【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学-3.2-导数的计算教案-新人教A版选修1-1

【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学-3.2-导数的计算 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 -新人教A版选修1-1PAGEPAGE13.2导数的计算3．2.1　几个常用函数的导数3．2.2　基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)熟练掌握基本初等函数的导数公式；(2)掌握导数的四则运算法则．2．过程与方法能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．3．情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学生对问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的认知能力．由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了几个基本初等函数的导数公式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 和导数的运算法则．学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用，在训练中也有加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣．●重点、难点重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则．难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用．(教师用书独具)●教学建议本节内容是应用导数公式和四则运算法则解决求导数问题，记住公式和法则是应用的前提，通过出示不同类型的例题与习题，进行反复的训练与强化是突破重点、难点的关键．●教学 流程 快递问题件怎么处理流程河南自建厂房流程下载关于规范招聘需求审批流程制作流程表下载邮件下载流程设计 eq\x(创设问题情境，引出问题：有没有更简洁的求导方法？)⇒eq\x(引导学生通过导数的定义推导出几个常用函数的导数公式.)⇒eq\x(通过引导学生回答所提问题导出导数的运算法则.)⇒eq\x(通过例1及其变式训练，使学生掌握用求导公式求初等函数的导数.)⇒eq\x(通过例2及其变式训练，使学生掌握用求导公式和导数的运算法则求导.)⇒eq\x(复习回顾导数的几何意义，完成例3及其变式训练，解决导数的应用问题.)⇒eq\x(归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.)⇒eq\x(完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.)(对应学生用书第52页)课标解读1.了解导数公式的推导过程、理解导数的四则运算法则．(难点)2．掌握几种常见函数的导数公式．(重点)3．能够运用导数公式和求导法则进行求导运算．(重点)基本初等函数的导数公式【问题导思】　1．用导数的定义求导数的步骤是怎样的？【提示】　①求函数值的变化量；②求平均变化率；③取极值，得导数．2．我们发现，用导数的定义求导数很复杂，能不能 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 出常用函数的求导公式呢？【提示】　能．　基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝α·xα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_x续表　　原函数导函数f(x)＝axf′(x)＝axln_a(a>0且a≠1)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)(a>0且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)导数的运算法则【问题导思】　　一个函数可以求其导数，那么两个函数加、减、乘、除能求导吗？【提示】　能．　设两个函数f(x)，g(x)可导，则和的导数[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)差的导数[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)积的导数[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)商的导数eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)(对应学生用书第53页)用求导公式求函数的导数　求下列函数的导数(1)y＝x8　(2)y＝eq\f(1,x4)　(3)y＝eq\r(3,x)(4)y＝2x　(5)y＝log2x　(6)y＝cosx【思路探究】　(1)以上函数分别是什么类型的函数？(2)这种函数的求导公式是怎样的？【自主解答】　(1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7.(2)y′＝(eq\f(1,x4))′＝(x－4)′＝－4x－5.(3)y′＝(eq\r(3,x))′＝(xeq\f(1,3))′＝eq\f(1,3)xeq\f(1,3)－1＝eq\f(1,3)x－eq\f(2,3).(4)y′＝(2x)′＝2xln2.(5)y′＝(log2x)′＝eq\f(1,xln2).(6)y′＝(cosx)′＝－sinx.1．基本初等函数的求导公式是求导数基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导．2．对于形如y＝eq\f(1,xp)，y＝eq\r(n,x)的函数一般先转化为幂函数的形式，再用幂函数的求导公式求导．3．要区分指数函数、对数函数的求导公式，以免在运用时混淆．　求下列函数的导数；(1)y＝10；(2)y＝x10；(3)y＝eq\r(3,x2)；(4)y＝eq\f(1,\r(3,x2))；(5)y＝3x；(6)y＝log3x.【解】　(1)y′＝(10)′＝0(2)y′＝(x10)′＝10x10－1＝10x9.(3)y′＝(xeq\f(2,3))′＝eq\f(2,3)xeq\f(2,3)－1＝eq\f(2,3)x－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3\r(3,x)).(4)y′＝(x－eq\f(2,3))′＝－eq\f(2,3)x－eq\f(2,3)－1＝－eq\f(2,3)x－eq\f(5,3)＝－eq\f(2,3\r(3,x5)).(5)y′＝(3x)′＝3xln3.(6)y′＝(log3x)′＝eq\f(1,xln3).用求导公式和导数运算法则求导　求下列函数的导数：(1)f(x)＝(x＋2)(x－3)；(2)f(x)＝lgx－3x；(3)f(x)＝eq\f(1,1－\r(x))＋eq\f(1,1＋\r(x))；(4)f(x)＝eq\f(sinx,1＋sinx).【思路探究】　【自主解答】　(1)∵f(x)＝x2－x－6，∴f′(x)＝(x2－x－6)′＝2x－1.(2)f′(x)＝(lgx)′－(3x)′＝eq\f(1,x·ln10)－3xln3.(3)y＝eq\f(1,1－\r(x))＋eq\f(1,1＋\r(x))＝eq\f(1＋\r(x)＋1－\r(x),1－\r(x)1＋\r(x))＝eq\f(2,1－x)，∴y′＝(eq\f(2,1－x))′＝eq\f(－21－x′,1－x2)＝eq\f(2,1－x2).(4)∵f(x)＝eq\f(sinx,1＋sinx)＝1－eq\f(1,1＋sinx)，∴f′(x)＝1′－(eq\f(1,1＋sinx))′＝－eq\f(－1＋sinx′,1＋sinx2)＝eq\f(cosx,1＋sinx2).1．应用导数运算法则求函数的导数的技巧：(1)求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错．(2)利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．(3)在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导．2．应用导数运算法则求函数的导数的原则：结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除运算，再套运算法则．　求下列函数的导数：(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；　(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(3)y＝eq\f(x－1,x＋1)；　(4)y＝－sineq\f(x,2)(1－2cos2eq\f(x,4))．【解】　(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′＝5x4－9x2－10x.(2)法一　y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)＝18x2－8x＋9.法二　∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，∴y′＝18x2－8x＋9.(3)法一　y′＝(eq\f(x－1,x＋1))′＝eq\f(x－1′x＋1－x－1x＋1′,x＋12)＝eq\f(x＋1－x－1,x＋12)＝eq\f(2,x＋12).法二　∵y＝eq\f(x－1,x＋1)＝eq\f(x＋1－2,x＋1)＝1－eq\f(2,x＋1)，∴y′＝(1－eq\f(2,x＋1))′＝(－eq\f(2,x＋1))′＝－eq\f(2′x＋1－2x＋1′,x＋12)＝eq\f(2,x＋12).(4)y＝－sineq\f(x,2)(1－2cos2eq\f(x,4))＝－sineq\f(x,2)(－coseq\f(x,2))＝eq\f(1,2)sinx，y′＝(eq\f(1,2)sinx)′＝eq\f(1,2)(sinx)′＝eq\f(1,2)cosx.导数的应用　在抛物线y＝－x2上求一点，使之到直线4x＋3y－8＝0的距离最小．【思路探究】　(1)平行于直线4x＋3y－8＝0且与抛物线相切的直线与抛物线y＝－x2的切点是否满足题意？(2)该切点的坐标如何求出？【自主解答】　如图所示，由题意知作与4x＋3y－8＝0平行的直线l，当l与y＝－x2相切时，切点P到直线4x＋3y－8＝0的距离最小．设切点为(x0，－xeq\o\al(2,0))，又y′＝(－x2)′＝－2x，∴－2x0＝－eq\f(4,3)，∴x0＝eq\f(2,3)，y0＝－xeq\o\al(2,0)＝－eq\f(4,9)，∴点P(eq\f(2,3)，－eq\f(4,9))，即抛物线y＝－x2上的点(eq\f(2,3)，－eq\f(4,9))到直线的距离最小．利用导数的四则运算法则和基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义，可以求解一些与距离、面积有关的几何问题，解题的关键是正确运用曲线的切线．　已知点P是曲线y＝x2－lnx上一点，求点P到直线y＝x－2的最小距离．【解】　过p作y＝x－2的平行直线，且与曲线y＝x2－lnx相切，设P(x0，xeq\o\al(2,0)－lnx0)，则k＝y′|x＝x0＝2x0－eq\f(1,x0)＝1，∴x0＝1或x0＝－eq\f(1,2)(舍去)，∴p的坐标为(1,1)，∴dmin＝eq\f(|1－1－2|,\r(1＋1))＝eq\r(2).(对应学生用书第54页)因公式记忆不准确致误　求函数y＝sinx－cosx的导数．【错解】　y′＝(sinx)′－(cosx)′＝cosx－sinx【错因分析】　(cosx)′＝－sinx，错解中因漏掉负号致误．【防范措施】　应熟记基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，以防因记忆不牢而致误．【正解】　y′＝(sinx)′－(cosx)′＝cosx＋sinx.本堂课的主要内容是利用基本初等函数的求导公式和导数的运算法则求导数的运算．在运算中，熟记有关的求导公式是关键，但对运算法则更应熟练掌握，特别是对商的运算，应与积的运算予以区别记忆，同时也要注意它们之间的联系.(对应学生用书第54页)1．已知函数f(x)＝eq\f(1,x)，则f′(－3)等于(　　)A．4　　　B.eq\f(1,9)　　　C．－eq\f(1,4)　　　D．－eq\f(1,9)【解析】　∵(eq\f(1,x))′＝－eq\f(1,x2)，∴f′(－3)＝－eq\f(1,－32)＝－eq\f(1,9).【答案】　D2．下列各式中正确的是(　　)A．(lnx)′＝xB．(cosx)′＝sinxC．(sinx)′＝cosxD．(x－5)′＝－eq\f(1,5)x－6【解析】　∵(lnx)′＝eq\f(1,x)，(cosx)′＝－sinx，(x－5)′＝－5x－5－1＝－eq\f(5,x6)，∴A、B、D均不正确；C正确．【答案】　C3．下列求导正确的是(　　)A．(x＋eq\f(1,x))′＝1＋eq\f(1,x2)B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C．(3x＋ln3)′＝3x·ln3＋eq\f(1,3)D．(x2cosx)′＝－2xsinx【解析】　eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝1－eq\f(1,x2)，A不正确．(3x＋ln3)′＝(3x)′＋(ln3)′＝3xln3，C不正确．(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，D不正确．【答案】　B4．求曲线y＝eq\f(x,x－2)在点(1，－1)处的切线方程．【解】　y′＝(eq\f(x,x－2))′＝eq\f(－2,x－22).∴k＝y′|x＝1＝－2∴切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0.(对应学生用书第107页)一、选择题1．(2013·普宁高二检测)设函数f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝(　　)A．e2　　　B．e　　　C.eq\f(ln2,2)　　　D．ln2【解析】　∵f′(x)＝lnx＋1，∴f′(x0)＝lnx0＋1＝2.∴lnx0＝1，x0＝e.【答案】　B2．(2013·广元高二检测)曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为(　　)A．x＋3y－3＝0B．3x－y＋1＝0C．3x＋y－1＝0D．x－3y＋3＝0【解析】　y′＝ex＋xex＋2，∴y′|x＝0＝3＝k.∴曲线在点(0,1)处的切线方程为y－1＝3x，即3x－y＋1＝0.【答案】　B3．设曲线y＝ax2在(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　)A．1B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)D．－1【解析】　y′＝2ax，∴在点(1，a)处切线的斜率k＝y′|x＝1＝2a.由题意可得2a＝2，∴a＝1.故选A.【答案】　A4．函数y＝eq\f(x,1－cosx)的导数是(　　)A.eq\f(1－cosx－sinx,1－cosx)B.eq\f(1－cosx－xsinx,1－cosx2)C.eq\f(1－cosx－sinx,1－cosx2)D.eq\f(1－cosx＋xsinx,1－cosx2)【解析】　y′＝eq\f(x′1－cosx－x1－cosx′,1－cosx2)＝eq\f(1－cosx－xsinx,1－cosx2).【答案】　B5．设函数f(x)＝eq\f(sinθ,3)x3＋eq\f(\r(3)cosθ,2)x2＋tanθ，其中θ∈[0，eq\f(5π,12)]，则导数f′(1)的取值范围是(　　)A．[－2,2]B．[eq\r(2)，eq\r(3)]C．[eq\r(3)，2]D．[eq\r(2)，2]【解析】　f′(x)＝x2sinθ＋eq\r(3)xcosθ，∴f′(1)＝sinθ＋eq\r(3)cosθ＝2sin(θ＋eq\f(π,3))，∵θ∈[0，eq\f(5π,12)]，∴sin(θ＋eq\f(π,3))∈[eq\f(\r(2),2)，1]，∴f′(1)∈[eq\r(2)，2]．【答案】　D二、填空题6．设函数f(x)＝x3－2x2＋x＋5，则f′(1)＝________.【解析】　∵f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(1)＝3×12－4×1＋1＝0.【答案】　07．(2013·张家港高二检测)设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，(a，b，c是两两不等的常数)，则eq\f(a,f′a)＋eq\f(b,f′b)＋eq\f(c,f′c)＝________.【解析】　∵f′(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，代入即得eq\f(a,f′a)＋eq\f(b,f′b)＋eq\f(c,f′c)＝eq\f(a,a－ba－c)＋eq\f(b,b－cb－a)＋eq\f(c,c－ac－b)＝eq\f(－ab－c－bc－a－ca－b,a－bb－cc－a)＝eq\f(－ab＋ac－bc＋ab－ac＋bc,a－bb－cc－a)＝0.【答案】　08．(2013·重庆高二检测)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．【解析】　∵f′(1)＝n＋1，∴y＝xn＋1在点(1,1)处的切线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1.令y＝0，得xn＝eq\f(n,n＋1)，∴an＝lgn－lg(n＋1)，∴a1＋a2＋…＋a99＝lg1－lg100＝－2.【答案】　－2三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y＝x－sineq\f(x,2)·coseq\f(x,2)；(2)y＝eq\f(1,\r(x))·cosx.【解】　(1)∵y＝x－sineq\f(x,2)·coseq\f(x,2)＝x－eq\f(1,2)sinx，∴y′＝1－eq\f(1,2)cosx.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))·cosx))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))′cosx＋eq\f(1,\r(x))(cosx)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))′cosx－eq\f(1,\r(x))sinx＝－eq\f(1,2)x－eq\f(3,2)cosx－eq\f(1,\r(x))sinx＝－eq\f(cosx,2\r(x3))－eq\f(1,\r(x))sinx＝－eq\f(cosx＋2xsinx,2x\r(x)).10．已知函数f(x)＝eq\f(alnx,x＋1)＋eq\f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，求a，b的值．【解】　(1)f′(x)＝eq\f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x)－lnx)),x＋12)－eq\f(b,x2).由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－eq\f(1,2)，且过点(1,1)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝1，,f′1＝－\f(1,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,\f(a,2)－b＝－\f(1,2).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1.))所以a＝1，b＝1.11．设函数f(x)＝ax－eq\f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)求证曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【解】　(1)7x－4y－12＝0可化为y＝eq\f(7,4)x－3.当x＝2时，y＝eq\f(1,2).又f′(x)＝a＋eq\f(b,x2)，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))故f(x)＝x－eq\f(3,x).(2)【证明】　设点P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋eq\f(3,x2)可知曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋eq\f(3,x\o\al(2,0)))(x－x0)，即y－(x0－eq\f(3,x0))＝(1＋eq\f(3,x\o\al(2,0)))(x－x0)．令x＝0，得y＝－eq\f(6,x0)，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－eq\f(6,x0))．令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(6,x0)))·|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x围成的三角形的面积为定值，此定值为6.(教师用书独具)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2011(x)＝(　　)A．sinx　　B．－sinx　　C．cosx　　D．－cosx【解析】　f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4.∴f2011(x)＝f3(x)＝－cosx.【答案】　D已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1(eq\f(π,2))＋f2(eq\f(π,2))＋…＋f2011(eq\f(π,2))＝________.【解析】　f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝(cosx－sinx)′＝－sinx－cosx，f4(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝sinx＋cosx，以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)．又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，∴f1(eq\f(π,2))＋f2(eq\f(π,2))＋…＋f2011(eq\f(π,2))＝f1(eq\f(π,2))＋f2(eq\f(π,2))＋f3(eq\f(π,2))＝－f4(eq\f(π,2))＝coseq\f(π,2)－sineq\f(π,2)＝－1.【答案】　－1