2020届高考数学一轮复习分强化训练专题2.6 对数与对数函数（解析版）

第二篇函数及其性质专题2.06　对数与对数函数【考试要求】1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)．【知识梳理】1.对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.【微点提醒】1.换底公式的两个重要结论(1)logab＝；(2)logambn＝logab.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)log2x2＝2log2x.(　　)(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.(　　)(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.(　　)(4)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.(　　)【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×【解析】　(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错.(2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错.(4)当x＞1时，logax＞logbx，但a与b的大小不确定，故(4)错.【教材衍化】2.(必修1P73T3改编)已知a＝，b＝log2，c＝log，则(　　)A.a>b>c B.a>c>bC.c>b>a D.c>a>b【答案】　D【解析】　∵0<a<1，b<0，c＝log＝log23>1.∴c>a>b.3.(必修1P74A7改编)函数y＝的定义域是________.【答案】　【解析】　由log(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.∴<x≤1.∴函数y＝的定义域是.【真题体验】4.(2019·杭州检测)计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　　)A.0 B.2 C.4 D.6【答案】　D【解析】　原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.5.(2019·上海静安区检测)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)A.a>1，c>1　　　　 B.a>1，0<c<1C.0<a<1，c>1　　　　 D.0<a<1，0<c<1【答案】　D【解析】　由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a<1.又当x＝0时，y>0，即logac>0，所以0<c<1.6.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝log2(x2＋a).若f(3)＝1，则a＝________.【答案】　－7【解析】　由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.【考点聚焦】考点一　对数的运算【例1】(1)计算：÷100－＝________.(2)计算：＝________.【答案】　(1)－20　(2)1【解析】　(1)原式＝(lg2－2－lg52)×100＝lg×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝＝＝＝＝＝1.【规律方法】　1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练1】(1)若lg2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列，则x的值等于(　　)A.1 B.0或 C. D.log23(2)(2019·成都七中检测)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.【答案】　(1)D　(2)4　2【解析】　(1)由题意知lg2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，∴2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x)2－9＝0，2x＝3，x＝log23.(2)设logba＝t，则t>1，因为t＋＝，所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，所以b2b＝bb2，即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.考点二　对数函数的图象及应用　【例2】(1)(2019·潍坊一模)若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是(　　)(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是(　　)A.(0，1) B.(1，2)C.(1，2] D.【答案】　(1)D　(2)C【解析】　(1)由f(x)在R上是减函数，知0<a<1.又y＝loga(|x|－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x>1时，y＝loga(x－1)的图象由y＝logax向右平移一个单位得到.因此选项D正确.(2)由题意，易知a>1.在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的图象.若y＝logax过点(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2.根据题意，函数y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方.结合图象，a的取值范围是(1，2].【规律方法】　1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】(1)(2018·湛江模拟)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)A.0<a－1<b<1B.0<b<a－1<1C.0<b－1<a<1D.0<a－1<b－1<1(2)(2019·日照一中调研)已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0恰有一个实根，则实数a的取值范围是________.【答案】　(1)A　(2){0}∪[2，＋∞)【解析】　(1)由函数图象可知，f(x)在R上单调递增，又y＝2x＋b－1在R上单调递增，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0，即logaa－1<logab<loga1，所以，a－1<b<1.综上有0<a－1<b<1.(2)作出函数y＝f(x)的图象(如图所示).方程f(x)－a＝0恰有一个实根，等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝a恰有一个公共点，故a＝0或a≥2，即a的取值范围是{0}∪[2，＋∞).考点三　对数函数的性质及应用　多维探究角度1　对数函数的性质【例3－1】已知函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)，则(　　)A.f(x)在(0，2)上单调递增B.f(x)在(0，2)上单调递减C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D.y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称【答案】　C【解析】　由题意知，f(x)＝lnx＋ln(2－x)的定义域为(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A，B；又f(2－x)＝ln(2－x)＋lnx＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误.角度2　比较大小或解简单的不等式【例3－2】(1)(一题多解)(2018·天津卷)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b(2)若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是(　　)A.(0，1) B.C. D.(0，1)∪(1，＋∞)【答案】　(1)D　(2)C【解析】　(1)法一　因为a＝log2e>1，b＝ln2∈(0，1)，c＝log＝log23>log2e＝a>1，所以c>a>b.法二　log＝log23，如图，在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝lnx的图象，由图知c>a>b.(2)由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a，又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a<1，同时2a>1，∴a>.综上，a∈.角度3　对数型函数性质的综合应用【例3－3】已知函数f(x)＝loga(3－ax).(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.【答案】见解析【解析】(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立.∴3－2a>0.∴a<.又a>0且a≠1，∴a的取值范围是(0，1)∪.(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数.∵f(x)在区间[1，2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，∴a>1，x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴即故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.【规律方法】　1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】(1)若a>b>0，0<c<1，则(　　)A.logac<logbc B.logca<logcbC.ac<bc D.ca>cb(2)若函数f(x)＝loga(a>0，a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为________.【答案】　(1)B　(2)(0，＋∞)【解析】　(1)由y＝xc与y＝cx的单调性知，C，D不正确；∵y＝logcx是减函数，得logca<logcb，B正确；logac＝，logbc＝，∵0＜c＜1，∴lgc＜0.又a＞b＞0，∴lga＞lgb，但不能确定lga，lgb的正负，∴logac与logbc的大小不能确定.(2)令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝－，因此M的单调递增区间为.又x2＋x>0，所以x>0或x<－，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).【反思与感悟】1.对数值取正、负值的规律当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时，logab>0；当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时，logab<0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.【易错防范】1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0<a<1与a>1两种情况讨论.2.在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N*，且α为偶数).3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为(　　)A.24 B.16 C.12 D.8【答案】　A【解析】　因为3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.2.(2018·天津卷)已知a＝log3，b＝，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b【答案】　D【解析】　log＝log3－15－1＝log35，因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数，所以log35>log3>log33＝1，因为函数y＝在(－∞，＋∞)上为减函数，所以<＝1，故c>a>b.3.(2019·张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝loga(x＋2)(a>0，且a≠1)的图象大致为(　　)【答案】　A【解析】　由题意，知函数f(x)＝2－ax(a>0，且a≠1)为单调递减函数，当0<a<1时，函数f(x)＝2－ax的零点x＝>2，且函数g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数，C，D均不满足；当a>1时，函数f(x)＝2－ax的零点x＝<2，且x＝>0，又g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，排除B，综上只有A满足.4.(2019·宁波二模)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，则(　　)A.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是增函数B.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是增函数C.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是减函数D.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是减函数【答案】　D【解析】　由得x∈(－10，10)，且f(x)＝lg(100－x2).∴f(x)是偶函数，又t＝100－x2在(0，10)上单调递减，y＝lgt在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(0，10)上单调递减.5.(2019·临汾三模)已知函数f(x)＝|lnx|，若f(m)＝f(n)(m>n>0)，则＋＝(　　)A. B.1 C.2 D.4【答案】　C【解析】　由f(m)＝f(n)，m>n>0，可知m>1>n>0，∴lnm＝－lnn，则mn＝1.所以＋＝＝＝2.二、填空题6.lg＋2lg2－＝________.【答案】　－1【解析】　lg＋2lg2－＝lg＋lg22－2＝lg－2＝1－2＝－1.7.(2019·昆明诊断)设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.【答案】　(－1，0)【解析】　由f(x)是奇函数可得a＝－1，∴f(x)＝lg，定义域为(－1，1).由f(x)<0，可得0<<1，∴－1<x<0.8.(2019·潍坊调研)已知函数f(x)＝若f(2－a)＝1，则f(a)＝________.【答案】　－2【解析】　当2－a<2，即a>0时，f(2－a)＝－log2(1＋a)＝1.解得a＝－，不合题意.当2－a≥2，即a≤0时，f(2－a)＝2－a－1＝1，即2－a＝2，解得a＝－1，所以f(a)＝f(－1)＝－log24＝－2.三、解答题9.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间上的最大值.【答案】见解析【解析】(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.由得－1＜x＜3，∴函数f(x)的定义域为(－1，3).(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，∴当x∈[0，1]时，f(x)是增函数；当x∈时，f(x)是减函数，故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2.【答案】见解析【解析】(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x).因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以|x2－1|<4，解得－<x<，即不等式的解集为(－，).【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·天津和平区二模)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝loga(x＋)在区间(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)＝loga||x|－b|的图象是(　　)【答案】　A【解析】　∵函数f(x)＝loga(x＋)在区间(－∞，＋∞)上是奇函数，∴f(0)＝0，∴b＝1，又函数f(x)＝loga(x＋)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，所以a>1.所以g(x)＝loga||x|－1|，当x>1时，g(x)＝loga(x－1)为增函数，排除B，D；当0<x<1时，g(x)＝loga(1－x)为减函数，排除C；故选A.12.设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)A.2x<3y<5z B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x D.3y<2x<5z【答案】　D【解析】　令t＝2x＝3y＝5z，∵x，y，z为正数，∴t>1.则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.∴2x－3y＝－＝＝>0，∴2x>3y.又∵2x－5z＝－＝＝<0，∴2x<5z，∴3y<2x<5z.13.(2019·衡水中学检测)已知函数f(x)＝lg(mx2＋2mx＋1)，若f(x)的值域为R，则实数m的取值范围是________.【答案】　[1，＋∞)【解析】　令g(x)＝mx2＋2mx＋1值域为A，∵函数f(x)＝lg(mx2＋2mx＋1)的值域为R，∴(0，＋∞)⊆A，当m＝0时，g(x)＝1，f(x)的值域不是R，不满足条件；当m≠0时，解得m≥1.14.已知函数f(x)＝ln.(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)对于x∈[2，6]，f(x)＝ln>ln恒成立，求实数m的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)由>0，解得x<－1或x>1，∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝ln＝ln＝ln＝－ln＝－f(x).∴f(x)＝ln是奇函数.(2)由于x∈[2，6]时，f(x)＝ln>ln恒成立，∴>>0，∵x∈[2，6]，∴0<m<(x＋1)(7－x)在x∈[2，6]上恒成立.令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x∈[2，3]时函数g(x)单调递增，x∈[3，6]时函数g(x)单调递减，即x∈[2，6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0<m<7.故实数m的取值范围为(0，7).1