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(整理)广义积分的收敛判别法第二节广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算,在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值.对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件—积分收敛，否则其结果毫无意义。因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理9.1(Cauchy收敛原理)fx)在［a,)上的广义积分卜f(x)dxa收敛的充分必要条件是：號〉0,存在A>0,使得b,b>A时，恒有|fb...

第二节广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算,在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值.对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件—积分收敛，否则其结果毫无意义。因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理9.1(Cauchy收敛原理)fx)在［a,)上的广义积分卜f(x)dxa收敛的充分必要条件是：號〉0,存在A>0,使得b,b>A时，恒有|fbf(x)dxl 函数fx)在［a,b)上有定义，在其任何闭子区间［a,b-s］上常义可积，则瑕积分fbf(x)dx收敛的a充要条件是：就〉0,3s〉0,只要0a，均有IJA/f(x)dxI0(1-£>0),存在A,xTgg(x)当X>A时，0<1-£ 标准，则得到下列axpCauchy判别法：设f⑴是［a,+g)的函数，在其任意闭区间上可积,那么:定理9.8若01,那么积分卜f(x)dx收敛，如xpafx)>—，p<1,则积分卜f(x)dx发散.xpa其极限形式为定理9.9如limXPf(x)=1(0<1<+g,p>1),则积分J+gf(x)dx收xT+g敛．如limxpf(x)=l,而00)xm+8dx(m>0,11+xn解：(1)因为01时，积分+8xm11+xndx收敛.当n_m<1时,xm积分f+8-11+xndx发散.对于瑕积分，使用fb1dx作为比较标准，我们有下列柯西判别a(x一a)p法．(1)如00),p<1,则fbf(x)dx收敛.a⑵如f(x)>(c>0),p>1,则fbf(x)dx发散.a瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为定理9.11设lim(x-a)pf(x)=kx-a+如01,那么Jbf(x)dx发散.a例9.9判别下列瑕积分的敛散性。1dxJ1(k2<1)oj(1—x2)(1-k2x2)丄dxJ2(p,q>0)0sinpxcosqx解：(1)1是被积函数的唯一瑕点丄因为lim(1-x)2xt1-dx\,(1-x2)(1-k2x2)1.2(1-k2)1由p=_知瑕积分收敛.兀⑵0与2都是被积函数的瑕点•丄dx先讨论J；,由limxp0SinpxcosqxxT0+Sinpxcosq兀dx知：当p<1时，瑕积分J4收敛；当p>10sinpxcosqx<+g_=1时,瑕积分丹dc__发散.0sinpxcosqxTOC\o"1-5"\h\zh、…兀dx再讨论J2-匹sinpxcosqx4兀1因lim(—-x)p=1兀一2sinpxcosqxxT—2所以当q<1时，瑕积分JIdX收敛，王SinpxCOSqx4当qn1时，瑕积分J2dx发散.匹sinpxcosqx4兀dx综上所述，当p<1且q<1时，瑕积分J2收敛；其他情况0sinpxcosqx发散．例9.10求证：若瑕积分(x)dx收敛，且当xT0+时函数fx)单调趋0向于+g，则limxfx)=0.xt0+证明：不妨设Vxg(0,1],f(x)n0,且心)在(0,1)上单调减少。已知(x)dx收敛，由柯西收敛准则，有0V〉0,〉0(5<1),V00),当九<石时收敛0[x(1—cosx)]九31当九n3时发散.x3(1—cosx、九x31,即“时，3瑕积分发散．前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果．定理9.12(积分第二中值定理)设g(x)在［a,b］上可积，虫兀)在［a,b］上单调，则存在Eg［a,b］使Jbf(x)g(x)dx=g(a)左f(x)dx+g(b)左f(x)dxaaa为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况．引理9.1设fx)在［a,b］上单调下降并且非负，函数g(x)在［a,b］上可积,则存在cg［a,b］，使\bf(x)g(x)dx=f(a)fcg(x)dxaa证明：作辅助函数屮(x)=f(a)卜g(t)dt,对［a,b］的任一分法aP:a=x0,f(x)>0,i—1in所以工f(x)卜g(x)dxi—1xxTOC\o"1-5"\h\zi=1i—1=昱[f(x.)—f(x)]G(x)+f(x)G(x)i—1iinni=1>{为[f(x)—f(x)]+f(x)}minG(x)i—1ini=1xe[a,b]=f(a)minG(x)xe[a,b]同样可证工f(x—)fxig(x)dxa,使VA,A>A时，有010证明：(1)Vs〉0,设Ig(x)Ia,显然有IJAif(x)dxl<2MA同时，因为limg(x)=0,所以存在A>a,当x>A0时，有XT+S00wg(x)lA有i0IJAf(x)dxlII前面已证卜83x1dx发散1x+8IcoSxarctanxI由比较判别法知J+8dx发散，所以1x卜c缴爲rcx加条件收敛.1x对瑕积分也有下列形式的Abel判别法和Dirichlet判别法定理9.14若下列两个条件之一满足，则fbf(x)g(x)dx收敛：(b为唯a一瑕点)(1)(Abel判别法)fbf(x)dx收敛，g(x)在［a,b)上单调有界⑵(Dirichlet判别法)F(n)=Jf(x)dx在［a,b)上有界,g(x)a在(0,b-a］上单调，且limg(x)=0.XTb—证明:(1)只须用第二中值定理估计Jb-n/f(x)g(x)dxb-n读者可以仿照定理11.2.8(1)的作法完成(1)的证明(2)读者可以仿照定理11.2.8(2)的作法完成(2)的证明1sin例9.14讨论积分J1-dx0xp解:对于0x=_xp2xp2xp2cos_x21cos因J1一dx发散，J1xdx收敛,02xp02xpsinxxpx发散从而当00)；11+xpsin(x+_)(12)J+s—dx(p〉0).0xp证明：若瑕积分J1f(x)dx收敛，且当xT0+时，函数f(x)0单调趋于+出,则limxfx)=0.xT0+若函数fx)在［a,+a)有连续导数f/(x),且无穷积分卜f(x)dxa+3f/(x)dx都收敛，则limfx)=0.axT+34.设fx)在［a,+3)上可导，且单调减少，limf(x)=0,xT+8求证：卜f(x)dx收敛o卜xf/(x)dx收敛.aa证明：若函数fx)在［a,+3)上一致连续，且无穷积分卜f(x)dx收敛，则limfx)=0.axT+37.求证：若无穷积分J+3f(x)dx收敛，函数fx)在［a,+3)内单a1调，则f(x)=°(—).x计算下列广义二重积分的值．⑴\\"E,其中D=&x,y)Ixy>1,x〉ll｝；xpyqD⑵Ddxd^；/I—x2—y20

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