第28讲 平行线的性质(提高) 学生版

平行线的性质知识讲解（提高）【学习目标】掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；了解平行线的判定与性质的区别和联系.【要点梳理】要点一、平行线的公理、定理公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角相等）.定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补（简记为：两直线平行，同旁内角互补）.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一局部内容，切不可无视前提“两直线平行”.（2）从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质.要点二、平行线的性质定理的探究过程1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）・因为3〃13,所以Z1=Z2（两直线平行，同位角相等），又Z3=Z1（对顶角相等）所以Z2=Z3.2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补（简记为：两直线平行，同旁内角互补）.所以Z3=Z2（两直线平行，内错角相等）,又Z3+Zl=180°（补角的定义），所以Z2+Zl=180°.要点诠释：平行线性质定理的 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性.要点三、平行线的性质与判定平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆.平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行.联系：性质与判定的和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关.辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角.【典型例题】类型一、平行线的性质公理、定理的应用C1、如下图，把一块长方形纸片ABCD沿EF折叠，ZEFG=50°,求NDEG和ZBGM的大小.【总结升华】此题考查了平行线的性质以及折叠的性质，解答此题的关键是由折叠的性质得出NNFE=匕EFC,ZMEF^ZDEF.举一反三【变式】(洛阳一模)如图，直线111miln,等边△ABC的顶点B,C分别在直线n和m上,边BC与直线n所夹的角为25。，那么匕a的度数为度./I'III▼2、如下图，AB〃CD,分别探索以下四个图形中匕P与匕A,NC的关系，请你从所得的四个关系中任选一个加以说明.【总结升华】考生应熟知平行线的有关知识点，这是中考常考的题型.G^3、（东莞）如图，己知AB〃CD,ZA=36°,ZC=120°,求ZF-ZE的大小.【思路点拨】过E作EG〃AB,过F作FII〃AB,可以求出ZAEG与NHFC的度数，又EG〃FH,根据两直线平行，内错角相等，匕GEF二ZEFH,所以ZF-ZE=ZHFC-ZAEG.【总结升华】此题主要考查两直线平行内错角相等和同旁内角互补的性质，作平行线把NF、NE分成两个角是解题的突破口，也是关键.举一反三【变式】如图，且1】〃12,且13与L、12分别交于A、B两点，点P在直线AB上，当点P在A、B两点之间运动时，问Z1、匕2、匕3之间的数量关系，请说明理由如果点P在A、B两点外侧运动时，试探究Zl,Z2,Z3之间的数量关系(点P与A、B不重合)只要写出结论即可，不必证明.类型二、平行的性质与判定综合应用C^4、(玉州区期末)如图，BD±AC于D,EF±AC于F.ZAMD=ZAGF.Z1=Z2=35°求ZGFC的度数：求证：DM〃BC.【总结升华】此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键.举一反三【变式】如图，Zl+Z2=180°,ZDEF=ZA,求证：ZACB^ZDEB.5、如图，AQ平分ZFAC,：ZFED=ZAHD,求证：BD〃GE〃AH.B厄CZGFA=40°,ZHAQ=15°，ZACB=70°,且【总结升华】此题考查了平行线的判定与性质.解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用.【稳固练习】一、选择题TOC\o"1-5"\h\z1.假设Z1和Z2是同旁内角，假设Zl=45°,那么N2的度数是（）45°B.135°C.45°或135°D.不能确定2.如图，己知直线AB〃CD,ZC=125°,ZA=45°,那么NE的大小为（）E70°B.80°C.90°D.100°3.（德阳）如图，直线AB〃CD,直线EF与AB、CD相交于N,M两点,MG平分ZEMD,假设ZBNE=30°,那么/EMG等于（）A.15°B.30°C.75°D.150°4.如图，0P〃QR〃ST,那么以下等式中正确的选项是（）Zl+Z2-Z3=90°Z2+Z3-Zl=180°Zl-Z2+Z3=180°Zl+Z2+Z3=180°（永新县期末）如图，假设ACJBC,CD1AB,Z1=Z2,以下结论：①Z3=ZEDB；（2）ZA=Z3；③AC〃DE；④22与Z3互补；©Z2=ZA,其中正确的有（）CA.2个B.3个C.4个D.5个如图，AB〃EF〃CD,ZABC=46°,ZCEF=154°,那么ZBCE等于（）A.23°16°20°26°二、填空题7.如下图,为点、M,直线q//b.假设4=58。，直线c与直线。，。分别相交于点A、点B,AMA.b,垂足那么匕2=,直线。与8之间的距离,ZDCE=35°,那么有ZBEC=（绵阳）如图，AB〃CD,ZCDE=119°,GF交ZDEB的平分线EF于点F,ZAGF=130°,（西藏校级期末）己知：如图，ADJLBC于D,EG±BC与G,ZE=Z3,试问：AD是NBAC的平分线吗？假设是，请说明理由.解答：是，理由如下：VAD1BC,EG±BC（）...匕4二匕5=90°（垂直的定义）二AD//EG・.・Z1=ZEZ2=Z3VZE=Z3（）AAD是ZBAC的平分线（角平分线的定义）.如图，AD平分ZXABC的外角ZEAC,且AD〃BC,假设ZBAC=80°,那么/B二如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C,D分别落在点C',D'处，C'E交AF于点G,假设ZCEF=70°，那么匕GFD'=°.三、解答题四、13.（长春二模）探究：如图①，点A在直线MN上，点B在直线MN外，连结AB,过线段AB的中点P作PC〃MN,交ZMAB的平分线AD于点C,连结BC,求证：BC1AD.应用：如图②，点B在ZMAN内部，连结AB,过线段AB的中点P作PC〃AM,交ZMAB的平分线AD于点C；作PE〃AN,交ZNAB的平分线AF于点E,连结BC、BE.假设ZMAN=150°,那么ZCBE的大小为度.图①图②14.己知如图(1),CE〃AB,所以Z1=ZA,Z2=ZB,AZACD=Z1+Z2=ZA+ZB.这是一个有用的事实，请用这个结论，在图(2)的四边形ABCD内引一条和边平行的直线，求/A+ZB+ZC+ZD的度数.15.如下图，点B、E分别在AC、DF上，BD、CE均与AF相交，Z1=Z2,ZC=ZD,求证:ZA=ZF.【答案与解析】一、选择题【答案】D；【解析】此题没有给出两条直线平行的条件，因此同旁内角的数量关系是不确定的.【答案】B；【解析】解：如图，・..AB〃CD,ZC=125°,.・・ZEFB=125°,AZEFA=180-125=55°,VZA=45°,AZE=180°-ZA-ZEFA=180°-45°-55°=80°.【答案】A；【解析】解：•.•直线AB〃CD,ZBNE=30°,AZDME=ZBNE=30°.・.・MG是匕EMD的角平分线，.\ZEMG=1ZEMD=15°.应选A.2【答案】B；【解析】反向延长射线ST交PR于点M,那么在AMSR中，180°-Z2+18O0-Z3+Zl=180°,即有Z2+Z3-Z1=180°.【答案】B；【解析】先根据Z1=Z2得出AC〃DE,再由AC±BC可得出DE1BC,故匕3+匕2=90°,Z2+ZEDB=90°,故①正确；由AC〃DE可知ZA=ZEDB,ZEDB=Z3,故可得出②正确；21=匕2可知AD〃DE,故③正确；由DE±AC可知匕2与N3互余，故④错误；根据CD1AB可得出Z2+ZEDB=90°,故可得出Z2+ZA=90°,故⑤错误.【答案】C；【解析】解：AB//EF//CD,ZABC=46°,ZC2F=154°,:.ZBCD=ZABC=46°,ZFEC+ZECD=180°,.../砌=180°—.FEC=26°,:WBCE=ZBCD-Z.ECD=46°—26°=20°.填空题【答案】32°,线段AM的长;【解析】因为a//b,所以Z/!&!/=Z1=58°.又因为AMLb,所以Z2+Z/也片90°,所以匕2=90°-58°=32°.【答案】95°；【解析】如图，过点E作EF〃AB.所以ZABE+ZFEB=180°（两直线平行，同旁内角互补），所以ZFEB=180°-120°=60°.又因为AB〃CD,EF〃AB,所以EF〃CD,所以匕FEC=ZDCE=35°（两直线平行，内错角相等），所以ZBEC=ZFEB+ZFEC=60°+35°=95°.D【答案】9.5°；【解析】解：VAB//CD,ZCDE=119°,「./AED=180°-119°=61°,ZDEB=119°.•「GF交ZDEB的平分线EF于点F,AZGEF=lx119°=59.5°,2AZGEF=61°+59.5°=120.5°.VZAGF=130°,AZF=ZAGF-ZGEF=130°-120.5°=9.5°.故答案为：9.5°.【答案】同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，Zl,Z2.【解析】解：是.VAD1BC,EG1BC（）AZ4=Z5=90°（垂直的定义）・.・AD〃EG,（同位角相等，两直线平行）AZ1=ZE,（两直线平行，同位角相等）Z2=Z3.（两直线平行，内错角相等）VZE=Z3,（）AZ1=Z2,AAD是NBAC的平分线（角平分线的定义）.【答案】50；【解析】VZBAC=80°,AZEAC=100°,VAD平分△ABC的外角ZEAC,AZEAD=ZDAC=50°,・.・AD〃BC,AZB=ZEAD=50°・故答案为：50.【答案】40；【解析】长方形纸片ABCD中，AD〃BC,VZCEF=70°,AZEFG=ZCEF=70°,AZEFD=180°-70°=110°,根据折叠的性质，ZEFD'=NEFD=110°,AZGFD,=ZEFD,-ZEFG,=110°-70°,=40°・故答案为：40.解答题【解析】解：探究：.「PC〃MN,・・・ZPCA=ZMAC.•「AD为ZMAB的平分线，・.・ZMAC=ZPAC.・・・ZPCA=ZPAC,・.・PC=PA.・.・PA=PB,・.・PC=PB,AZB=ZBCP.ZB+ZBCP+ZPCA+ZPAC=180°,r.ZBCA=90°,..・BCLAD；应用：ZMAB的平分线AD,ZNAB的平分线AF,ZMAN=150°,AZBAC+ZBAE=75°,ZBAC+ZBAE+ZCBA+ZABE=180°,AZCBE=ZCBA+ZABE=180°-75°=105°故答案为：105.14.【解析】解：如图，过点D作DE〃AB交BC于点E.・・・ZA+Z2=180°,ZB+Z3=180°（两直线平行，同旁内角互补）.又...Z3=Z1+ZC,・.・ZA+ZB+ZC+Z1+Z2=36O°,即ZA+ZB+ZC+ZADC=360°.15.【解析】证明：VZ2=Z3,Z1=Z2,・・・N1N3,・.・BD〃CE,・.・ZC=ZABD；又：ZC=ZD,AZD=ZABD,・.・AB〃EF,AZA=ZF.