小学+初中+高中+努力=大学中档题满分练(二)2A－B1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos23cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－.5(1)求cosA的值；(2)若a＝42，b＝5，求B和c.2.如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝2EF.(1)求证：BF∥平面ACE；(2)求证：BF⊥BD.3.如图(示意)，公路AM，AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2.在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，5km.现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2x24.如图，已知椭圆C：＋y＝1，A、B是四条直线x＝±2，y＝±1所围成矩形的两个顶4点．→→→(1)设P是椭圆C上任意一点，若OP＝mOA＋nOB，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2)若M、N是椭圆C上两上动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．中档题满分练(二)2A－B31．解(1)由2coscosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－，得[cos(A－B)＋1]cosB－253sin(A－B)sinB－cosB＝－.533即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，所以cos(A－B＋B)＝－.553因此，cosA＝－.5小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学34(2)由cosA＝－，0＜A＜π，得sinA＝，55ab由正弦定理，有＝，a＝42，b＝5，sinAsinBbsinA2所以sinB＝＝.a2π由题知a＞b，则A＞B，故B＝.422232根据余弦定理有(42)＝5＋c－2×5c×－，整理得c＋6c－7＝0，5解得c＝1或c＝－7(舍去)．2.证明(1)设AC与BD交于O点，连接EO.正方形ABCD中，2BO＝AB，又因为AB＝2EF，∴BO＝EF，又因为EF∥BD，∴EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵BF?平面ACE，EO?平面ACE，∴BF∥平面ACE.(2)正方形ABCD中，AC⊥BD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD?平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，∴BD⊥平面ACE，∵EO?平面ACE，∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD.3．解如图，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x.设点P(x0，y0)．因为点P到AM的距离为3，故y0＝3.由P到直线AN的距离为5，|2x0＋y0|得＝5，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，5小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以点P(1，3)．显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)，3令y＝0，得xB＝1－，ky－3＝k（x－1），6－2k由得yC＝.y＝－2xk＋2设△ABC的面积为S，21－k＋6k－98k－9则S＝·xB·yC＝2＝－1＋2，2k＋2kk＋2k－2（4k＋3）（k－3）3由S′＝22＝0，得k＝－或k＝3，（k＋2k）43当－2＜k＜－时，S′＜0，S单调递减；43当－＜k＜0时，S′＞0，S单调递增，43所以当k＝－，即AB＝5时，S取最小值15.42所以当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km.4．(1)证明易求A(2，1)，B(－2，1)．20x02→→→x＝2（m－n），设P(x0，y0)，则＋y0＝1.由OP＝mOA＋nOB，得4y0＝m＋n，24（m－n）2221221所以＋(m＋n)＝1，即m＋n＝.故点Q(m，n)在定圆x＋y＝上．422y1y21(2)解设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝kOA·kOB＝－.x1x2422222222平方得x1x2＝16y1y2＝(4－x1)(4－x2)，即x1＋x2＝4.因为直线MN的方程为(x2－x1)y－(y2－y1)x＋x1y2－x2y1＝0，|x1y2－x2y1|所以O到直线MN的距离为d＝22，（x2－x1）＋（y2－y1）1所以△OMN的面积S＝MN·d21＝|x1y2－x2y1|212222＝x1y2＋x2y1－2x1x2y1y22222112x2x122＝x11－＋x21－＋x1x22442小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学122＝x1＋x2＝1.2故△OMN的面积为定值1.小学+初中+高中+努力=大学
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