解三角形正弦定理与余弦定理解析

正弦定理与余弦定理授课目的掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.正余弦定理及三角形面积公式．授课重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点 清单 安全隐患排查清单下载最新工程量清单计量规则下载程序清单下载家私清单下载送货清单下载 一.正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即abc2R（其中R是三角形外接圆的半径）sinAsinBsinC2.变形：1）abcabc．sinsinCsinsinsinsinC2）化边为角：a:b:csinA:sinB:sinC；asinA;bsinB;asinA;bsinBcsinCcsinC3）化边为角：a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC4）化角为边：sinAa;sinBb;sinAa;sinBbsinCcsinCc5）化角为边：sinAa,sinBbc2R,sinC2R2R利用正弦定理可以解决以下两类三角形的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a，解法：由A+B+C=180，求角A,由正弦定理asinA;bsinB;obsinBcsinCasinA;求出b与ccsinC②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理asinAo求出角C，再使用正bsinB求出角B,由A+B+C=180弦定理asinA求出c边csinC△ABC中，已知锐角A，边b，则①absinA时，B无解；②absinA或ab时，B有一个解；bbsinAAbsinAab时，B有两个解。如：①已知A60,a2,b23,求B(有一个解)②已知A60,b2,a23,求B(有两个解)注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。二.三角形面积1.SABC1absinC1bcsinA1acsinB2222.SABC1(abc)r,其中r是三角形内切圆半径.23.SABCp(pa)(pb)(pc),其中p1(abc),abc,R为外接圆半径24.SABC4R5.SABC2R2sinAsinBsinC,R为外接圆半径三.余弦定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosCb2c2a22.变形：cosA2bca2c2b2cosB2aca2b2c2cosC2ab注意整体代入，如：a2c2b2accosB13．利用余弦定理判断三角形形状：2设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若，，所以为锐角②若c2b2a2A为直角③若，所以为钝角，则是钝角三角形利用余弦定理可以解决以下两类三角形的问题：1）已知三边，求三个角2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角考点剖析题型1正弦定理解三角形例题1在△ABC中，已知A=60°，a=2，C=45°，则C=．例题2在△ABC中，A=，AC=2，BC=，则AB=．变式训练1、在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A、C和边c2、在△ABC中，若a＝4，B＝30°，C＝105°，则b＝________．若b＝3，c＝2，C＝45°，则a＝________．若AB＝3，BC＝6，C＝30°，则∠A＝________．3、在△ABC中，若A=60°，BC=4，AC=4，则角B的大小为（）A．30°B．45°C．135°D．45°或135°4、在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°5、在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小为（）A．B．C．D．6、在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于．题型2余弦定理解三角形例题1在△ABC中，a=1，b=，c=2，则B=．例题2已知△ABC中，AB=3，AC=5，A=120°，则BC等于．变式训练cosBb1、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosC＝－2a＋c.求角B的大小2、在△ABC中，有以下结论：222①若a＞b+c，则△ABC为钝角三角形222②若a=b+c+bc，则A为60°③若a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形④若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=1：2：3其中正确的个数为（）A．2B．3C．1D．4在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知，则C=（）A．B．C．D．题型例题A．3正弦余弦定理求三角形面积1、在△ABC中，若B=60°，AB=2，AC=2B．2C．，则△ABC的面积（D．）例题2、△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为．变式训练1、已知△ABC中，∠B=45°，AC=4，则△ABC面积的最大值为．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，a=，b+c=3，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．2题型4三角形形状的判断222A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形例题2在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，且bcosB是acosC、ccosA的等差中项．求B的大小；若a＋c＝10，b＝2，求△ABC的面积．变式训练1、在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若a2+b2＜c2，则△ABC是（）A．锐角三角形C．钝角三角形B．直角三角形D．锐角三角形或钝角三角形2、已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，acosC＋3asinC－bc＝0.求A；若a＝2，△ABC的面积为3，求b、c.课后作业1、设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则角C＝________．ππ2、A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b＝2，B＝6，C＝4，则△ABC的面积为________．3、已知△ABC中，∠B＝45°，AC＝4，则△ABC面积的最大值为________．4、在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且c＝－3bcosA，tanC＝34.求tanB的值；若c＝2，求△ABC的面积．15、在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC＋2c＝b.求角A的大小；若a＝15，b＝4，求边c的大小．6、在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c.(1)若c＝2，C＝π，且△ABC的面积为3，求a、b的值；3(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．解题技巧(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意谈论该角，这是解题的难点，应引起注意．(1)依照所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解题的要点．熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．在已知关系式中，若既含有边又含有角，平时的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求解．