【第2课时不等式的证明】之小船创作最新考纲考情考向剖析经过一些简单问题认识证明不等式的基本主要考察用比较法、综合法、剖析法证明方法：比较法、综合法、剖析法.不等式，题型为解答题，中档难度.比较法作差比较法已知a>b?a－b>0，a
b，只需证明a－b>0即可，这类方法称为作差比较法.作商比较法a由a>b>0?b>1且a>0，b>0，所以当a>0，b>0时，要证明aa>b，只需证明b>1即可，这类方法称为作商比较法.综合法从已知条件出发，利用不等式的相关性质或定理，经过推理论证，最后推导出所要证明的不等式建立，这类证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法.剖析法从待证不等式出发，逐渐追求使它建立的充分条件，直到将待证不等式归纳为一个已建立的不等式(已知条件、定理等)，进而得出要证的不等式建立，这类证明方法叫做剖析法，即“执果索因”的方法.反证法先假定要证的命题不建立，以此为出发点，联合已知条件，应用公义、定义、定理、性质等，进行正确的推理，获得和命题的条件(或已证明的定理、性质、显然建立的事实等)矛盾的结论，以说明假定不正确，进而证明原命题建立.放缩法证明不等式时，经过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，进而达到证明的目的.观点方法微思虑综合法与剖析法有何内在联系？提示综合法常常是剖析法的相反过程，其表述简单、条理清楚，当问题比较复杂时，往常把剖析法和综合法联合起来使用，以剖析法找寻证明的思路，而用综合法表达、表达整个证明过程.剖析法的过程中为何要使用“要证”，“只需证”这样的连结“重点词”？提示由于“要证”“只需证”这些词说了然剖析法需要追求的是充分条件，切合剖析法的思想是逆向思想的特色，所以在证明时，这些词是必不行少的.题组一思虑辨析判断以下结论能否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当≥0，＋.(√)b≥0时，ab≥a2ab用反证法证明命题“a，b，c全为0”的假定为“a，b，c全不为0”.(×)若实数x，y合适不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.(√)(4)若m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则n≥m.(√)题组二教材改编2.已知，∈R＋，＋＝2，则1＋1的最小值为()abababA.1B.2C.4D.8
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
B分析由于，∈R＋，且＋＝2，abab11baba所以(a＋b)a＋b＝2＋a＋b≥2＋2a·b＝4，11411所以＋≥＋＝2，即＋的最小值为2(当且仅当a＝b＝ababab1时，“＝”建立).应选B.3.若a，b，m∈R，且a>b，则以下不等式必定建立的是()＋b＋mbb＋mbA.＋≥B.＋>amaama＋mb＋mbbbC.＋≤D.＋<amaama答案B分析由于a，b，m∈R＋，且a>b.＋mbma－bb＋mb所以b>0，即－＝aa＋m>，应选B.a＋maa＋ma题组三易错自纠已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，abc>0，用反证法求证>0，>0，>0时的假定为()abcA.a<0，b<0，c<0B.a≤0，b>0，c>0C.，，c不全部是正数D.<0ababc答案C11x与y的大小关系是()5.若>>1，＝＋，＝＋，则abxaaybbx>yB.xb>1，得ab>1，a－b>0，所以a－bab－1>0，即x－>0，所以>.应选A.abyxy若a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a，b，c的大小关系为()A.abcacb>>B.>>C.b>c>aD.c>a>b答案A分析“分子”有理化得＝1，＝1，a3＋b6＋52c＝1，∴>>.7＋6abc用综合法与剖析法证明不等式1例1(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋x2－2xy＋y2≥2y＋3；(2)设，，>0且＋＋＝1，求证：＋＋≥3.abcabbccaabc证明(1)由于x>0，y>0，x－y>0，2x＋212－2y＝2(－)＋12x－2xy＋yxyx－y＝(x－y)＋(x－y)＋1x－y232·1≥3x－y2＝3(当且仅当x－y＝1时，等x－y号建立)，1所以2x＋x2－2xy＋y2≥2y＋3.由于a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥3，只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.a2＋b2b2＋c2c2＋a2而ab＋bc＋ca≤＋2＋22a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号建立)建立，所以原不等式建立.思想升华用综合法证明不等式是“由因导果”，用剖析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法常常是剖析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实质应用时，常常用剖析法找思路，用综合法写步骤，因而可知，剖析法与综合法相互转变，相互浸透，互为前提，充分利用这一辩证关系，能够增添解题思路，宽阔视线.追踪训练1已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；(2)若||<1，||<1，且≠0，求证：f()>||·fb.abaabaa(1)解依题意，原不等式等价于|x－1|＋|x＋3|≥8.当x<－3时，则－2x－2≥8，解得x≤－5.当－3≤x≤1时，则4≥8不建立，不等式解集为?.当x>1时，则2x＋2≥8，解得x≥3.所以不等式f(x)＋f(x＋4)≥8的解集为{x|x≥3或x≤－5}.(2)证明要证f()>||·fb，abaa只需证|ab－1|>|b－a|，只需证(ab－1)2>(b－a)2.由于|a|<1，|b|<1，知a2<1，b2<1，所以(ab－1)2－(b－a)2＝a2b2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1)>0.故(ab－1)2>(b－a)2建立.进而原不等式建立.放缩法证明不等式aa例2(1)设a>0，|x－1|<3，|y－2|<3，求证：|2x＋y－4|0，|x－1|(＝1,2，，)，nnknkn11得2n≤n＋k＋1kkkkk1<2，1>2，上边不等式中k∈N*，k>1；kk＋k－1kk＋k＋1②利用函数的单一性；③利用结论，如“若00，则a＋m.”b＋m使用绝对值不等式的性质证明不等式时，常与放缩法结合在一同应用，利用放缩法时要目注明确，经过添、拆项后，合适放缩.追踪训练2设f(x)＝x2－x＋1，实数a知足|x－|<1，a求证：|f(x)－f(a)|<2(||＋1).a证明|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋－1|＝|x－＋2a－1|≤|－|＋|2a－1|<1＋aaxa|2a|＋1＝2(||＋1)，即|f(x)－f()|<2(||＋1).aaa经过翻阅近几年全国各省市高考数学
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，发现许多题目能够利用柯西不等式来求解，灵巧地运用柯西不等式将会使我们的解题变得更加便利.例1函数y＝x－5＋26－x的最大值是()A.3B.5C.3D.5答案B分析依据柯西不等式知，y＝1×x－5＋2×6－x≤12＋22×x－52＋6－x2＝5(当且仅当x＝265时取等号).例2设，，，∈R，且2＋b2＝5，＋＝5，则2＋2abmnamanbmn的最小值为.答案522222分析依据柯西不等式(ma＋nb)≤(a＋b)(m＋n)，2222得25≤5(m＋n)，m＋n≥5，当且仅当an＝bm时等号建立，22所以m＋n的最小值为5.例3已知a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥1.3证明方法一∵2＋2＋c2＝(a＋b＋)2－(2ab＋2bc＋abc2ac)≥(a＋b＋c)2－2(a2＋b2＋c2)，∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，2221∴a＋b＋c≥.2221222＋＋c2ab方法二∵a＋b＋c－3＝a＋b＋c－31(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac)31[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0，32221∴a＋b＋c≥.方法三∵(12＋12＋12)(2＋2＋2)≥(＋＋)2＝1，abcabc即3(a2＋b2＋c2)≥1，当且仅当a＝b＝c时等号建立，2221∴a＋b＋c≥.1.(2019·山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区联考)设函数f(x)＝|x－|＋|x＋|，此中>0，>0.mnmn(1)当＝1，＝1时，求对于x的不等式f(x)≥4的解集；mn(2)若＋＝，证明：f()≥4.mnmnx(1)解由m＝1，n＝1，－2x，x<－1，得f(x)＝|x－1|＋|x＋1|＝2，－1≤x≤1，2x，x>1，当x<－1时，由－2x≥4得x≤－2；当－1≤x≤1时，2≥4不建立；当x>1时，由2x≥4得x≥2，所以f(x)≥4的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞).(2)证明由＋＝11，可得＋＝1，mnmnmn(x)＝|x－m|＋|x＋n|≥|m＋n|，当且仅当(x－m)(x＋n)≤0时取等号.由于m>0，n>0，fx11nm所以()≥＋＝＋(＋)＝2＋＋≥4，mnmnmnmn当且仅当＝＝2时等号建立.所以f(x)≥4.mn2.(2020·晋冀鲁豫中原名校联考)已知函数f(x)＝x2－|x1|－|x－1|.求不等式f(x)≤0的解集A；在(1)的条件下，若a，b∈A，求证：2|a＋b|≤|ab＋4|.(1)解①当x<－1时，不等式f(x)≤0可化为x2＋(x＋1)－(1－x)≤0，解得－2≤x≤0，故有－2≤x<－1；②当－1≤x≤1时，不等式f(x)≤0可化为x2－(＋1)－x(1－x)≤0，解得－2≤x≤2，故有－1≤x≤1；③当>1时，不等式f(x)≤0可化为x2－(x＋1)－(x－x≤0，解得0≤x≤2，故有15，3≤≤，或2x5等价于x－5＋2x－3<55－x＋2x－3<53或x<2，5－x＋3－2x<5，33解得x∈?或2≤x<3或13，或2x3或x＋1＋x－3≤8，2x＋1＋3－x2≤81110解得－2≤x<－2或－2≤x≤3或30，n>0，m＋3n＝mn，11＋3n2∴＋3＝(·3)≤×m，mn3mn34即＋3≥12，mn＝3，＝6，当且仅当mn即m时取等号，＋3＝，＝2mnmnn∴f()＋f(－3)＝|2＋1|＋|－6＋1|≥|2＋6|，mnmnmn1当且仅当－6n＋1≤0，即n≥6时取等号，又|2m＋6n|≥24，当且仅当m＝6，n＝2时取等号，∴f(m)＋f(－3n)≥24.5.()|x3|.(1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥5；(2)若||>1，且f()>||·fb，证明：||>3.aabaab(1)解|x－3|＋|x－2|≥5，当x>3时，(x－3)＋(x－2)≥5，x≥5；当2≤x≤3时，(3－x)＋(x－2)≥5,1≥5，无解；当x<2时，(3－x)＋(2－x)≥5，x≤0，综上，不等式的解集为{|≥5或x≤0}.xx(2)证明f()>||·fb等价于|ab－abaa3|>|b－3|>|－3|，则(2－32，|·－3，即|－3)>()aaabbaabba化简得a2b2＋9－b2－9a2>0，即(a2－1)(b2－9)>0.由于||>1，所以2－1>0，所以2－9>0，||>3.aabb
浙公网安备 33021202002483