东北师范大学附属中学2010—2011学年度上学期高三年级第二次摸底考试数学
试题
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（理科）考试时间：120分钟试卷满分:150分说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分；考试时间120分钟．注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、考号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出
答案
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后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置．4．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共有12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．“或是假命题”是“非为真命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若，则的值为（）A．B．C．D．4．已知各项不为的等差数列，满足，数列是等比数列，且，则（）A．B．C．D．5．已知，若函数的图象关于直线对称，则的值可以是（）A．B．C．D．6．若函数的图象如图所示，则函数的单调递增区间为（）－23yx0A．B．C．D．7．函数，若，则的所有可能值组成的集合为（）A．B．C．D．8．设函数的定义域分别为，且是的真子集．若对任意的，都有，则称为在上的一个“延拓函数”．已知函数，若为在上的一个“延拓函数”，且是偶函数，则函数的解析式是（）A．B．C．D．9．已知的内角的对边分别为，且三内角成等差数列，三边长成等比数列，则的形状为（）A．等边三角形B．非等边的等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形10．在数列中，，则（）A．B．C．D．yxO3—311．函数，已知其导函数的部分图象如图所示，则的函数解析式为（）A．B．C．D．12．设函数，区间，集合,则使成立的实数对有（）A．0对B．1对C．2对D．3对第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题纸中的横线上）13．直线与抛物线所围成图形的面积是．14．已知一个等差数列的前9项的算术平均数为10，前10项的算术平均数为13，则此等差数列的公差为．15．已知在上是增函数，则的取值范围是．16．给出下列命题：①函数是偶函数；②若是第一象限的角，且，则；③函数图象的一条对称轴方程为；④在三角形中，的充要条件是；⑤函数的一个对称中心为．其中正确命题的序号是_______________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）已知函数,是的导函数．（Ⅰ）求函数的最大值和相应的值；（Ⅱ）若，求的值．18．（本题满分12分）已知数列满足：数列满足．（Ⅰ）若是等差数列，且求的值及的通项公式；（Ⅱ）若是等比数列，求的前项和．19．（本题满分12分）青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔，拥有长580米，宽40余米的沙滩，是亚洲较大的海水浴场．这里三面环山，绿树葱茏，现代的高层建筑与传统的别墅建筑巧妙地结合在一起，景色非常秀丽．海湾内水清浪小，滩平坡缓，沙质细软，自然条件极为优越．已知海湾内海浪的高度（米）是时间（，单位：小时）的函数，记作．下表是某日各时刻记录的浪高数据：03691215182124经长期观测，的曲线可近似地看成是函数的图象．（Ⅰ）根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数表达式；（Ⅱ）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内从上午8∶00至晚上20∶00之间，哪段时间可对冲浪爱好者开放？20．（本题满分12分）已知函数，其中．（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析；（Ⅱ）对任意的，求函数的单调区间．21．（本题满分12分）数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，且，求证:对任意正整数，总有2；（Ⅲ）正数数列中，，求数列中的最大项．22．（本题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求在上的最小值；（Ⅱ）若存在（是常数，＝2．71828）使不等式成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）证明对一切都有成立．参考答案一、选择题BADBCABCAADD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题纸中的横线上）（13）（14）6（15）（16）①④⑤三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（17）解：（Ⅰ）， ……………2分故， ……………4分其最大值为，此时． ………………6分（Ⅱ）若，则，得，……8分．……10分（18）解：（Ⅰ）是等差数列，．---1分又,……………４分解得，……………５分．……………６分（Ⅱ）是等比数列，，则．…7分数列是首项为，公比为的等比数列，……………８分当；……………10分当时，．（19）解:（Ⅰ）由表中数据，知周期，由，得；由，得，∴，∴振幅为, …………６分（Ⅱ）由题知，当时才可对冲浪者开放，,,即,．∵,故可令①中的分别为0,1,2．得．∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00． …………12分（20）解:（Ⅰ）,由导数的几何意义得，于是，由切点在直线上可得，解得,所以函数的解析式为． …………６分（Ⅱ），当时，显然>0（x≠0）,这时单调递增区间为（，0）和（0，）；当时，令=0，解得，当变化时，，的变化情况如下表：x（,）（,0）（0,）（,）+0--0+极大值极小值所以的递增区间为（,-）和（,），递减区间为（-,0）和（0,）．…………12分（21）（Ⅰ）解：由已知：对于，总有①成立∴（n≥2）②①--②得∴∵均为正数，∴（n≥2）∴数列是公差为1的等差数列又n=1时，，解得=1∴．（） …………4分（Ⅱ）证明：，当时， …………8分（Ⅲ）解：由已知，易得 猜想时，是递减数列．令∵当∴在内为单调递减函数．．由．．∴时,是递减数列．即是递减数列，又,∴数列中的最大项为． 。…………12分（22）解：（Ⅰ）…………4分（Ⅱ）由题意知，而，故．． …………8分（Ⅲ） 等价证明由（Ⅰ）知．。．．．。…………12分
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