HUAsystemofficeroom【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】多面体与球的内切和外接常见类型归纳多面体与球的内切和外接常见类型归纳在平常教学中，立体几何的多面体与球的位置关系，是培养学生的立体感，空间想象能力的好教材。可是学生在两个几何体的组合后，往往感到无从下手。针对这种情况，笔者把日常教学中有关这方面的习题加以
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和归类如下：一．正四面体与球CBDAOSEFSHAPE\*MERGEFORMAT如图所示，设正四面体的棱长为a，r为内切球的半径，R为外接球的半径。则高SE=a,斜高SD=a，OE=r=SE-SO，又SD=BD,BD=SE-OE,则在r=。R=SO=OB=特征分析：由于正四面体是一个中心对成图形，所以它的内切球与外接球的球心为同一个。R=3r.r=R=。此结论可以记忆。例题一。1、一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的
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面积为（）分析：借助结论，R===,所以S=4=3。2、球的内接正四面体又有一个内切球，则大球与小球的表面积之比是（）分析：借助R=3r，答案为9：1。二、特殊三棱锥与球SACOBOCBAS四个面都是直角三角形的三棱锥。SA因为SAAC，SBBC，球心落在SC的中点处。所以R=。三．正方体与球。1．正方体的外接球即正方体的8个定点都在球面上。AOB关键找出截面图:ABCD为正方体的体对角面。设正方体的边长为a，则AB=a，BD=2R，AD=a，DCR=a。DC正方体的内切球。BDCA（1）与正方体的各面相切。如图：ABCD为正方体的平行侧面的正方形。R=ADBC（2）与正方体的各棱相切。如图：大圆是正方形ABCD的外接圆。AB=CD=a，R=a。在正方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的三条侧棱互相垂直且相等，它的外接球可把三棱锥补形成正方体的外接球，再求解。例题：1。正方体的全面积是24，它的顶点都在同一球面上，这个球的表面积是解析：显然，球是正方体的外接球，a=2，则R=，S=12。2．一个球与棱长为1的正方体的12条棱都相切，则球的体积解析：如果明确了上面的结论，问题很容易解决。R==1==V=3．将棱长为1的正方体削成体积最大的球，则球的体积为解析：削成体积最大，即要求球是正方体的内切球，与正方体的俄各面都相切。R=，V=。4．P、A、B、C、是球O面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则球的体积是解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成正方体，则球是正方体的外接球，所以R=，V=。四、正棱柱与球BACC1A11B1D11DO1．正三棱柱外接球。如图所示：过A点作AD垂直BC,D为三角形ABC的中心，D1同样得到。则球心O必落在DD1的中点上。利用三角形OAD为直角三角形，OA=R,可求出R.2.正四棱柱外接球。道理与上面相似。主要是找截面，构造直角三角形，利用勾股定理求得。例题：1。已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是CBADO解析：如上图，OA=,OD=，AD=，可求a＝6，V=54.2.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各个顶点都在半径为R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为解析：截面如图：ABCD为正四棱柱的体对角面OD=R，设AD=a，底面正方形的边长为b，则有DC=b，则R2=（a/2）2+（b/2）2，S=4ba=。五、长方体与球CBADO1．长方体的外接球。截面图如右图：实质构造直角三角形，联系半径与长方体的长宽高。半径为体对角线的一半。2．在长方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的三条侧棱互相垂直不相等，它的外接球可把三棱锥补形成长方体的外接球，再求解。例题：一个三棱锥三条棱两两垂直，其长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成长方体，则球是长方体的外接球，所以R=，S=50。
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