高中数学人教A版选修2-2（课时训练）-1.1-变化率与导数1.1.3--Word版含答案

三教上人（A+版-ApplicableAchives）PAGEPAGE7三教上人（A+版-ApplicableAchives）1．1.3　导数的几何意义[学习目标]1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系．2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．[知识链接]　如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？答　设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).[预习导引]1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．函数的导函数当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).要点一　过曲线上一点的切线方程例1　若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值．解　∵y＝x3＋3ax.∴y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx3＋3ax＋Δx－x3－3ax,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(3x2Δx＋3xΔx2＋Δx3＋3aΔx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a.设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，结合已知条件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x\o\al(2,0)＋3a＝3，,x\o\al(3,0)＋3ax0＝y0＝3x0＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1－\f(\r(3,2),2)，,x0＝－\f(\r(3,4),2).))∴a＝1－eq\f(\r(3,2),2).规律方法　一般地，设曲线C是函数y＝f(x)的图象，P(x0，y0)是曲线C上的定点，由导数的几何意义知k＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程．跟踪演练1　求曲线y＝eq\f(1,x)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))处的切线方程．解　因为eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,2＋Δx)－\f(1,2),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－1,22＋Δx)＝－eq\f(1,4).所以这条曲线在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))处的切线斜率为－eq\f(1,4)，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,4)(x－2)，即x＋4y－4＝0.要点二　求过曲线外一点的切线方程例2　已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．解　y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f([2x＋Δx2－7]－2x2－7,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2xeq\o\al(2,0)－7代入上式，得9－(2xeq\o\al(2,0)－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.规律方法　若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．跟踪演练2　求过点A(2,0)且与曲线y＝eq\f(1,x)相切的直线方程．解　易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由y′|x＝x0＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,x0＋Δx)－\f(1,x0),Δx)＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))，得所求直线方程为y－y0＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))(x－x0)．由点(2,0)在直线上，得xeq\o\al(2,0)y0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，所求直线方程为x＋y－2＝0.要点三　求切点坐标例3　在曲线y＝x2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)与x轴成135°的倾斜角．解　f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx2－x2,Δx)＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)是满足条件的点．(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，所以2x0·eq\f(1,3)＝－1，得x0＝－eq\f(3,2)，y0＝eq\f(9,4)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(9,4)))是满足条件的点．(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1.即2x0＝－1，得x0＝－eq\f(1,2)，y0＝eq\f(1,4)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4)))是满足条件的点．规律方法　解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等．跟踪演练3　已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?解　设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2xeq\o\al(2,0)－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴eq\f(Δy,Δx)＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，eq\f(Δy,Δx)无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9)．1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为(　　)A．4B．16C．8D．2 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 　C解析　f′(2)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(22＋Δx2－8,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(8＋2Δx)＝8，即k＝8.2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1答案　A解析　由题意，知k＝y′|x＝0＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(0＋Δx2＋a0＋Δx＋b－b,Δx)＝1，∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.3．已知曲线y＝eq\f(1,2)x2－2上一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，则过点P的切线的倾斜角为(　　)A．30°B．45°C．135°D．165°答案　B解析　∵y＝eq\f(1,2)x2－2，∴y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,2)x＋Δx2－2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－2)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,2)Δx2＋x·Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)Δx))＝x.∴y′|x＝1＝1.∴点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.4．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________．答案　(3,30)解析　设点P(x0,2xeq\o\al(2,0)＋4x0)，则f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2Δx2＋4x0·Δx＋4Δx,Δx)＝4x0＋4，令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30)．1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.一、基础达标1．下列说法正确的是(　　)A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在答案　C解析　k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.2．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)A．f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)