中职数学对口升学复习第九部分《立体几何》基础知识点归纳及山西历年真题汇编(文库版)

1第九部分立体几何【知识点1】平面及其 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示方法1.定义：平面是指光滑并且可以无限延展的图形。可以画出平面的一部分来表示平面。2.表示方法：通常画平行四边形来表示平面，并用小写希腊字母、、等表示，也可以用平行四边形四个顶点的字母或两个相对顶点的字母来表示。如平面ABCD，或平面AC,平面BD.3.点、线、面的表示方法立体几何中，通常用大写字母A,B,C,......表示点，小写字母a,b,c,...,l,m,n...,表示直线。点、线、面之间的位置关系可以用集合语言来描述如下：ll=l;l;;;;;AlAlAAllllmAlmAlAlAllllAB点在直线上：A;点不在直线上：A;点在平面上：A;点不在平面上：A;平面与平面交线是l：;直线在平面内：直线不在平面内：直线与直线相交于点：直线与平面相交于点：直线与平面平行：直线与平面垂直：两平面与平行：；两平面垂直：；棱为，面为，的二面角：-AB-l.或2【知识点2】几何图形的直观图画法--斜二测画法1.几何图形的直观图几何图形可以用具有立体感的平面图形来表示，这种平面图形通常叫做直观图。2.画平面图形直观图的步骤：(1)在平面图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°。(2)原图形中平行于x轴的线段，直观图中画成平行于x′轴的线段且长度不变．(3)原图形中平行于y轴的线段，直观图中画成平行于y′轴的线段且长度为原来的一半．(4)连接有关线段。例：【注意】：画两个平面相交的图形时，一定要画出交线，图形中被遮住的线段，要画成虚线或者不画。如下图：图23【知识点3】平面的基本性质性质及推论内容图形性质1如果直线1上的两个点都在平面a内，那么直线l上的点都在平面内性质2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点,并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线性质3不在同一条直线上的三个点,可以确定一个平面推论1直线与这条直线外的一点可以确定一个平面推论2两条相交直线可以确定一个平面推论3两条平行直线可以确定一个平面【知识点4】空间中的直线与平面1.空间两条直线的位置关系①相交直线：在一个平面内，有且只有一个公共点②平行直线：在一个平面内，没有公共点平行线的性质：平行与同一直线的两条直线平行，如果直线,,abbcac则.ABAlBACA4③异面直线：不在同一个平面，没有公共点2.异面直线：①定义：不同在任何一个平面内的两条直线②判定：连接平面内一点与平面外一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线③异面直线的画法：Aabab④异面直线所成的角：A'a空间中两条异面直线a,b，经过空间中任意点O做直线'',aabb，''ba与所成的锐角(或直角)，叫作直线a,b所成的角或夹角.【注意】：①如果两条直线平行，则它们所成的角(或称“夹角”)为0②如果两条异面直线所成的角是直角，则这两条直线互相垂直，记作ab.③异面直线所成角的范围:(0,90]【知识点5】空间中直线与平面的位置关系1.直线与平面的位置关系：(1)直线在平面内：有无数个公共点.(2)直线与平面相交：有且只有一个公共点'bO5(3)直线与平面平行：没有公共点.2.直线与平面垂直：(1)线面垂直的定义:一条直线和平面内任何一条直线都垂直。这条直线叫这个平面的垂线，这个平面叫这条直线的垂面，交点叫作垂足。直线上任一点到垂足的线段叫作这点到这个平面的垂线段，点到平面的距离为垂线段的长度。(2)线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。(线线垂直线面垂直),,lmlnmnOlmn推论：如果一组平行直线中，有一条直线垂直于平面，则另外的直线也都垂直于这个平面。(线面垂直的传递性：,abab)(3)线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行(,mnmn)3.斜线和射影定义：直线与平面相交但不垂直，则称直线为平面的斜线，斜线与平面的交点叫作斜足。斜线上一点与斜足之间的线段叫做斜线段。斜线在平面内的射影：斜线上斜足外的一点向平面作垂线，过垂足与斜足的直线叫作斜线在平面内的射影。OABPOOnm64.直线与平面所成的角：①定义：斜线和它在平面内的射影的夹角；②范围：[0,90]5.三垂线定理三垂线定理：平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理逆定理：平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。6.直线与平面平行(1)定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就称这条直线与这个平面平行。记作：l(2)直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与这个平面内一条直线平行，则这条直线与这个平面平行。(线线平行线面平行)关键：平面外找一条直线与平面内已知直线平行。(3)直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线与交线平行.(线面平行线线平行)mmmll7.平行线分线段成比例定理已知abc，且12,ll分别交a,b,c为123123,,,,AAABBB和则1212121223231313,AABBAABBAABBAABB.laamlOAPabaab7【知识点6】空间中平面与平面的位置关系1.两个不重合的平面位置关系：(1)平行：没有公共点。(2)相交：有一条公共直线。2.平面与平面平行(1)两平面平行的判定定理：如果一个平面内两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。(线面平行面面平行),,mnmnOmn【关键】：找两条相交直线与已知平面平行。(2)两平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。(面面平行线线平行)mmnn【知识点7】平面与平面垂直(1)二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面。以直线l(或CD)为棱，两个半平面分别为,的二面角，记作二面角(--)lCD或(2)二面角的平面角Onm8过棱上一点O，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线OM、ON，以这两条射线为边的最小正角MON叫作二面角的平面角。【注意】：①二面角的平面角的范围[0,180];②当二面角的平面角90MON时,二面角l叫作直二面角;③二面角的大小二面角的平面角。(3)两个平面垂直：如果两个相交平面所成的二面角为直角，那么称这两个相交平面互相垂直。平面和平面垂直，记作.(4)两个平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直。ll(5)两个平面垂直的性质定理：已知两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。mlllmNMlOll9【知识点8】空间几何体的定义与性质1.空间几何体的定义如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么这些由物体抽象出来的空间图形叫作空间几何体。2.空间几何体的分类：多面体和旋转体3.多面体的定义在空间图形中，由若干个多边形围成的封闭几何体，叫作多面体，每个多边形都叫作多面体的面，面与面的交线叫作多面体的棱，棱与棱的交点叫作多面体的顶点。不在同一个平面上的顶点的连线叫作多面体的对角线。4.旋转体：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条直线旋转所成的封闭几何体叫作旋转体。【知识点9】柱体的定义与性质1.柱体的定义和性质(1)定义：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫作棱柱。两个互相平行的面叫作棱柱的底面(底)；其余各面叫作棱柱的侧面；两侧面的公共边叫作棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫作棱柱的高。(2)分类：①斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；②直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；③正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。(3)棱柱的性质：①棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形。10②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形。③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。2.圆柱的定义与性质(1)定义：以矩形的一边为旋转轴旋转一周，其余各边旋转形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱。(2)性质：①平行于底面的截面是圆.②过轴的截面是矩形。【知识点10】锥体的定义与性质1.棱锥的定义与性质(1)定义:有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫作棱锥。按照底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、....n棱锥.(2)正棱锥的概念和性质：定义：底面是正多边形且由顶点向底面作垂线，垂足为底面正多边形的中心的棱锥性质：①各侧棱长都相等。②各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等。等腰三角形底边上的高叫作正棱锥的斜高。③边顶点做底面的垂线，垂足正好是底面正多边形的中心④棱锥的高，斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。2.圆锥的定义与性质(1)定义：以直角三角形的一直角边为旋转轴旋转一周，其余各边旋转形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥。底面侧棱侧面顶点11(2)性质：①平行于底面的截面是圆；②过轴的截面是等腰三角形。3.表面积体积公式几何体侧面积体积正椎柱S=php为棱柱底面周长H为棱柱高VShSh底底为棱柱的底面积为棱柱的高正棱锥''12hSChC为棱锥底面周长为棱锥的斜高13VShSh底底为棱锥的底面积为棱锥的高圆柱2SClrlCl为底面周长为母线长VShSh底底为圆柱的底面积为圆柱的高圆锥12SClrlCl为底面周长为母线长13VShSh底底为圆锥的底面积为圆锥的高【知识点11】球体1.球的定义：半圆绕其直径旋转一周所得的曲面叫作球面。由球面所围成的几何体叫作球。半圆的圆心叫作球心，连接球心与球面上的点的线段叫作球半径，连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径。2.球的表面积公式：2=4Sr球；球的体积公式：34=r3V球.O1212第第九部分《立体几何》历年真题分类汇总一、选择题1.(2019).m//，n，//，则（）A.m//nB.nmC.n//D.m 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：B2.(2018)设直线m平行于平面α，直线n垂直于平面β，而且α⊥β，n∉α则必有（）A.m//nB.m⊥nC.m⊥βD.n//α答案：D3.(2015)长方体ABCD-1111DCBA中，直线AC与平面1111DCBA的关系为()A.平行B.相交C.垂直D.无法确定答案：A4.(2014)如图在正方体ABCD-A’B’C’D’中，异面直线1BD与DA1所成角的度数为()第A.30°B.45°C.60°D.90°答案：D5.(2013)右图正方体1111DCBAABCD中，二面角BDDA1的平面角是()A.30B.45C.60D.90答案：B6.(2011)在空间中，下列命题中正确的是A.如果两条直线ba,都平行于平面，那么a∥b；B.如果直线a∥平面，那么直线a就平行于平面内的任何一条直线；C.如果平面∥平面，那么平面内的任何一条直线都平行于平面；D.如果两个平面,都与直线a平行，那么平面∥平面。答案：C二、填空题1.(2019)设正方体的边长为1，则它的外接球直径为___________.解析:32.(2018)一个圆锥高为4，母线长为5，则该圆锥的体积是_______解析：12三、解答题13133.(2012)如图所示，长方体1111DCBAABCD中，3,2,11CCBCAB(8分)求(1)BA1与11DC所成的角的度数；(2)1BC与平面DDCC11所成的角的度数。解析：(1)3;(2)23arctan3【解析】解：(1)1111DCBAABCD是长方体，11//DCABBA1与11DC所成的角即为BAA1………(2分)由已知3,1,311BAAABAA………(2分)(2)1CC为1BC在平面DDCC11内的射影，CBC1即是1BC与平面DDCC11所成的角………(2分)332arctan,33232tan11CBCCBC4.(2011)如图，直三棱柱111CBAABC中，BCAC,E为棱1CC的中点，且1BCAC，21CC(8分)⑴求证：平面11AACC⊥平面11BBCC；⑵求BE与底面ABC所成的角。1414解析：(1)见下解析；(2)45【解析】证明：由直三棱柱111CBAABC可知，CCBC1又由已知BCAC，而CCCAC1，故11AACC平面BC，而11BBCCBC平面则由两个平面垂直的判定定理知平面11AACC⊥平面11BBCC；(2)解：由直三棱柱111CBAABC知ABC1平面CC，故EBC即为BE与底面ABC所成的角。由E为棱1CC的中点，且1BCAC，21CC知，在RtEBC中，CE=1，BC=1，90ECB，所以45EBC。所以，BE与底面ABC所成的角为45。15152020届中职数学第九章《立体几何》单元检测（满分100分，时间：90分钟）一.选择题（3分*10=30分）1、不共面的四个点可以确定的平面个数是（）A、1B、3C、4D、无数2、垂直于同一要直线的两条直线一定（）A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能3、下列命题正确的是（）A、空间任意三点确定一个平面；B、两条垂直直线确定一个平面；C、一条直线和一点确定一个平面；D、两条平行线确定一个平面4、如果直线ab，且a平面，则（）A、b//平面B、bC、b平面D、b//平面或b5、两个球的体积比为8:27,则这两个球的表面积比是（）A、2:3B、4:9C、8:27D、22:336、圆柱的轴截面面积为4，则它的侧面积为（）A．34B．2C.4D．87.长方体1111DCBAABCD中,直线AC与平面1111DCBA的关系()A.平行B.相交C.垂直D.无法确定8、空间四面体A-BCD,AC=BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是（）A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形9、如果平面的一条斜线段长是它在这平面上射影的3倍，那么这条斜线与平面所成角的正切值为()A.2B．2C．4D．2210、如图，是一个正方体，则B1AC=（）A、30oB、45oC、60oD、75o二.填空题（4分*8=32分）11、三条直线相交于一点可以确定平面的个数是_________.12、垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是_________.13、已知平面//，且、间的距离为1，直线L与、成60o的角，则夹在、之间的线段长为.第9题161614、在正方体1111DCBAABCD中,与棱AA’异面的直线共有_____条.15、夹在两个平行平面间的平行线段________________.16、四条线段首尾顺次连接，最多要以确定_____个平面17、若a,b分别为长方体相邻两个面的对角线，则a与b的关系是________.18、已知球的体积为36，则此球的表面积为________.三.解答题（共6题，共计38分）19、（6分）画出长为4cm,宽为4cm,高为5cm的长方体的直观图。20、（6分）如图，空间四边形ABCD中，ABCD,AHBCD平面求证：BHCD.21、（6分）长方体一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的顶点都在同一个球面上，求主穿上球面的表面积。22、（6分）一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为4，求这个三棱锥的侧面积和体积。23、（6分）如图，在直角三角形ABC中，ACB=90o，AC=BC=1，若PA平面ABC，且PA=2。（1）证明BCPC（2）求直线BP与平面PAC所成的角。PBCADHCBA171724、（8分）如图所示，长方体1111DCBAABCD中，3,2,11CCBCAB，求（1）BA1与11DC所成的角的度数；（2）1BC与平面DDCC11所成的角的度数。AC1B1D1DCBA1818第九章《立体几何》检测题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）题号12345678910答案CDDDBCACDC二、填空题（共8小题，每题4分，共32分）11.1个或3个；12.平行；13.332；14.4；15.相等;16.4；17.相交或异面18.36.三.解答题（共6题，共计38分）19、略20、AHBCDCDAH平面,又ABCD，所以CDABH平面,而BH平面ABH所以，BHCD21、解：长方体的体对角线即为球的直径，所以2225234522rr，所以球的表面积2=4r50s球.22解：正三棱锥P-ABC中，过点P做PO底面ABC，交底面ABC于点O，连接AO并延长，交BC于点D,则由题可知90POA，AB=BC=CA=6,PA=43336)()(2222BCABAD3232ADAO,2)32(4)()(2222AOPAPO取AC中点E，连接PE，则由正三棱锥P-ABC知：ACPE7342222AEPAPE正三棱锥P-ABC的侧面积79762133PACSS正三棱锥P-ABC的体积362336213131=VPOSABC23.(1)证明：PA平面ABC，所以ABPAACPA,由题知，312222ACPAPC,211222BCACAB422222ABPAPB而由已知得12BCDPBCAOE1919PCB中，222PBBCPC,所以PCB是直角三角形，BCPC。(2)由PCBCACBC,知，PACBC平面，BPC就是直线BP与平面PAC所成的角。由（1）知，PCBRt中，1,3BCPC3331tanPCBCBPC30tanBPC.24、解：（1）1111DCBAABCD是长方体，11//DCABBA1与11DC所成的角即为BAA1………（2分）由已知3,1,311BAAABAA………（2分）（2）1CC为1BC在平面DDCC11内的射影，CBC1即是1BC与平面DDCC11所成的角………（2分）332arctan,33232tan11CBCCBC 第九部分立体几何 第九部分《立体几何》历年真题分类汇总 第九章《立体几何》检测题参考答案