平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦•设过抛物线2x=2py外一点P(Xo,y°)的任一直线与抛物线的两个交点为C、D，与抛物线切点弦AB的交点为Q。(1)求证：抛物线切点弦的方程为x0x=p(y+y0)；(2)求证：112PC|PD|一|PQ|已知定点F(1,0),动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M,并延长MP到点N,且PMPF=0,|PIM|=|PN|.动点N的轨迹方程；线I与动点N的轨迹交于A,B两点，若OA--4,且4=6AB430，求直线I的斜率k的取值范围.2222如图，椭圆C1:—^1的左右顶点分别为A、B,P为双曲线C2:—--1右支4343上(x轴上方)一点，连AP交G于C,连PB并延长交G于。，且厶ACD与厶PCD的面积相等，求直线PD的斜率及直线CD的倾斜角.4.已知点M(-2,0),N(2,0)，动点P满足条件|PM|-|PN^2-2.记动点P的轨迹为W.(I)求W的方程;(n)若AB是W上的不同两点，0是坐标原点，求OAOB的最小值.22已知曲线C的方程为：kx2+(4-k)y2=k+1,(k€R)(I)若曲线C是椭圆，求k的取值范围；(n)若曲线c是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°,求此双曲线的方程；(川)满足(n)的双曲线上是否存在两点P,Q关于直线I:y=x-1对称，若存在，求出过P,Q的直线方程；若不存在，说明理由。如图(21)图，M(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点，动点P满足：PM+PN=6.求点P的轨迹方程；2一若PM-PN=,求点P的坐标.1—cos/MPN22已知F为椭圆笃•占=1(ab0)的右焦点，直线I过点F且与双曲线ab的两条渐进线分别交于点M,N，与椭圆交于点A,B.JI4。求椭圆方程。求椭圆的离心率⑴若•MON，双曲线的焦距为3(II)若OMMN=0(O为坐标原点)2设曲线C1:X2y2=1(a为正常数)与C2:y2=2(xm)在x轴上方只有一个公共点P。a(I)求实数m的取值范围(用a
表
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示)；1(n)O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0..a...-时，试求「QAP的面积的最2大值(用a表示)。1.(1)略(2)为简化运算，设抛物线方程为2(X-X。)=2p(y-y°)，点Q,C,D的坐标分别为(X3,丫3),(花，％),&2,y2)，点P(QC)，直线y=kx,2(x-Xo)2p(kx-yo)22x-2(Xopk)xXo2pyo=0一方面。要证1PC12|PQ||PD|化斜为直后只须证：1丄2X1X2X3由于1丄X1x22(X0pk)—oX1X2为X2x22pk另一方面，由于P(0,0)所以切点弦方程为：-沧(x-x0)=p(y-2y0)所以从而即X1x：2pkXopkX2X31_i2_PC|PD「|PQ|2.(1)设动点N的坐标为(x,y),则1X3Xopkx22pkM(—x,0),P(0,x0),PM=(-x,-y),2分tll2PF=(1,-y)，由PMPF=0得一x+^=0，因此，动点的轨迹方程为y2=4x(xA0).4(2)设I与抛物线交于点A(Xi,yi),B(X2,y2),当I与x轴垂直时，则由OAOB=/，得y,=2..2,y2二-22,|AB|=42：：：4.6,不合
题
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意,故与I与x轴不垂直，可设直线I的方程为y=kx+b(k^0),则由OAOB=-4,得X1X2•y°2=-4…6分由点A,B在抛物线y2-4x(x.0)上有y；=4x「y2=4x2,故％y2=-8.22又y=4x,y=kx+b得ky—4y+4b=0,8分2所以竺=_8,b=-2kJ：=16(12k2),|AB|2J$kk32)10分因为4.6勺AB|_4.30,所以96k+32)兰480.解得直线I的斜率的取值范围是11[“弓-[2,1].12分3.由题意得C为AP中点，设C(Xo,y。),A(_2,0)，P(2Xo2,2yo),f22把C点代入椭圆方程、P点代入双曲线方程可得,3x0+4y。=1222'?(2x0+2)-4y0=12解之得：&933,故C(1,—),P(4,3),又丁B(2,0)y。2、2故直线PD的斜率为匕0，直线PD的方程为4—223匸(一2),y=—(x—2)联立』2解得D(1_3)，故直线CD的倾斜角为90°亡+*才"，二434.解法(I)由|PM|—|PN|=2,2知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a='、2又半焦距c=2,故虚半轴长b-■a^-222_所以W的方程为—-y1,^.222(n)设A,B的坐标分别为(捲，％),(x2,y2)22当AB丄x轴时，为=X2,从而从而OAOB=X1X2•y°2二捲-如=2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx■m,与W的方程联立，消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0.故％X2円1-km2+2x1x2=k2-1所以OAOB=音x?+y1y2=X1X222(kX1m)(kx2m)=(1k)X1X2km(X,X2)m2222(1k)(m2)2km—2*2~k-11-km222k2小4222—k-1k-1又因为x1x20,所以k2-10,从而OAOB2.综上，当AB丄X轴时,OAOB取得最小值2.解法二：(I)同解法(n)设A,B的坐标分别为，则(心yj,(x2,y2),则Xi2—yi2=(Xi+y)(X—yi)=2(i=1,2).令s=Xi+yi,ti=X-yi,则sti=2,且s>0乙>0(i=1,2)所以怎肚沁yy*g切“7)(")11二尹2尹―丰址2=2,当且仅当SS2二仏,即卩X1X2'时””成立.I%=-y2所以OAOB的最小值是2.5.(1)2xk1k当k=0或k=-1或k=4时，C表示直线;2-丄1，为椭圆的充要条件是k14—k当kz0且kz-1且kz4时方程为k1k1k1:0且0,—k4—kk(2)为双曲线的充要条件是即是0
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