第PAGE11页共NUMPAGES11页一元三次函数性质与图象探索高中部宋润生我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置．接着，我们同样学习了二次函数，图象大致如下： 图1 图2利用已学知识归纳得出：当时(如图1)，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增，对称轴上取得最小值；当时(图2)，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减，对称轴上取得最大值．在某一区间取得最大值与最小值．其中a决定函数的开口方向，a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴相交的位置．三次函数的图象有六类．如图：图3 图4 图5 图6图7 图8分析：由图3函数有哪些特点呢？归纳：解析式是，整个定义域上函数单调递增，在图4中解析式是，整个定义域上函数单调递增减．整个定义域上不存在极值，函数必经过原点．单调性又与什么知识相关呢？导数，现在求出函数的导数是，验证与0的关系，当时，即的图象在是单调递增；当时，即的图象在是单调递减相一致．当，根据图象知道，在处不是函数f(x)的极值点．所以的根是函数取得极值的必要不充分条件．现在思考并验证函数与函数图象有什么关系？经过验证得出：函数与相同，当时函数图象是图象向上平移|d|个单位；当时函数图象是图象向下平移|d|个单位；函数的导数都是．在图5中解析式是，整个定义域上函数单调递增．在图6中解析式是，整个定义域上函数单调递增减．整个定义域上不存在极值．函数的导数，经过验证在图5中因为即，所以的图象在是单调递增；在图6中因为即，所以的图象在是单调递减；函数都不存在极大值或极小值．为什么在图5中a>0、,在图6中a<0、呢？a>0、或a<0、是又有什么结果呢？因为导数是二次函数，当a>0、或a<0、时判别式，导数函数不小于0，方程有一个根．当a>0、或a<0、时，方程有两个根．那么函数图象有什么特点呢？猜想如果，那么有两根，函数f(x)应有增也有减，我们来验证一下图7、图8：在图7中解析式是，在或上函数单调递增，在上函数单调递减；在处取得极大值，在处取得极小值；在图8中解析式是，在或上函数单调递减，在上函数单调递增；在处取得极小值，在处取得极大值，它们在上最大值和最小值．为什么呢？函数的导数是，设的两根是并且令．经过验证在图7中，因为，当或时，所以的图象在或是单调递增；在上，所以的图象在是单调递减．在图8中，因为，当或时，所以的图象在或是单调递减；在上，所以的图象在是单调递增．经过上述探索知道，函数在整个定义域上是单调递增（递减），左右都增中间递减，还是左右都减中间递增，是由a确定，b、c确定函数有没有极值、d确定函数与y轴的交点．并且函数单调递增（递减）有没有极值与的导函数的判别式相关，具体归纳如下性质：设的导数是则，函数的判别式为：由导数的图象可知：时导数的图象 时导数图象 图9 图10函数f(x)图象 图11 图12三次函数f(x)在R上是单调函数，（无极值） 时的两根为且导数图象 图13函数f(x)图象 函数f(x)图象 图14 图151、时在或单调递增；在单调递减(如图14)在处取得极大值，在处取得极小值．2、时在或单调递减；在单调递增，(如图15)在处取得极小值，在处取得极大值．注意：三次函数f(x)有极值导函数的判别式>0三次函数图象的对称性：三次函数的图象是中心对称图形，其对称中心是（-b/3a，f(-b/3a)）．（三次函数的图象经过平移后能得到奇函数图象，可以用待定系数法求得）三次函数的图象的对称中心在其导函数的图象对称轴上．若三次函数有极值，那么它的对称中心是两个极值点的中点．根据以上性质可以灵活解决三次函数问
题
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：例1、设，讨论关于x的方程的相异实根的个数？解：分析：要讨论方程根的个数，直接求解非常困难，根据题意，需把方程转化为函数问题，即方程变成，设，这转化为讨论函数与交点的个数．函数的导数的两根为(如图16) 函数的极大值是，函数的极小值是，（1）当或时，函数与只有一个交点，即方程只有一个根．（2）当或时，函数与只有两个交点，即方程只有两个根．（3）当时，函数与有三个交点，方程有三个根．图16例2、已知函数是R上的奇函数，当时f(x)取得极值．（1）求f(x)的单调区间和极大值；（2）证明对任意，，不等式恒成立．解：（1）函数f(x)是奇函数，所以，函数f(x)的导数依题意得,,解得所以导数，(如图17) 时，函数f(x)单调递增；时，函数f(x)单调递减；所以．（2）如图17对任意，，函数f(x)单调递减，所以图17一般地在导数有两根且时，在处；在处，对任意都有我们利用研究函数的性质的方法和导数知识能够轻松研究三次（高次）函数的性质，使学生既学到了新知识，又巩固了旧知识，充分利用好导数知识，能更有效解决三次函数的极值、对称性、证明不等式等问题找到较好的解决办法．内容
总结
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（1）一元三次函数性质与图象探索高中部宋润生我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢（2）在图8中解析式是，在或上函数单调递减，在上函数单调递增
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