张量分析作业11

张量分析作业11LtD张量分析1张量代数1.1坐标系在三维空间中，一个笛卡尔坐标系用图 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为三个相互垂直的轴，分别记为x轴、y轴、z轴。为以前方便起见，坐标轴可更方便地表示成轴、轴、轴，而不是更熟悉的记法x轴、y轴、z轴。图1.1所示的坐标系假定采用右手记法，轴、轴位于图纸平面内，轴垂直指向读者。在这种记法中，坐标轴分别平行于〔右手〕指向观察者的中指、指向右边的大拇指和垂直向上的食指。坐标的正向为手指的指向，如果我们想像一个右手方向旋转的螺杆，由轴向轴旋转会导致螺杆沿着轴的正向前进。同样可以轮流采用标记1、2和3来检验螺杆沿正方向前进的情况。正因为如此，图1.1所示的坐标系为右手坐标系。不是右手坐标系的叫左手坐标系。如用左手，那么图1.1中轴正向朝下。注意任何两个具有相同原点的右手坐标系，都可以将一个坐标系转到另一个坐标系上，使之重合。这也适用于左手坐标系，图1.1右手螺旋定那么但不适用一左一右的情况。1.2矢量代数矢量既有大小又有方向，这与标量不同，标量只有大小。例如，速度是矢量，温度是标量。在坐标系中矢量通常用箭头表示，箭头的方向为矢量的方向，箭头的长度与矢量的大小成比例。图1.2中表示沿三个相互垂直轴方向的单位矢量、和。例如，单位矢量为单位长度〔从原点量起〕并沿轴，因而必须垂直另外两个坐标轴和。对空间中任意一点P，坐标是、和，可以表示为矢量OP或V。这个矢量V可以想像为矢量、和的组合，故有=++(1.1)或根据单位矢量得V=++〔1.2〕其中，、和为标量值。进一步简化，上式课简写为=〔〕〔1.3〕显然这个形式中3个标量的排序时至关重要的。可以看出矢量的标记形式上采用了P点的笛卡尔坐标表示。图1.2右手笛卡尔坐标系中的位置与单位矢量通常认为，、和作为的分量，或反过来，将矢量分解成分量。矢量作用的特定点常常可以从上下文中得知，不需要特别指明，图1.2中矢量恰好作用在坐标原点。假设两个矢量和U的分量相等，那么定义他们相等，相等的条件为=，=，=〔1.4〕或紧凑地表示为=，i=1,2,3〔1.5〕通常，跟简洁地将相等表示为=〔1.6〕由于下标i没有特别指明，可以认为它代表了三种可能下标中任一个。如果矢量乘以一个正的标量а，那么结果а定义为一个新的矢量，方向与同向，大小为的а倍。如果а为负值，那么负号表示相反的方向。由平行四边形法那么得到两个矢量U与之和的定义，如图1.3所示。显然，矢量的加减可以定义为其分量的加减。W=U=〔〕+〔〕+〔〕〔1.7a〕根据这些分量，有〔，，〕=〔，，〕〔1.7b〕或采用=〔1.8〕图1.3矢量相加1.3字母指标记法与求和约定标量：只有大小，没有方向的量矢量：既有大小又有方向的量张量：具有多重方向性，更为复杂的物理量字母指标记法：即将一物理量的所有分量用一个字母表示，并用指标区别不同的分量。例如，一个矢量V可以表示如下：V=〔v1,v2,v3〕=vi其中i=1,2,3Einsten求和约定：即一个指标在表达式某一项中重复出现两次，那么该指标要取完指标域中所有值，然后将各项加起来，该重复出现的指标称为哑标。只出现一次的指标称为自由指标。例如：其中说明哑标不区分分量，只是求和，故可以更换符号。双重求和：三重求和：*注意：指标在表达式某一项中出现三次以上，那么为违约，须保存求和符号∑，如中的∑须保存。*规定：出现双重指标但不求和时，在指标下方画横线或用文字进行说明〔如：i不表示求和〕。1.4Kronecher符号定义QUOTEδij为：QUOTEδij的矩阵形式为：可知，δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。如：δijQUOTE的作用：1、更换指标；2、选择求和。1.5排列符号QUOTEeijk的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。由上定义可得在三维空间中有：即故混合积：三阶行列式的展开：QUOTE常见恒等式：(1)(2)(3)1.6坐标转换如上图所示，设旧坐标系的基矢为，新坐标系的基矢为。有QUOTE在下进行分解：QUOTEQUOTE在下进行分解：QUOTE其中，QUOTE为新旧坐标轴间的夹角余弦，称为坐标转换系数。空间点P在新老坐标系矢径QUOTE其中为上图中坐标原点的位移矢量。将向新坐标轴QUOTE上投影的矢量的分量：由此得新坐标用老坐标表示的公式：QUOTE类似地，将向老坐标上投影，可以推导出老坐标用新坐标表示的公式：QUOTEQUOTE特别的，当新旧坐标原点重合时，也即坐标轴仅发生旋转，此时，QUOTE上两式的矩阵形式为：QUOTEQUOTEQUOTEQUOTE由上可知，QUOTE，是正交矩阵，那么。综合以上可知：QUOTE同理，可推出QUOTE将老坐标到新坐标的坐标转换称为正转换，QUOTE；将新坐标到老坐标的坐标转换称为正转换，QUOTE，其中QUOTEQUOTE为常数，QUOTE称为雅克比行列式。假设J处处不为0，那么说明存在相应的逆变化。即：1.7张量的分量坐标转换规律1.7.1一阶张量一阶张量在新老坐标系中的分解为：，其中，那么，得到同理，，得矢量是与一阶基矢相关联的不变量，可表示为一阶基矢的线性组合，此组合与坐标系的选择无关，故为一阶张量。标量为零阶张量。1.7.2二阶张量定义为二阶基矢，写在一起，不作任何运算。由QUOTE可得坐标变换时二阶基矢的转换规律为QUOTE又QUOTE，记QUOTEQUOTE那么QUOTE。该式表示a与b并乘为一个坐标不变量，称为二阶张量。记为QUOTE将QUOTE代入QUOTE可得此分量转换可进一步推广到高阶张量。张量与坐标轴选择无关，故可独立于坐标系来表述。QUOTE1.8张量的代数运算1.8.1张量的相等假设两个张量QUOTE和QUOTE相等，那么，即同一坐标系中的分量相等。因为都符合转换规律，有：1.8.2张量的和、差同维同阶方可进行和差运算。(1)QUOTE那么QUOTE(2)a为一矢量，T、S为张量，有(3)分量形式：(4)矩阵形式：数积张量A，标量λ，QUOTE，那么QUOTE1.8.4张量的并积两个同维不同阶〔同阶〕张量A、B的并积C是一个阶数为A、B阶数之和的高阶张量。同样符合转换规律。张量的缩并假设对某张量中任意两个基矢量求点积，那么张量将缩并为低二阶的新张量。QUOTE，有QUOTE。取不同基矢量点积，缩并结果不同。1.8.6张量的点积两个张量先并乘后缩并的运算称为点积。QUOTE，其中QUOTE双点积两个张量并乘之后再进行两次缩并，称为双点积。并联式双点积=串联式双点积张量的商法那么张量T，如果它满足对于任意一个q阶张量S的内积均为一个p阶张量U，即在任意坐标系内以下等式成立QUOTE，那么T必定是一个p+q阶的张量。以上规那么称为张量的商法那么。2二阶张量2.1张量的标量不变量二阶张量的分量与基张量均随坐标转换而变换，从而保证了其实体对于坐标的不变性。但如果对这些随坐标转换而变化的张量分量进行一定的运算，就可以得到一些不随坐标转换而变化的标量，这种标量称为张量TQUOTE的标量不变量，简称张量的不变量。2.2二阶张量的三个主不变量QUOTE2.3实对称二阶张量的标准形2.3.1定义对于一个实对称二阶张量QUOTE，必定有一组正交标准化基QUOTE，在这组基中，N化为对角型标准形QUOTE，其对应的矩阵是对角型的，即称为张量N的主分量，正交标准化基QUOTE的方向为张量N的主轴方向〔或主方向〕，对应的笛卡尔坐标系称为张量N的主坐标系。2.3.2对称张量与反对称张量对称张量，转置张量等于其自身的张量：反对称张量，转置张量与其相反的张量：QUOTE三维二阶对称张量的独立分量有6个，n维有QUOTE个。反对称张量的主对角分量为0。三维二阶反对称张量的独立分量有3个，n维有QUOTE个。任意二阶张量B可以分解称为对称张量S和反对称张量A之和，即B=S+A再有QUOTE，得：