51不定积分的概念与性质

微积分极限与连续一元函数无穷级数多元函数微分方程差分方程导数与微分积分刻画函数的改变中值定理（洛必达法则）导数的应用（画函数图形）不定积分（求导的逆运算）定积分偏导数和全微分重积分刻画函数的变化率计算：求导数、求微分第1页/共40页关于本门课程的学习方法:1）课前预习（前一天通读下次要讲的内容）.2）认真听讲（提倡超前的动脑思维）.3）课后复习（弄懂每一个细节,并适当看一些参考书,帮助并加深理解该讲的内容）.“成功就是‘简单的事情反复做’”李开复花时间学习！最好的学习方法奥巴马的同学，曾任微软中国研究院院长、Google全球副总裁兼中国区总裁4）完成作业（要独立完成,可以讨论或询问,但切忌抄袭）.吴巧梅老师5）小结（ 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 所学内容、归纳方法、写出体会).第2页/共40页一道有意义的计算 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ！如果令A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 分别等于百分之 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 那么  Hard work （努力工作）  H+A+R+D+W+O+R+K=8+1+18+4+23+15+18+11 = 98% Knowledge（知识）K+N+O+W+L+E+D+G+E= 11+14+15+23+12+5+4+7+5 = 96% 　Love（爱情） L+O+V+E=12+15+22+5 = 54%　Luck（好运）L+U+C+K=12+21+3+11 = 47%      第3页/共40页什么能使得生活变得圆满？ 　     是 Money（金钱）吗? ... M+O+N+E+Y = 13+15+14+5+25 = 72% 是  Leadership（领导能力）吗? ...  L+E+A+D+E+R+S+H+I+P = 12+5+1+4+5+18+19+9+16 = 89%  那么，什么能使生活变成100%的圆满呢？    ATTITUDE（态度） A+T+T+I+T+U+D+E =1+20+20+9+20+21+4+5 = 100% 一道有意义的计算题！第4页/共40页Attitude----100%态度决定一切！第5页/共40页1)考核成绩构成：期末考试成绩：40分平时成绩：60分关于本课程的要求：平时成绩包括：出勤：30分.考勤缺一次扣3分,迟到一次扣1分,扣完为止.作业：10分.少做一次扣2分,扣完为止.平时测验：20分.缺一次扣5分.2)关于作业：1)每两周收一次,用作业纸写；2)每个班由课代表收作业,然后统一交给老师.第6页/共40页一、复习：导数:微分:关系:可导可微微分学导数:描述函数变化快慢.微分:描述函数变化程度.微积分积分学：微分学：研究导数、微分及其应用.研究不定积分、定积分及其应用.第7页/共40页记住常见函数的导数公式：第8页/共40页记住常见函数的导数公式：第9页/共40页四则运算的求导法则：注意：复合函数求导法则：初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数.第10页/共40页第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质第二节换元积分法第三节分部积分法第11页/共40页第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质第12页/共40页比如：已知直线运动的位置函数S=S(t)，用微分法可求运动速度:但若已知运动速度v(t)，怎么求其位置函数S(t)呢？在数学中，一般来说一种运算的出现都伴随着它的逆运算.引言微分(求导)是否有逆运算？若有,是什么？例如：加法的逆运算是减法;乘法的逆运算是除法;指数的逆运算是对数等.微分有逆运算，不定积分是微分的逆运算！第13页/共40页例1定义：一、原函数与不定积分的概念求给定函数的原函数是积分学中的第一个基本问题，也是本章讨论的中心问题。第14页/共40页1）已知函数应具备什么条件，才可以保证它的原函数一定存在？原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.问题：2)如果f(x)有原函数，一共有多少？即原函数是否唯一？当一个函数具有原函数时，它的原函数不只是一个.比如：cosx的原函数除sinx外，一般地，设F(x)是f(x)的一个原函数，则对于任意的常数C，F(x)+C也是f(x)的一个原函数.都是cosx的原函数。第15页/共40页例（C为任意常数）3)F(x)的原函数不唯一，那这些原函数之间有什么联系？只差一个常数，即当C为任意常数时，表达式就可以表示的任意一个原函数。设是的另一个原函数，即则(C为常数），结论：如果函数f(x)有一个原函数F(x)，那末它就有无穷多个原函数，并且f(x)的无穷多个原函数仅限于F(x)+C.第16页/共40页任意常数积分号被积函数定义2：被积表达式积分变量求f(x)的不定积分，只要找出它的一个原函数,再加任意常数即可.检验不定积分运算是否正确，只需求导验证.第17页/共40页例1：求解：第18页/共40页解：例2：求第19页/共40页例3：已知,求解：第20页/共40页例4：求解：而这是因为不定积分答案形式不惟一，但本质是一样的!即选择的不同原函数之间仅仅相差一个常数C.第21页/共40页这两个原函数的图像可以通过“上下平移”互变,表明这两个函数在任一点的函数值都只相差一个常数。思考：的全部原函数的图像应该是什么样子的？第22页/共40页第23页/共40页f(x)的不定积分，是f(x)的“全部原函数”，它可以表示为“f(x)的一个原函数加任意常数C”的形式。“不定积分”与“原函数”的联系和区别f(x)的原函数，是f(x)求导以前“原来的函数”；为了形象地理解“f(x)的原函数”的概念，我们用“填空”的方式来说明“原来的函数”的含义：的括号中需要填的，就是的原函数——.第24页/共40页以前接触的运算，先做运算再做逆运算相当于没有变化，例如：不定积分是微分的逆运算，对函数进行先微分再积分的运算和先积分再微分的运算，函数是否也没有变化？积分与微分的关系第25页/共40页设F(x)为f(x)的一个原函数，先微分再积分:先积分再微分:结论：第26页/共40页显然，求不定积分得到一积分曲线族.2.不定积分的几何意义：在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，这些切线是彼此平行的。一个原函数对应于一条积分曲线不定积分则对应于积分曲线簇——无数条积分曲线被积函数对应于积分曲线在各点的切线斜率——同一横坐标处，切线平行第27页/共40页例５：设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解：设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为第28页/共40页二、基本积分表积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.(k是常数);第29页/共40页第30页/共40页证等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、不定积分的性质（不定积分的线性运算）第31页/共40页例６：计算不定积分解：注意：本题化为三个积分，应出现三个任意常数，但由其任意性，可写成一个任意常数。第32页/共40页解：例７：求积分第33页/共40页例８：求不定积分解：第34页/共40页例９：求（1）（2）解：（1）（2）第35页/共40页例１０：求积分解：说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.第36页/共40页例1１：求解：第37页/共40页基本积分表(1)不定积分的性质原函数的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系四、小结第38页/共40页思考题符号函数在内是否存在原函数？为什么？思考题解答不存在.假设有原函数故假设错误所以在内不存在原函数.结论每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.第39页/共40页谢谢大家观赏！第40页/共40页