2019年高考数学一轮总复习第八章解析几何8.5椭圆课时跟踪检测理201805194165

PAGEPAGE18.5椭圆[课时跟踪检测]　[基础达标]1．(2017年浙江卷)椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的离心率是(　　)A.eq\f(\r(13),3)B．eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2,3)D．eq\f(5,9)解析：由椭圆方程，得a2＝9，b2＝4.∵c2＝a2－b2＝5，∴a＝3，c＝eq\r(5)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).答案：B2．(2017年全国卷Ⅲ)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)A.eq\f(\r(6),3)B．eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3)D．eq\f(1,3)解析：∵点A1，A2是椭圆的左、右顶点，∴|A1A2|＝2a，∴以线段A1A2为直径的圆可表示为x2＋y2＝a2，该圆的圆心为(0,0)，半径为a.又∵该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，∴圆心(0,0)到直线bx－ay＋2ab＝0的距离等于半径，即eq\f(|b·0－a·0＋2ab|,\r(b2＋－a2))＝a，整理得a2＝3b2.又∵在椭圆中，a2＝b2＋c2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2－b2,a2))＝eq\f(\r(6),3)，故选A.答案：A3．曲线eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1与曲线eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1(k<9)的(　　)A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：c2＝25－k－(9－k)＝16，所以c＝4，所以两个曲线的焦距相等．答案：D4．椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))解析：设P(x0，y0)，则有eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，即4－xeq\o\al(2,0)＝eq\f(4,3)yeq\o\al(2,0).①由题意知A1(－2,0)，A2(2,0)，设直线PA1的斜率为k1，直线PA2的斜率为k2，则k1＝eq\f(y0,x0＋2)，k2＝eq\f(y0,x0－2)，所以k1·k2＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－4).②由①②得k1·k2＝－eq\f(3,4).因为k2∈[－2，－1]，所以k1的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(3,4)))，故选B.答案：B5．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是eq\f(3,4)，则此椭圆的标准方程是(　　)A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1或eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1或eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1解析：∵a＝4，e＝eq\f(3,4)，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.∵焦点的位置不确定，∴椭圆的标准方程是eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1或eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,16)＝1.答案：B6．焦点在x轴上的椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为eq\f(b,3)，则椭圆的离心率为(　　)A.eq\f(1,4)B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)解析：如图，由椭圆的性质可知，AB＝2c，AC＝BC＝a，OC＝b，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·OC＝eq\f(1,2)·2c·b＝bc，S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋a＋2c)·r＝eq\f(1,2)·(2a＋2c)×eq\f(b,3)＝eq\f(ba＋c,3)，∴eq\f(ba＋c,3)＝bc，a＝2c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).答案：C7．椭圆C：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M、N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2eq\r(3)，则△PF1F2的周长是(　　)A．2(eq\r(2)＋eq\r(3))B．eq\r(2)＋2eq\r(3)C.eq\r(2)＋eq\r(3)D．4＋2eq\r(3)解析：如图，因为O，M分别为F1F2和PF1的中点，所以OM∥PF2，且|OM|＝eq\f(1,2)|PF2|.同理，ON∥PF1，且|ON|＝eq\f(1,2)|PF1|，所以四边形OMPN为平行四边形．由题意知，|OM|＋|ON|＝eq\r(3)，故|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(3)，即2a＝2eq\r(3)，a＝eq\r(3).由a2＝b2＋c2，知c2＝a2－b2＝2，c＝eq\r(2)，所以|F1F2|＝2c＝2eq\r(2)，故△PF1F2的周长为2a＋2c＝2(eq\r(3)＋eq\r(2))，选A.答案：A8．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2eq\r(5)，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为(　　)A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,5)＝1B．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,30)＋eq\f(y2,10)＝1D．eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,25)＝1解析：设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连接PF′，如图所示．因为F(－2eq\r(5)，0)为C的左焦点，所以c＝2eq\r(5).由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝eq\r(|FF′|2－|PF|2)＝eq\r(4\r(5)2)－42＝8.由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝4＋8＝12，所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2eq\r(5))2＝16，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1.答案：B9．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．解析：满足eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0的点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则有cb>0)的右顶点为A，经过原点O的直线l交椭圆C于P、Q两点，若|PQ|＝a，AP⊥PQ，则椭圆C的离心率为________．解析：不妨设点P在第一象限，由对称性可得|OP|＝eq\f(|PQ|,2)＝eq\f(a,2)，在Rt△POA中，cos∠POA＝eq\f(|OP|,|OA|)＝eq\f(1,2)，故∠POA＝60°，易得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a，\f(\r(3),4)a))，代入椭圆方程得，eq\f(1,16)＋eq\f(3a2,16b2)＝1，故a2＝5b2＝5(a2－c2)，则eq\f(c2,a2)＝eq\f(4,5)，所以离心率e＝eq\f(2\r(5),5).答案：eq\f(2\r(5),5)11．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)，求椭圆的方程．解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝eq\r(2)c，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝eq\r(a2－b2)，设B(x，y)．由eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，得(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝eq\f(3c,2)，y＝－eq\f(b,2)，即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3c,2)，－\f(b,2))).将B点坐标代入eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得eq\f(\f(9,4)c2,a2)＋eq\f(\f(b2,4),b2)＝1，即eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(1,4)＝1，解得a2＝3c2，①又由eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－c，－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3c,2)，－\f(3b,2)))＝eq\f(3,2)，得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1，②由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.所以椭圆的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.12.(2018届河北邯郸质检)如图，已知F1、F2是椭圆G：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，直线l：y＝k(x＋1)经过左焦点F1，且与椭圆G交于A、B两点，△ABF2的周长为4eq\r(3).(1)求椭圆G的标准方程；(2)是否存在直线l，使得△ABF2为等腰直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆G的半焦距为c，因为直线l与x轴的交点为(－1,0)，故c＝1.又△ABF2的周长为4eq\r(3)，即|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝4eq\r(3)，故a＝eq\r(3)，所以b2＝a2－c2＝3－1＝2.因此，椭圆G的标准方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)不存在．理由如下：先用反证法证明AB不可能为底边，即|AF2|≠|BF2|.由题意知F2(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设|AF2|＝|BF2|，则eq\r(x1－12＋y\o\al(2,1))＝eq\r(x2－12＋y\o\al(2,2))，又eq\f(x\o\al(2,1),3)＋eq\f(y\o\al(2,1),2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),3)＋eq\f(y\o\al(2,2),2)＝1，代入上式，消去yeq\o\al(2,1)，yeq\o\al(2,2)，得(x1－x2)(x1＋x2－6)＝0.因为直线l斜率存在，所以直线l不垂直于x轴，所以x1≠x2，故x1＋x2＝6(与x1≤eq\r(3)，x2≤eq\r(3)，x1＋x2≤2eq\r(3)<6，矛盾)．联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1，,y＝kx＋1，))得(3k2＋2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(6k2,3k2＋2)<6，矛盾．故|AF2|≠|BF2|.再证明AB不可能为等腰直角三角形的直角腰．假设△ABF2为等腰直角三角形，不妨设A为直角顶点．设|AF1|＝m，则|AF2|＝2eq\r(3)－m，在△AF1F2中，由勾股定理得m2＋(2eq\r(3)－m)2＝4，此方程无解．故不存在这样的等腰直角三角形．[能力提升]1．如图，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P点在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为(　　)A．2B．3C．4D．5解析：b2＝2，c＝eq\r(a2－2)，故|F1F2|＝2eq\r(a2－2)，又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝2a－4，由余弦定理得cos120°＝eq\f(42＋2a－42－2\r(a2－2)2,2×4×2a－4)＝－eq\f(1,2)，化简得8a＝24，即a＝3，故选B.答案：B2．(2018届陕西省五校联考)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,5)＝1(a为定值，且a>eq\r(5))的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，当且仅当AB过右焦点F′时等号成立．此时4a＝12，则a＝3.故椭圆方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1，所以c＝2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)3．已知椭圆G：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(6),3)，右焦点为(2eq\r(2)，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．解：(1)由已知得c＝2eq\r(2)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3).解得a＝2eq\r(3).又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,12)＋\f(y2,4)＝1，))得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1b>0)，由题意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝eq\r(2)，所以椭圆的方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＋2x2＝4，,y＝kx＋m.))则(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0，即m2－4<2k2.由根与系数的关系知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(2mk,2＋k2)，,x1x2＝\f(m2－4,2＋k2)，))又由eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，即(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，得－x1＝2x2，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－x2，,x1x2＝－2x\o\al(2,2)，))可得eq\f(m2－4,2＋k2)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2mk,2＋k2)))2，整理得(9m2－4)k2＝8－2m2，又9m2－4＝0时不符合题意，所以k2＝eq\f(8－2m2,9m2－4)>0，解得eq\f(4,9)0.解不等式eq\f(4,9)