第一章解三角形.正弦定理:1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即abc2R（其中R是三角形外接圆的半径）sinAsinBsinC2.变形：1)abcabcsinsinsinCsinsinsinC2）化边为角：a:b:csinA:sinB:sinC-asinA.bsinBasinAbJsinBcsinC'csinC'3）化边为角：a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC4）化角为边：sinAa.JsinBbsinAasinBbsinCcsinCc5）化角为边：sinAasinBbc,sinC2R‘2R2R利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角;例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=18°0,求角A,由正弦定理-Sn)-Sn^bsinBcsinCasinAt;求出b与ccsinC已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理a求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正bsinB弦定理a泄求出c边csinC△ABC中，已知锐角A,边b,贝UabsinA时，B无解；absinA或ab时，B有一个解;bsinAab时，B有两个解。如：①已知A60,a2,b2.3,求B（有一个解）②已知A60,b2,a23,求B（有两个解）注意：由正弦定理求角时，注意解的个数.三角形面积1.SabcabsinC2bcsinA2acsinB2Sabc-(abc)r,其中r是三角形内切圆半径.21SabcJP(Pa)(pb)(pc),其中p2(abc),sABCabc,R为外接圆半径4RSABC2R2sinAsinBsinC,R为外接圆半径余弦定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即2ab22c2bccosAb22a2c2accosB2c2ab22abcosCb222ca2.变形：cosA-2bc22.2acbcosB2aca2b2c2cosC2ab注意整体代入，如：a2c2b2accosB-23•利用余弦定理判断三角形形状：设a、b、c是C的角、、C的对边，贝U:F4■占立亡小営卫>0»J<90°若，，所以V为锐角若c2b2a2A为直角2T2J+A2亡£0eos^4=<0»>90*若―,所以以为钝角，则4亠'是钝角三角形4.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：1）已知三边，求三个角2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角四、应用题已知两角和一边（如A、B、C）,由A+B+C=n求C,由正弦定理求a、b.已知两边和夹角（如a、b、c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=n,求另一角.已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求B,由A+B+C=冗求C,再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况.已知三边a、b、c,应用余弦定理求A、B,再由A+B+C=n，求角C.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东XX度，北偏西XX度，南偏东XX度，南偏西XX度.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角.五、三角形中常见的结论1）三角形三角关系：A+B+C=180;C=180—（A+B）;2）三角形三边关系：两边之和大于第三边：.八—-：，—：二，：「“；两边之差小于第三边：川-••,•』：「，；「*；3）在同一个三角形中大边对大角：ABabsinAsinB4）三角形内的诱导公式：sin（AB）sinC,cos（AB）cosC,tan（AB）tanC,TOC\o"1-5"\h\zAB“C、tantan()222CC、sin()cos()22__2_cos(C)sin(C)2225)两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(a±B)=sinacosB土cosasinB.(2)cos(a±®=cosocosB?sinainBtana±anB⑶tan(a±B=1?tanaanB6)二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2a=2sinacosa.(2)cos22.2a=cosa—Sina=2cos?a—1=1—2sin12a.⑶sin2⑷tan22tana1—tan2a7）三角形的五心：垂心一一三角形的三边上的高相交于一点重心一一三角形三条中线的相交于一点外心一一三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于占八、、1cos221cos2;cos22
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