2018-2019学年2-21.1.2瞬时速度学案

1.1.2瞬时速度学习目标：1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)4.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)[自主预习·探新知]1．函数的平均变化率1到x2的平均变化率为y＝f(x2，其中x＝x2－x1是相(1)函数y＝f(x)从xxx2－x1对于x1的一个“增量”，y＝f(x2)－1＝f(x1＋x)－f(x1是相对于1的一个“增f(x))f(x)量”．(2)平均变化率的几何意义设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率yf(x2x＝x2－x1＝f(x1＋xx为割线AB的斜率，如图111所示．图111思考：x，y的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？[提示]x，y可正可负，y也可以为零，但x不能为零．平均变化率yx可正、可负、可为零．2．瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋x的平均变化率(2)函数f(x)在x＝x在yf(x0＋xx→0时的极限即limx→0x＝limx→0x.3．导数的概念函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记f(x0＋x作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limx→0x.[基础自测]1．思考辨析(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与x值的正、负无关．()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．()(3)在导数的定义中，x，y都不可能为零．()提示：(1)由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故正确．(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误．(3)在导数的定义中，y可以为零，故错误．[ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ](1)√(2)×(3)×2．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋x时，函数的改变量y为()A．f(x0＋x)B．f(x0)＋xC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋x)－f(x0)[y＝f(x0＋x)－f(x0)，故选D.]3．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是()A．4B．4.1C．0.41D．－1.1ss(2.12.12－22B[＝t＝2.1－2＝0.1＝4.1，故选B.]．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．4[解析]∵f(x)＝x2.∴在x＝1处的瞬时变化率是limx→0yf(1＋x(1＋xx＝limx→0x＝limx→0x＝limx→0(2＋x)＝2.[答案]25．函数f(x)＝2在x＝6处的导数等于________．f(6＋x2－2[解析]f′(6)＝limx→0x＝limx→0x＝0.[答案]0[合作探究·攻重难]求函数的平均变化率已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间[x0，x0＋x]上的平均变化率.[解](1)因为f(x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f(x0＋x)－f(x0)＝3(x0＋220x)＋5－(3x＋5)26x0x＋3(x)2＋－26x0x＋3(x)2＝0＋0－＝3x53x5.6x0x＋3(x2函数f(x)在区间[x0，x0＋x]上的平均变化率为x＝6x0＋3x.[规律方法]1.求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量2－x1；x＝x第二步，求函数值的增量y＝fx2－fx1；第三步，求平均变化率yf(x2x＝x2－x12.求平均变化率的一个关注点f(x0＋x求点x0附近的平均变化率，可用x的形式.[跟踪训练]1．如图112，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于()图112A．1B．－1C．2D．－21－3[平均变化率为3－1＝－1.故选B.]．已知函数2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋x,2＋y)，则yy＝f(x)＝2x2x的值为()A．4B．4xC．4＋2x2D．4＋2xy2(1＋x2－2×12x.故选D.]D[x＝x＝4＋2求瞬时速度[探究问题]1．物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，如何计算物体在[1,1＋t]这段时间内的平均速度？提示：s＝5(1＋t)2－＝10t＋5(t)2，＝s＋t＝5105t.2．当t趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？s提示：当t趋近于0时，t趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度．[思路探究]――→t令t→0t―→[解]ss(1＋t∵t＝t(1＋t2＋(1＋t＋1－(12＋1＋1＝t＝3＋t，∴s＝(3＋t)＝3.t→0tlimt→0lim∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.即物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.母题探究：1.(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．[解]求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．ss(0＋t∵t＝t(0＋t2＋(0＋t＋1－1＝t＝1＋t，∴t→0(1＋t)＝1.lim∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1m/s.2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.[解]设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.ss(t0＋t又t＝t(2t0＋1)＋t.st→0(2t0＋1＋t)limt→0t＝lim2t0＋1.则2t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.[规律方法]求运动物体瞬时速度的三个步骤1求时间改变量t和位移改变量s＝st0＋t－st0s2求平均速度＝t3求瞬时速度，当t无限趋近于0时，f(s,t)无限趋近于常数v，即为瞬时速度.求函数在某一点处的导数f(x0－3x(1)设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且limx→0x(x0)等于()A．1B．－1＝1，则f′1D．1C．－331(2)求函数f(x)＝x－x在x＝1处的导数．[思路探究]f(x0＋x(1)类比f′(x)＝limx→0x求解．0(2)―→yyx―→x(1)C[∵limf(x0－3xx→0xf(x0－3x＝limx→0·(－3＝－3f′(x0)＝1，1∴f′(x0)＝－3，故选C.]11(2)∵Δy＝(1＋x)－1＋x－11x＝x＋1－1＋x＝x＋1＋x，y1x＝1＋x＝1＋1＋x，∴f′(1)＝limx→0y1x＝2.x＝limx→01＋[规律方法]求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限．[跟踪训练]．已知′＝－，则limf(1－2xf(1)x→0x＝________.32[解析]∵f′(1)＝－2，∴f(1－2x1x→0x＝limx→0×(－2xlim＝－2f(1－2xx→0－2x＝－2f′(1)＝－2×(－2)＝4.lim[答案]44．求函数y＝3x2在x＝1处的导数．[解]∵Δy＝f(1＋x)－f(1)＝3(1＋x)2－3＝6x＋3(x)2yx，，∴x＝6＋3∴f′(1)＝limx→0yx→0(6＋3x)＝6.x＝lim[当堂达标·固双基]1．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是()A．0.4B．2C．0.3D．0.2s(2.1－s(24.2－4＝2.]B[＝2.1－2＝0.1．物体自由落体的运动方程为12，g＝9.8m/s2，若v＝limt→0＝2s(t)＝2gts(1＋t＝9.8m/s，那么下列说法中正确的是()A．9.8m/s是物体从0s到1s这段时间内的速率B．9.8m/s是1s到(1＋t)s这段时间内的速率C．9.8m/s是物体在t＝1s这一时刻的速率D．9.8m/s是物体从1s到(1＋t)s这段时间内的平均速率C[结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确．]3．函数f(x)＝在x＝1处的导数为________．[解析]∵Δy＝f(1＋x)－f(1)＝－1，y1＋x－11∴x＝x＝＋1，∴f′(1)＝y＝11limx→0xlimx→0＋1＝.2[答案]12．设f(x)在x0处可导，若f(x0＋3x＝A，则f′(x0)＝________.4limx→0x[解析]limf(x0＋3xx→0x＝3f(x0＋3x＝3f′(x0)＝A.3xlim3x→01故f′(x0)＝3A.A[答案]35．在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋x,4＋y)，求：(1)y；(2)f′(1).x[解](1)yf(1＋x－f(1x＝x(1＋x＝2＋x.＝xf(1＋x(2)f′(1)＝limx→0x＝limx→0(2＋x)＝2.