二次函数的存在性问题之菱形(含答案)

二次 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数的存在性问题之菱形1.如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 理由．2.如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为，连接．（1）求抛物线的解析式及点的坐标；（2）点在抛物线上，连接，当时，求点的坐标；（3）点从点出发，沿线段由向运动，同时点从点出发，沿线段由向运动，、的运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，、同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点，使、运动过程中的某一时刻，以、、、为顶点的四边形为菱形若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．3.如图所示，顶点为（，﹣）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y=（k＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．4.综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式??（2）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）5.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求OA、OB的长．（2）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．6.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．（1）求a的值及点A，B的坐标；（2）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．7.如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（﹣4，0），B（0，4），且点B是抛物线的顶点．（1）求直线AB和抛物线的解析式．（2）M是直线AB上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．8.如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．9.如图，抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，M是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）连接MO、MC，并把△MOC沿CO翻折，得到四边形MOM′C，那么是否存在点M，使四边形MOM′C为菱形若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由；10.抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线m交抛物线于P、Q两点，其中点P位于第二象限，点Q在y轴的右侧．（1）求D点坐标；（2）若∠PBA=∠OBC，求点P的坐标；（3）设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．11.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形若存在，求出所有符合条件的点N坐标；若不存在，说明理由．12.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与X轴交于点A、B两点B处的坐标为（3，0），与y轴交于c（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的动点．（1）求出二次函数的解析式；（2）连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形若存在，求出点P的坐标，若存在，请说明理由；13.如图，已知抛物线经过原点o和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；（2）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形．若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．14.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．（1）求这个二次函数的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．15.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，过点B作BC的垂线，交对称轴于点E．（1）求证：点E与点D关于x轴对称；（2）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线AD上移动，点D平移后的对应点为D′，点A的对应点A′，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，将△FBC沿BC翻折，使点F落在点F′处，在平面内找一点G，若以F′、G、D′、A′为顶点的四边形为菱形，求平移的距离．16.如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线?上,且横坐标为1，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点，点为抛物线的顶点，点的坐标为（1）求线段的长；（2）点为线段上方抛物线上的任意一点，过点作的垂线交于点，点为轴上一点，当的面积最大时，求的最小值；（3）在（2）中，取得最小值时，将绕点顺时针旋转后得到,过点作的垂线与直线交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得点为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.17.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形请直接写出t的值．18.已知，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A（-3，0）和B（2，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，若点D为直线BC或直线AC上的一点，E为x轴上一动点，抛物线对称轴上是否存在点F，使以B，D，F，E为顶点的四边形为菱形若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，∴，解得：，抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2；（2）解：令y=x2﹣x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=4，当x=0时，y=﹣2，∴B（4，0），C（0，﹣2），设BC的解析式为y=kx+b，则，解得：，∴y=x﹣2，设D（m，0），∵DP∥y轴，∴E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），∵OD=4PE，∴m=4（m2﹣m﹣2﹣m+2），∴m=5，m=0（舍去），∴D（5，0），P（5，），E（5，），∴四边形POBE的面积=S△OPD﹣S△EBD=×5×﹣1×=；（3）解：存在，设M（n，n﹣2），①以BD为对角线，如图1，∵四边形BNDM是菱形，∴MN垂直平分BD，∴n=4+，∴M（，），∵M，N关于x轴对称，∴N（，﹣）；②以BD为边，如图2，∵四边形BNDM是菱形，∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，∴MH2+DH2=DM2，即（n﹣2）2+（n﹣5）2=12，∴n1=4（不合题意），n2=，∴N（，），同理（n﹣2）2+（4﹣n）2=1，∴n1=4+（不合题意，舍去），n2=4﹣，∴N（5﹣，），③以BD为边，如图3，过M作MH⊥x轴于H，∴MH2+BH2=BM2，即（n﹣2）2+（n﹣4）2=12，∴n1=4+，n2=4﹣（不合题意，舍去），∴N（5+，），综上所述，当N（，﹣）或（，）或（5﹣，）或（5+，），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．【解析】【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，于是列方程即可得到结论；（2）根据函数解析式得到B（4，0），C（0，﹣2），求得BC的解析式为y=x﹣2，设D（m，0），得到E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），根据已知条件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5，），E（5，），根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）设M（n，n﹣2），①以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD，求得n=4+，于是得到N（，﹣）；②以BD为边，根据菱形的性质得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，根据勾股定理列方程即可得到结论．2.【答案】（1）解：直线解析式，令，得；令，得．∴、．∵点、在抛物线上，∴，解得，∴抛物线解析式为：．令，解得：或，∴．（2）解：，设，①当时，如答图所示．∵，∴，故点满足条件．过点作轴于点，则，，∴．∵，∴，∴直线的解析式为：．联立与，得：，解得：，，∴，，∴；②当与关于轴对称时，如答图所示．∵，，∴，故点满足条件．过点作轴于点，则，，∴．∵，∴，∴直线的解析式为：．联立与得：，解得：，，∴，，∴．综上所述，满足条件的点的坐标为：或（3）解：设，则，，．假设存在满足条件的点，设菱形的对角线交于点，设运动时间为．①若以为菱形对角线，如答图．此时，菱形边长．∴．在中，，解得．∴．过点作轴于点，则，，∴．∴．∵点与点横坐标相差个单位，∴；②若以为菱形对角线，如答图．此时，菱形边长．??∵，∴，点为中点，∴．∵点与点横坐标相差个单位，∴；③若以为菱形对角线，如答图．此时，菱形边长．在中，，解得．∴，．∴．综上所述，存在满足条件的点，点坐标为：或或．【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出A,B两点的坐标，将A,B两点的坐标分别代入抛物线y=x2+bx+c得出关于b,c的方程组，求解得出b,c的值，从而得出抛物线的解析式，再根据抛物线与x轴交点的纵坐标是0，将y=0代入抛物线的解析式，楸树对应的自变量的值，从而求出C点的坐标；（2）设M(x,?y)①当BM⊥BC时，如答图2?1所示．根据等腰直角三角形的性质及垂直的定义得出∠MBA+∠CBO=45°，故点M满足条件，过点M1作M1E⊥y轴于点E，则M1E=x，OE=?y进而表示出BE，根据同角的余角相等及等角的同名三角函数值相等得出tan∠M1BE=tan∠BCO=，根据正切函数的定义得出关于x,y的方程，变形即可得出直线BM1的解析式，解联立直线BM1的解析式与抛物线的解析式组成的方程组，即可求出M1的坐标；②当BM与BC关于y轴对称时，如答图2?2所示．根据根据角的和差及对称的性质得出∠ABO=∠MBA+∠MBO=45°，∠MBO=∠CBO，故∠MBA+∠CBO=45°，故点M满足条件过点M2作M2E⊥y轴于点E，则M2E=x，OE=?y进而表示出BE，根据同角的余角相等及等角的同名三角函数值相等得出tan∠M2BE=tan∠CBO=，根据正切函数的定义得出关于x,y的方程，变形即可得出直线BM2的解析式，解联立直线BM2的解析式与抛物线的解析式组成的方程组，即可求出M2的坐标，综上所述即可得出M点的坐标；（3）设∠BCO=θ，则tanθ=?，sinθ=?，cosθ=．假设存在满足条件的点D，设菱形的对角线交于点E，设运动时间为t．①若以CQ为菱形对角线，如答图3?1．此时BQ=t，菱形边长=t，根据菱形的对角线互相平分得出CE=CQ=(5?t)，根据余弦函数的定义，由cosθ=,即可列出方程，求解得出t的值，进而得出CQ的值，过点Q作QF⊥x轴于点F，则QF=CQ?sinθ，CF=CQ?cosθ，分别计算出QF,CF的长，进而得出OF的长，从而得出Q点的坐标，根据点D1与点Q横坐标相差t个单位即可得出D1的坐标；②若以PQ为菱形对角线，如答图3?2．此时BQ=t，菱形边长=t，根据线段中点坐标公式，由点Q为BC中点得出Q点的坐标，根据点D2与点Q横坐标相差t个单位即可得出D1的坐标；③若以CP为菱形对角线，如答图3?3．此时BQ=t，菱形边长=5?t．根据cosθ=列出方程，求解得出t的值，进而求出OE,由D3E=QE=CQ?sinθ，从而得出D3的坐标，综上所述即可得出答案。3.【答案】（1）解：依题意可设抛物线方程为顶点式y=a（x﹣）2﹣（a≠0），将点M（2，0）代入可得：a（2﹣）2﹣=0，解得a=1．故抛物线的解析式为：y=（x﹣）2﹣（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为：y=（x﹣）2﹣．则对称轴为x=，∴点A与点M（2，0）关于直线x=对称，∴A（-1，0）．令x=0，则y=﹣2，∴B（0，﹣2）．在直角△OAB中，OA=1，OB=2，则AB=．设直线y=x+1与y轴交于点G，易求G（0，1）．∴直角△AOG是等腰直角三角形，∴∠AGO=45°．∵点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），而k＞0，所以反比例函数y=（k＞0）图象位于点一、三象限．故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2种情况：①此菱形以AB为边且AC也为边，如图1所示，过点D作DN⊥y轴于点N，在直角△BDN中，∵∠DBN=∠AGO=45°，∴DN=BN==，∴D（﹣，﹣﹣2），∵点D在反比例函数y=（k＞0）图象上，∴k=﹣×（﹣﹣2）=+；②此菱形以AB为对角线，如图2，作AB的垂直平分线CD交直线y=x+1于点C，交反比例函数y=（k＞0）的图象于点D．再分别过点D、B作DE⊥x轴于点F，BE⊥y轴，DE与BE相较于点E．在直角△BDE中，同①可证∠AGO=∠DBO=∠BDE=45°，∴BE=DE．可设点D的坐标为（x，x﹣2）．∵BE2+DE2=BD2，∴BD=BE=x．∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BD=x．∴在直角△ADF中，AD2=AF2+DF2，即（x）=（x+1）2+（x﹣2）2，解得x=，∴点D的坐标是（，）．∵点D在反比例函数y=（k＞0）图象上，∴k=×=，综上所述，k的值是+或．【解析】【分析】（1）设抛物线方程为顶点式y=a（x﹣）2﹣，将点M的坐标代入求a的值即可；（2）设直线y=x+1与y轴交于点G，易求G（0，1）．则直角△AOG是等腰直角三角形∠AGO=45°．点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），而k＞0，所以反比例函数y=（k＞0）图象位于点一、三象限．故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2种情况：①此菱形以AB为边且AC也为边，②此菱形以AB为对角线，利用点的坐标与图形的性质，勾股定理，菱形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征求得k的值即可．4.【答案】（1）解：将A（﹣4，0）代入y=x+c∴c=4将A（﹣4，0）和c=4代入y=﹣x2+bx+c∴b=﹣3∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣3x+4（3）解：存在设M坐标为（a，0）则N为（a，﹣a2﹣3a+4）则P点坐标为（a，）把点P坐标代入y=﹣x+4解得a1=﹣4（舍去），a2=﹣1当PF=FM时，点D在MN垂直平分线上，则D（）当PM=PF时，由菱形性质点D坐标为（﹣1+，）（﹣1﹣，﹣）当MP=MF时，M、D关于直线y=﹣x+4对称，点D坐标为（﹣4，3）5.【答案】（1）解：方程x2﹣7x+12=0，分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）=0，可得：x﹣3=0，x﹣4=0，解得：x1=3，x2=4，∵OA＞OB，∴OA=4，OB=3（2）解：AO⊥BC，∴AO平分∠BAC，分四种情况考虑：①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，∴点F与B重合，即F（﹣3，0）；②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，此时点F坐标为（3，8）；③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=﹣x+4，直线L过（，2），且k值为（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为﹣1），∴L解析式为y=x+，联立直线L与直线AB，得：，解得：x=﹣，y=﹣，∴F（﹣，﹣）；④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，∵S△ABC=BC?OA=AB?CN=12，∴CN==，在△BCN中，BC=6，CN=，根据勾股定理得BN==，即AN=AB﹣BN=5﹣=，做A关于N的对称点，记为F，AF=2AN=，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=AFsin∠BAO=×=，∴F（﹣，），综上所述，满足条件的点有四个：F1（﹣3，0）；F2（3，8）；F3（﹣，﹣）；F4（﹣，）．【解析】【分析】（1）解一元二次方程求出OA，OB的长度即可；（2）先根据三角形的面积求出点E的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标，然后利用待定系数法求解直线的解析式；分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．6.【答案】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣）．∴a﹣3=﹣，解得：a=，∴y=（x+1）2﹣3当y=0时，有（x+1）2﹣3=0，∴x1=2，x2=﹣4，∴A（﹣4，0），B（2，0）（2）解：设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，∴﹣k+b=0，∴b=k，∴y=kx+k．由，∴+（﹣k）x﹣﹣k=0，∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式的点M（k﹣1，k2）．假设存在这样的N点如图，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3由，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3）∵四边形DMPN是菱形，∴DN=DM，∴（3k）2+（3k2）2=（）2+（）2，?整理得：3k4﹣k2﹣4=0，∵k2+1＞0，∴3k2﹣4=0，?解得k=±，∵k＜0，∴k=﹣，∴P（﹣3﹣1，6），M（﹣﹣1，2），N（﹣2﹣1，1）∴PM=DN=2，∵PM∥DN，∴四边形DMPN是平行四边形，∵DM=DN，∴四边形DMPN为菱形，∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2﹣1，1）．7.【答案】（1）答案解：设直线的解析式为y=kx+b．∵将A（﹣4，0），B（0，4）代入得：，解得k=1，b=4，∴直线AB的解析式为y=x+4．设物线的解析式为y=ax2+4．∵将A（﹣4，0）代入得：16a+4=0，解得a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4．（2）解：如图2所示：延长MN交x轴与点C．∵MN∥OB，OB⊥OC，∴MN⊥OC．∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠BA0=45°．∵ON∥AB，∴∠NOC=45°．∴OC=ON×=4×=2，NC=ON×=4×=2．∴点N的坐标为（2，2）．如图3所示：过点N作NC⊥y轴，垂足为C．∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OBA=45°．∵ON∥AB，∴∠NOC=45°．∴OC=ON×=4×=2，NC=ON×=4×=2．∴点N的坐标为（﹣2，﹣2）．如图4所示：连接MN交y轴与点C．∵四边形BNOM为菱形，OB=4，∴BC=OC=2，MC=CN，MN⊥OB．∴点的纵坐标为2．∵将y=2代入y=x+4得：x+4=2，解得：x=﹣2，∴点M的坐标为（﹣2，2）．∴点N的坐标为（2，2）．如图5所示：∵四边形OBNM为菱形，∴∠NBM=∠ABO=45°．∴四边形OBNM为正方形．∴点N的坐标为（﹣4，4）．综上所述点N的坐标为或或（﹣4，4）或（2，2）【解析】【分析】（1）设直线的解析式为y=kx+b，将A（﹣4，0），B（0，4）代入得到关于k、b的方程组，然后解得k、b的值即可；设抛物线的解析式为y=ax2+4，然后将点A的坐标代入求得a的值即可；（2）先根据题意画出图形，需要注意本题共有4种情况，然后依据菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及特殊锐角三角函数值求解即可．8.【答案】（1）解：将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：a=1，c=﹣8．∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．∵y=（x﹣1）2﹣9，∴D（1，﹣9）．（2）解：设CD的解析式为y=kx﹣8，将点D的坐标代入得：k﹣8=﹣9，解得k=﹣1，∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8．设直线CB的解析式为y=k2x﹣8，将点B的坐标代入得：4k2﹣8=0，解得：k2=2．∴直线BC的解析式为y=2x﹣8．将x=1代入直线BC的解析式得：y=﹣6，∴F（1，﹣6）．设点M的坐标为（a，﹣a﹣8）．当MF=MB时，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣．∴点M的坐标为（﹣，）．当FM=FB时，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：a2+a﹣20=0，解得：a=4或a=﹣5．∴点M的坐标为（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．综上所述，点M的坐标为（﹣，）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．9.【答案】（1）解：令y=0，则x2﹣x﹣2=0，解得：x1=4，x2=﹣1，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x=0，则y=﹣2，∴C（0，﹣2）（2）解：存在点M，使四边形MOM′C是菱形，如图1所示：设M点坐标为（x，x2﹣x﹣2）若四边形MOM′C是菱形，则MM′垂直平分OC，∵OC=2，∴M点的纵坐标为﹣1，∴x2﹣x﹣2=﹣1，解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），∴M点的坐标为（，﹣1）10.【答案】（1）解：∵y=x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0）两点，∴y=（x+4）（x﹣2）=（x2+2x﹣8）=（x+1）2﹣3．∴D（﹣1，﹣3）．（2）解：在x轴上点E（﹣2，0），连接CE，并延长CE交PB于点F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G．∵点E与点B关于y轴对称，∴∠OBC=∠OEC．∴∠OBC=∠GEF．∵∠PBA=∠OBC，∴∠PBA=∠EFB．∴EF=EB=4．∵OE=2，OC=，∴EC=．∵GF∥OC，∴△FGE∽△COE．∴==，即==，解得：FG=，EG=，∴F（﹣，）．设BP的解析式为y=kx+b，将点F和点B的坐标代入得：，解得：k=﹣，b=1，∴直线BP的解析式为y=﹣x+1．将y=﹣x+1与y=x2+x﹣联立，解得：x=﹣，x=2（舍去），∴y=．∴P（﹣，）；（3）解：设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，∴﹣k+b=0，∴b=k，∴y=kx+k．由得：x2+（﹣k）﹣﹣k=0∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式的点M（k﹣1，k2）．假设存在这样的N点如图2，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3由，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3）．∵四边形DMPN是菱形，∴DN=DM，∴（3k）2+（3k2）2=（）2+k2+3）2，整理得：3k4﹣k2﹣4=0，∵k2+1＞0，∴3k2﹣4=0，解得k=±，∵k＜0，∴k=﹣，∴P（﹣3﹣1，6），M（﹣﹣1，2），N（﹣2﹣1，1）．∴PM=DN=2，∵PM∥DN，∴四边形DMPN是平行四边形，∵DM=DN，∴四边形DMPN为菱形，∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2﹣1，1）．【解析】【分析】（1）抛物线的解析式为y=（x+4）（x﹣2），然后利用配方法可求得点D的坐标；（2）在x轴上点E（﹣2，0），连接CE，并延长CE交PB与点F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G．首先证明EF=EB=4，然后证明△FGE∽△COE，依据相似三角形的性质可得到FG=，EG=，故可得到点F的坐标，然后可求得BP的解析式，最后可求得直线与抛物线的交点坐标即可；（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，得到b=k，利用方程组求出点M坐标，求出直线DN解析式，再利用方程组求出点N坐标，列出方程求出k，即可解决问题．11.【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）解：存在．若AM为菱形对角线，则AM与CN互相垂直平分，∴N（0，﹣3）；若CM为菱形对角线，则，∴或；若AC为菱形对角线，则CN=AM=CM，设M（m，0），由CM2=AM2，得m2+32=（m+1）2，解得m=4，∴CN=AM=CM=5，∴N（﹣5，3）．综上可知存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，符合条件的点N有4个：N1（0，﹣3），，，N4（﹣5，3）12.【答案】（1）解：把B（3，0）、C（0，﹣3）代入y=x2+bx+c，得，解得，∴这个二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3（2）解：存在．理由如下：如图1中，作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，垂足为点E．则PO=PC，∵△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，∴OP′=OP，CP′=CP，∴OP′=OP=CP′=CP，∴四边形POP′C为菱形，∵C点坐标为（0，﹣3），∴E点坐标为（0，﹣），∴点P的纵坐标为﹣，把y=﹣代入y=x2﹣2x﹣3得x2﹣2x﹣3=﹣，解得x=，∵点P在直线BC下方的抛物线上，∴x=，∴满足条件的点P的坐标为（，﹣）．13.【答案】（1）解：∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上∴m=﹣2×（﹣2）﹣1=4﹣1=3，所以，点B（﹣2，3），又∵抛物线经过原点O，∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx，∵点B（﹣2，3），A（4，0）在抛物线上，∴，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x（2）解：结论：存在．∵抛物线的解析式为y=x2﹣x，∴顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2；点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，∴F（2，﹣5），DF=5．又∵A（4，0），∴AE=．如下图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：①菱形AEM1Q1．∵此时EM1=AE=，∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣，∴t1=4﹣；②菱形AEOM2．∵此时DM2=DE=1，∴M2F=DF+DM2=6，∴t2=6；③菱形AEM3Q3．∵此时EM3=AE=，∴DM3=EM3﹣DE=﹣1，∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=4+，∴t3=4+；④菱形AM4EQ4．此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，∵易知△AED∽△M4EH，∴=，即=，得M4E=，∴DM4=M4E﹣DE=﹣1=，∴M4F=DM4+DF=+5=，∴t4=．综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4﹣，t2=6，t3=4+，t4=．14.【答案】（1）解：将B、C两点的坐标代入得?，解得?，所以二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3（2）解：如图，存在点P，使四边形POP′C为菱形．设P点坐标为（x，﹣x2+2x+3），PP′交CO于E，若四边形POPC是菱形，则有PC=PO，连接PP则PE⊥CO于E，∴OE=CE=，∴y=，∴-x2+2x+3=，解得x1=，x2=（不合题意，舍去），∴P点的坐标为（，）；15.【答案】（1）证明：如图1中，令y=0，得到x2﹣x﹣3=0，解得x=﹣或3，∴A（﹣，0），B（3，0），令x=0，可得y=﹣3，∴C（0，﹣3），∵y=x2﹣x﹣3=（x﹣）2﹣4，∴顶点D（，﹣4），设对称轴与x轴交于F，则BF=2，∵△EFB∽△BOC，∴=，∴=，∴EF=4，∴E（，4），∴E、D关于x轴对称．（2）∵F′（，﹣），A（﹣+t，﹣2t），D（，﹣4），设平移距离为t，则A′（﹣+t，﹣2t），D′（+t，﹣4﹣2t），A′F2=6t2﹣24t+，D′F′2=6t2+，A′D′2=24，①当A′F2=D′F′2时，6t2﹣24t+=6t2+，解得t=1．②当A′F′2=A′D′2时，6t2﹣24t+=24，解得t=．③当D′F′2=A′D′2时，24=6t2+，解得t=或﹣（舍弃），∴平移的距离t=，，．16.【答案】（1）解：由题意得(1，3)，抛物线的对称轴为直线x=2，顶点D(2，4)，(0，3)，由点与点关于抛物线的对称轴对称，则(3，3），则（2）解：延长，交于点，(3，3)，(1，1)，直线的解析式为：，设(，)，，则(m，m)，则S△PBE==PN，∴当取最大值时，取最大值，，，当，PN取最大值，∴(，)，(，)，构造与轴夹角为的直线OM，如图所示，则，即，，当时，，，，（3）解：∵OM的解析式为，HM⊥OM，且HM过点H，∴HM的解析式为:，∴(0，3-），又∵(0，3)，，在中，=30°，，(-1，3)，①以为边，此时(-1，3-)；(5，3)；(-1，3+)；②以为对角线，此时(-1，8).【解析】【分析】（1）根据A点的横坐标为1及A点在抛物线上，得出A点的坐标，又点B与点A关于抛物线的对称轴对称，且抛物线的对称轴为直线x=2，从而得出B点的坐标，根据A,B两点的坐标求出AB的长度；（2）延长PH，交BE于点N，首先利用待定系数法求出直线BE的函数解析式，设出P点的坐标，根据P点所在的位置得出其横坐标的取值范围，进而得出N点的坐标，根据三角形的面积公式得出S△PBE=PN，故当PN取最大值时，S△PBE取最大值，根据P，N两点的坐标得出PN长度的函数关系式，根据函数特点得出当自变量取何值时，PN取最大值，从而得出P,H的坐标，构造与y轴夹角为30°的直线OM，如图所示，得出直线OM的解析式，根据含30o角的直角三角形的边之间的关系得出MF=?FO，故PH+HF+?FO=PH+HF+MF，当HM⊥OM时，(PH+HF+MF)MIN=PH+HM，从而得出答案；（3）由互相垂直的直线函数的解析式的自变量之间的关系及直线HM过点H得出直线HM的解析式，从而得出F点的坐标，再根据c点的坐标得出CF的长，在Rt△CQF'中，CF'=CF=?，∠QCF'=30°，从而得出CQ的长，进一步得出Q点的坐标；①以DQ为边即可得出满足，使得点D,Q,R,S为顶点的四边形为菱形时S点的坐标有三种情况，②以DQ为对角线时，即可得出满足，使得点D,Q,R,S为顶点的四边形为菱形时S点的坐标的情况，综上所述，得出答案。17.【答案】（1）解：A（1，4）．由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4∵抛物线过点C（3，0），∴0=a（3﹣1）2+4，解得，a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3（2）解：第一种情况如图1所示，点H在AC的上方，由四边形CQEH是菱形知CQ=CE=t，根据△APE∽△ABC，知=，即=，解得t=20﹣8；第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由四边形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE=t，EM=2﹣t，MQ=4﹣2t．则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2﹣t）2+（4﹣2t）2=t2，解得，t1=，t2=4（不合题意，舍去）．综上所述，t=20﹣8或t=．【解析】【分析】（1）顶点A坐标可根据A、B横坐标相同，与D的纵坐标关相同求出，利用待定系数法求出解析式；（2）通过竖直线段把三角形分割为两个三角形，用t的代数式表示S△ACG，构建函数，利用配方法求出最值；（3）以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形可分类讨论为：四边形CQEH是菱形；四边形CQHE是菱形，根据菱形的性质、相似三角形性质及勾股定理可求出.18.【答案】（1）由A（-3，0）和B（2，0），得：?????????????即=ax2+bx+4∴????????????????∴????????????????∴.（2）①当BE为对角线时，因为菱形的对角线互相垂直平分，所以此时D即为对称轴与AC的交点或对称轴对BC的交点，F为点D关于x轴的对称点，设，∵C，A，∴，∴，∴，∴当时，，∴D，∴F；易得∴当时，y=5，∴D，∴F；②当BE为菱形的边时，有DF∥BEI)当点D在直线BC上时设D，则点F∵四边形BDFE是菱形∴FD=DB根据勾股定理得，整理得：=0，解得：，∴F或II）当点D在直线AC上时设D，则点F∵四边形BFDE是菱形，∴FD=FB，根据勾股定理得，整理得：，解得：(舍去)，∴F，综上所述，点F的坐标分别为：，，，，.