立体几何大题专练1、如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点；(1)求证：MN//平面PAD(2)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD2（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，分别为的中点．PACEBF（1）求证：平面；（2）若平面平面，且，，求证：平面平面．（1）证明：连结,、分别为、的中点，.……………………2分又平面，平面，EF∥平面PAB.……………………5分（2），为的中点，……………………6分又平面平面面……………………8分……………………9分又因为为的中点，……………………10分面……………………11分又面面面……………………12分3.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。（1）求证：BC1//平面CA1D；（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B。4．已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是 AB、PC的中点． (1)求证：EF∥平面PAD； (2)求证：EF⊥CD； (3)若∠PDA＝45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．5．（本小题满分12分）如图，的中点．（1）求证：；（2）求证：；6.如图，正方形所在的平面与三角形ＡDＥ所在平面互相垂直，△ＡＥＢ是等腰直角三角形，且ＡＥ＝ＥD 设线段BC、的中点分别为F、，求证：（1）∥；（2）求二面角Ｅ－ＢＤ—Ａ的正切值．（1）证明：取AD的中点N,连结FN,MN,则MN∥ED，FN∥CD∴平面FMN∥平面ECD.∵MF在平面FMN内,∴FM∥平面ECD......5分（2）连接EN,∵AE=ED，N为AD的中点，∴EN⊥AD.又∵面ADE⊥面ABCD，∴EN⊥面ABCD.作NP⊥BD,连接EP,则EP⊥BD，∴∠EPN即二面角E-BD-A的平面角，设AD=a,∵ABCD为正方形，⊿ADE为等腰三角形，∴EN=a,NP=a.∴tan∠EPN=.......10分7.如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为cm的内接圆柱.(1)试用表示圆柱的侧面积；（2）当为何值时，圆柱的侧面积最大.19.（1）解：设所求的圆柱的底面半径为则有,即.∴.......5分（2）由（1）知当时，这个二次函数有最大值为所以当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为......10分8．（10分）如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90o.（1）证明：AB⊥PC；（2）若，且平面⊥平面，求三棱锥体积.解：（1）因为是等边三角形，,所以,可得。如图，取中点，连结,,则,,所以平面,所以......5分（2）作，垂足为，连结．因为，所以，．由已知，平面平面，故． 因为，所以都是等腰直角三角形。由已知，得，的面积．因为平面，所以三角锥的体积......10分9.（本题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)证明PB∥平面ACM；(2)证明AD⊥平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．解析： (1)证明：如图，连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB?平面ACM，MO?平面ACM，所以PB∥平面ACM.(2)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.(3)如图，取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝PO＝1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，DO＝.从而AN＝DO＝.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝＝＝，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.10（本小题满分12分）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，，，，点是的中点．（Ⅰ）求证：；（II）求证：平面；（III）求三棱锥的体积．证明：（Ⅰ）在△ABC中，∵，，，∴△ABC为直角三角形，∴，……………1分又∵平面ABC，∴，，……………2分∴平面，∴．……………4分（II）设与交于点E，则E为的中点，连结DE，……………5分则在△中，，又，……………7分∴平面．……………8分（III）在△ABC中，过C作，F为垂足，∵平面平面ABC，∴平面，而，……………9分∵，……………10分而，……………11分∴．……………12分11.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点求下：（Ⅰ）直线EF//平面PCD；（Ⅱ）平面BEF⊥平面PAD.12.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点F。 （I）求证：平面； （II）求证：平面； （III）求二面角的大小。13．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，（1）求二面角的度数（2）若是侧棱的中点，求异面直线与所成角的正切值14．（本小题满分12分）若图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，EC//PD，且PD=2EC。（1）求证：BE//平面PDA；（2）若N为线段PB的中点，求证：EN平面PDB；（1）证明：EC∥PD∴EC∥面PAD；同理BC∥面PAD；∴面BEC∥面PAD；∴BE∥面PAD（2）证明：取BD的中点O，连NO、CO，易知，CO⊥BD；又∵CO⊥PD;∴CO⊥面PBD。15．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE中，底面为等腰直角三角形，且，侧面BCDE是菱形，O点是BC的中点，EO平面ABC。（1）求异直线AC和BE所成角的大小；（2）求平面ABE与平面ADE所成锐二面角的余弦值。
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