(1??)n1W乙??nW甲。所以，选择乙方案。?/n??/nM/M/1/N/?单一服务台，固定长度?1,??1???N?1Pn??n?0,1,2,?,N;??1??n???,??1N?1??1??固定长度排队意味着若到了最大系统容量顾客将不能进入系统.N?,??1N??2L??nPn??N?1?(N?1)?n?0??,??1N?1?1???1??Lq??(n?1)Pn?L?(1?P0)n?0NM/M/1/N/?单一服务台，固定长度PN??损失概率有效到达率：?e??（1?PN）或?e??（1?P0）根据Little公式LqLL11W?????Wq??e?（1?P0）?（1?PN）???e?（1?PN）?e???1?P0??实际服务强度??总结其中：1??n?,n?0,1,2,?N;当??1时，Pn?N?11??N?1?(N?1)?L??1??1??N?1Lq?L?(1?P0)1?PN）????e??（?1?P0??实际服务强度??;e???LW???e?(1?P0)Wq?W?1L?.1??1时，Pn?，n?0,1,2,?,N；N?1N1N(N?1)Lq??(n?1)Pn?L?(1?P0)??1??2N?12(N?1)n?0NNL??nPn?;2n?0LNN?1W??;?e2?N?1Wq?2?例：单人理发馆排队问题[问题]有6个椅子接待人们排队，超过6人顾客就离开，平均到达率3人/小时，理发需时平均15分钟。[分析]Ｎ＝7为系统中的最大顾客数。3平均到达率，平均服务率???＝3人/小时，?＝4人/小时。4理发店内没有顾客即顾客到达就能理发的概率1??1?3/4P0???0.2778N?181??1?(3/4)等待顾客数的期望值(N?1)?3/48(3/4)L?????2.11N?181??1??1?3/41?(3/4)Lq?L?(1?P0)?2.11?(1?0.2778)?1.39?N?18有效到达率?e??（1?PN）或?e??（1?P0）?e?4(1?0.2778)?2.89人/小时顾客在理发馆内逗留的期望时间小时Wq?L/?e?2.11/2.89?0.73?43.8分钟可能的顾客中有百分之几的概率不等待就离开，即求系统中有7个顾客的概率。?7?1??/??37?1?3/4????P)??()?3.7%7?(8?8?????1?(?/?)?4?1?(3/4)?运筹学M/M/1/N/?举例M/M/swithFiniteQueueArrivalrate5Servicerate6Numberofservers1Maximumqueuelength4UtilizationP(0),probabilitythatthesystemisemptyLq,expectedqueuelengthL,expectednumberinsystemWq,expectedtimeinqueueW,expectedtotaltimeinsystemProbabilitythatacustomerwaitsProbabilitythatacustomerbalks0.30.250.20.150.10.050024681012141618202224NUMBERINSYSTEM262830323474.94%0.25061.22941.97880.27340.44010.74940.1007Probability5???161??nPn??,n?0,1,2,3,4;51??1??P0?;51??5?5?L??51??1??Lq?L?(1?P0)?e??（1?P0）?（61?P0）L363840♂W??e?Lq?e?1??Wq?1?增加更多服务台M/M/c规定：各服务台工作是相互独立的，且平均服务率相同，均为?。整个服务机构的平均服务率为：c?(当n?c)，n?(当n