备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题37难舍难分的an与Sn——求数列的通项公式

夜来风雨声专题37难舍难离的an与Sn----求数列的通项公式【热门聚焦与扩展】对于求数列的通项公式问题，在高考取极少独立命题，但数列的通项公式、猜想、概括、递推意识却融入数列的试题之中，特别是题目中给定an与Sn的关系，经过确立数列的通项公式进一步解题，常有于各种 考试题 教师业务能力考试题中学音乐幼儿园保育员考试题目免费下载工程测量项目竞赛理论考试题库院感知识考试题及答案公司二级安全考试题答案 中.本专题举例说常有种类的求解方法.1、累加（累乘法）（1）累加法：假如递推公式形式为：an1anfn，则可利用累加法求通项公式①等号右侧为对于n的表达式，且能够进行乞降②an1,an的系数同样，且为作差的形式（2）累乘法：假如递推公式形式为：an1fn，则可利用累加法求通项公式an2、结构协助数列：经过对递推公式进行变形，变形为相邻项同构的特色，从而将同样的结构视为一个整体，即结构出协助数列.经过求出协助数列的通项公式，即可算出原数列的通项公式（1）形如apaqp1,q0的形式：往常可结构出等比数列，从而求出通项公式.nn1（2）形如anpan1qn，此类问题可先办理qn，两边同时除以qn，得anpan11，从而结构成qnqnanpan11，设bnan，从而变为bnpbn11，从而将问题转变为第（1）个问题qnqqn1qnq小结：对于以上两个问题，还有一个通用的方法：对于形如anpan1fn（此中fn为对于n的表达式），可两边同时除以nanan1fnanbnfn，从而只需fnp，npn1pn.设bnpn，即bn1pnpn可进p行乞降，即可用累加的方法求出bn，从而求出bn.（3）形如：qan1pananan1，能够考虑两边同时除以anan1，转变为qp1的形式，从而可设anan1bn1，递推公式变为qbnpbn11，转变为上边的种类求解an（4）形如pan2pqan1qank，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，则可依据两边1夜来风雨声项的系数对中间项进行拆分，结构为：pan2an1qan1ank的形式，将bnan1an，从而可转变为上边所述种类进行求解4、已知数列an的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：先利用a1S1求出a1；(2)用n1替代Sn中的n获得一个新的关系，利用anSnSn1(n2)即可求出当n2时an的表达式；(3)对n1时的结果进行查验，看能否切合n2时an的表达式，假如切合，则能够把数列的通项公式合写；假如不切合，则应当分n1与n2两段来写．5、结构相减：当所给递推公式没法直接进行变形，则可考虑依据递推公式的形式再结构出下一组相邻项的递推公式，经过两式相减可结构出新的递推公式，再试试解决.特别是办理递推公式一侧有乞降特色的问题，这类做法可结构出更加简单的递推公式.6、先经过数列前几项找到数列特色，从而猜出通项公式（教科书的基本 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 ：依据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意察看每一项的特色，察看出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、切割等办nn1法，转变为一些常有数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用1或1来调整．），必需时再利用数学概括法证明.【经典例题】例1.（1）数列an知足：a11，且an1an2n1，求an.（2）已知数列an知足：a11，且nan1n1an，求an【答案】（1）an2nn2；（2）ann.【分析】（1）a1a2n1nnanan12n11a2a1211累加可得：ana12222n1n122n1121n12nn32夜来风雨声an2nn2（2）nan1n1anan1n1annanan1a2nn12an1an2a1n1n21annanna1na1例2.（1）数列an中，a11，an3an12，求数列an的通项公式.（2）在数列an中，a11，an3an123n，求数列an的通项公式.【答案】（1）an23n11；（2）an2n53n.3an1是公比为3的等比数列an1a113n1an23n11（2）an3an123nanan123n3n1an是公差为2的等差数列n3ana1n53n31122n3an2n53n33夜来风雨声例3.已知数列an知足a11，a21，若anan12an13an1an1n2,nN*，则数列an的3通项an（）1B.11D.1A.2nC.3n12n112n11【答案】B【分析】anan12anan13an1an1,1231111,an1an1,an12anan1anan例4.【2018届甘肃省兰州第一中学上学期第二次月考】已知正项数列an的首项a11，前n项和为Sn，若以an,Sn为坐标的点在曲线y1xx1上，则数列an的通项公式为________．2【答案】ann【分析】由于以an,Sn为坐标的点在曲线y1xx1上，因此Sn1anan1，即222Snan2an,2Sn1an12an1，两式相减，得2an1an21an1an2an，221，即an1即an21an1an2an，即an111an11an1)，242422即an1an1，又a11，即数列an是以1为首项，公差为1的等差数列，则数列an的通项公式为4夜来风雨声ann；故填ann.例5.【2018届四川省绵阳市三诊】已知正项数列an的前n项和Sn知足：a1anS1Sn．（1）求数列an的通项公式；（2）令bnlog2an，求数列bn的前n项和Tn.32【答案】（1）an2n；（2）n29n2【分析】【试题剖析】(1)令n1求得a,而后利用S1,n1化简得an{,求得通项公式.(2)1SnSn1,n2bnn5,为等差数列,利用等差数列前n项和公式,求得Tn.【试题分析】∴数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，故an2n.∴数列an的通项公式为an2n.（2）∵bnlog2an，代入an2n化简得bnn5，明显bn是等差数列，32∴其前n项和Tnn4n5n29n22.例6【.2018届河北省武邑中学高三下期中】已知数列an的前n项和为Sn，且知足Sn4an1,nN*.3（1）求数列an的通项公式；5夜来风雨声（2）令bnlog2an，记数列1的前n项和为Tn，证明：11bn1bnTn.132【答案】（1）an4nnN*（2）看法析【分析】剖析：（1）利用项和公式求数列an的通项公式.（2）先求出bn，再裂项乞降，再证明不等式.详解：(1)当n1时，有a1S14a11，解得a14，3当n2时，有Sn14an11，则3aSS4an14an11nnn133整理得an4an1∴数列an是以q4为公比，以a14为首项的等比数列11122n1易知数列Tn为递加数列，∴T1Tn111，即Tn.232例7.【2018届河北省衡水金卷一模】已知数列的前项和为，且，.6夜来风雨声（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求.【答案】（1）（2）【分析】剖析：（1）由，获得即为常数列，从而获得数列的通项公式；（2），利用裂项相消法乞降.详解：（1）由，得，例8.已知数列an的各项均为正数，且Sn1an1，求an.2annn1,n2【答案】an11,n【分析】思路：所给为Sn,an的关系，先会想到转为an递推公式，S1an11n2，两式相n12an17夜来风雨声减可得：2anan1an11anan111anan1an，很难再往下进行.从而考虑化为Sn的递推式：an1n2时，S1SS1S2S211，从而Sn2为公差是1的等差数列，可求出S，n2nn1SnSn1nnn从而求出an解：Sn1an1，当n2，有Sn1SnSn112an2SnSn12SSnSn11SnSn11SnSn1SnSn1点睛：在办理Sn,an的式子时，两种办理方向假如一个没有进展，则马上试试另一个方向.此题固然表面来看消去Sn方便，但经过运算发现递推公式没法再进行办理.因此马上调转方向，去获得Sn的式子，迂回一下再求出an.例9.【2018届福建省龙岩市4月 检测 工程第三方检测合同工程防雷检测合同植筋拉拔检测方案传感器技术课后答案检测机构通用要求培训 】已知数列的前项和是，且.（1）若，求的通项公式；（2）在（1）的条件下，求数列的前项和.8夜来风雨声【答案】(1)看法析;(2).【分析】剖析：（1）由，得，整理得，因此是一个公差为2的等差数列，可得，由可得结果；（2）由（1）可知，，利用裂项相消法可得数列的前项和.详解：（1）当时，，即，整理得，因此因此是一个公差为2的等差数列，因此（2）由（1）可知，，因此．点睛：此题主要考察等差数列的定义、公式的应用以及裂项相消法乞降，属于难题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表9夜来风雨声达式；（3）查验的值能否知足（2）中的表达式，若不知足则分段表示；（4）写出的完好表达式.例10.【2018届天津市十二校二模联考】已知数列的前项和知足：，（为常数，，）.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值；（Ⅲ）在知足条件（Ⅱ）的情况下，.若数列的前项和为，且对随意满足，务实数的取值范围.【答案】(1);(2);(3).【分析】剖析：（1）可得，两式相减，可化为且，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，从而可得结果；(2)算出数列的前三项，利用等比中项的性质列方程，可求得的值；(3)由，利用裂项相消法即可求得，于是，从而可得结果.（2）由得，10夜来风雨声由于数列为等比数列，因此，解得.由（2）知因此，因此，解得.【优选精练】1．【2018届浙江省宁波市5月模拟】记为数列的前项和．“随意正整数，均有”是“为递加数列”的A.充分不用要条件B.必需不充分条件C.充要条件D.既不充分也不用要条件【答案】A∴“an＞0”是“数列{Sn}是递加数列”的不用要条件．∴“an＞0”是“数列{Sn}是递加数列”的充分不用要条件．故答案为：A．11夜来风雨声点睛： 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 一个命题是真命题，一定证明才谨慎.要说明一个命题是一个假命题，只需举一个反例即可.2．【2018届福建省三明市5月检测】若为数列的前项和，且，则等于()A.B.C.D.【答案】C【分析】剖析：由题意第一求得数列的通项公式，而后联合通项公式求解前n项和即可.详解：当时，，据此可得：，点睛：给出与的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转变为an的递推关系，再求其通项公式；二是转变为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.3．【2018届辽宁省丹东市测试二】设为数列的前项和，若，则A.93B.62C.45D.21【答案】A【分析】剖析：依据与的关系求得数列的通项公式，而后再求出即可．详解：∵，∴，∴，整理得，又，解得．12夜来风雨声∴数列是首项为3，公比为2的等比数列，∴．应选A．点睛：已知与的关系解题时，要注意联系与的纽带：，运用这一关系时要注意使用的前提是，对于的情况要进行查验，看能否知足一般的规律．4．【2018届河南省南阳市第一中学第十四次考】已知数列的前项和为，，且，则全部知足条件的数列中，的最大值为（）A.3B.6C.9D.12【答案】B【分析】当时，，即，当时，获得最大值，当时，获得最小值为，因此当时，获得最大值，对应获得最大值为，应选B.点睛：此题主要考察数列的递推关系，等差数列与等比数列的通项公式及不等式及其应用，同时考察推理论证能力、剖析问题和解决问题的能力，属于难题．解答中利用数列的递推关系式，化简获得数列从第三项开始，每一项为哪一项由前一项加1或乘以获得时解得重点.5．【2018届广东省模拟二】已知数列的前项和为，，且知足13夜来风雨声，已知，，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【分析】剖析：第一对题中所给的数列的递推公式进行变形，整理得出数列为等差数列，确立首项和公差，从而获得新数列的通项公式，接着获得的通项公式，利用其通项公式，能够得出哪些项是正的，哪些项是负的，哪些项等于零，从而能够判断出在什么状况下获得最小值，并求出最小值的结果.详解：依据题意可知，式子的每一项都除以，可得，即，点睛：该题考察的是数列的相关问题，需要对题中所给的递推公式变形，结构出新的等差数列，从而借助于等差数列求出的通项公式，而题中要求的的值表示的是连续若干项的和，依据通项公式判断出项的符号，从而确立出哪些项，最后求得结果.6．【2018届河北省衡水金卷二】已知数列的前项和为，，则（）A.B.C.D.【答案】C【分析】由于①，因此当时，②，由①②得，14夜来风雨声即，即，又当时，，因此，切合上式，因此数列是首项为3，公比为3的等比数列，因此，因此，应选C.7．【2018届河南省南阳市第一中学第十五次考】已知数列的前项和为，，若数列是公差为2的等差数列，则数列的通项公式为__________．【答案】【分析】剖析：由，求得数列是公差的等差数列，再求得，，则，得，因此数列的通项公式为.点睛：此题考察了等差数列的前项公式以及等差数列的通项公式的应用，在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个办理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有必定量的运算,但思路简短,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻表现有时常常采纳“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.8.【2018届新疆乌鲁木齐市三诊】设正项数列的前项和为，，，则__________．15夜来风雨声【答案】【分析】剖析：将与已知等式相联合化简可得，利用累加乞降方法可得最后结果.详解：∵，，∴，∴，，∴，故答案为.9．【2018届湖南省株洲市检测二】已知数列的前项和为，且知足，数列满足，则数列中第__________项最小．【答案】4从而获得数列为等差数列，首项为1，公差为1．数列知足时，时也建立．16夜来风雨声则数列中第4项最小．即答案为4.10．【2018届山西省太原市3月模拟】已知数列知足，为数列的前项和，则的值为__________．【答案】201611．【2018届福建省南平市5月检测】设为数列的前项和，已知，，．（Ⅰ）求证：是等差数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）看法析;（Ⅱ）.【分析】剖析：（Ⅰ）当时，，带入可得：，从而得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，从而得，，利用错位相减即可得解.详解：（Ⅰ）证：当时，，代入已知得，，因此，由于，因此，17夜来风雨声因此，故是等差数列；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知是以1为首项，1为公差的等差数列，因此从而，当时，点睛：弄清错位相减法的合用条件及解题格式是重点，在应用错位相减法乞降时，必定要抓住数列的特色，即数列的项能够看作是由一个等差数列和一个公比不为1的等比数列对应项相乘所得，所谓“错位”就是找“同类项”相减．12．【2018届福建省莆田市第二次检测】已知正项数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，公比为（），且，，成等差数列．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】(1)；(2).【分析】剖析：第一问第一将代入题中所给的式子，求得，以后类比着写出时对应的式子，两式相减求得，从而确立出数列是首项为3，公差为2的等差数列，进一步求得其通项公18夜来风雨声式；第二问利用题中条件求得其公比，借助其首项，利用等比数列求得其通项公式，以后察看是由一个等差数列和一个等比数列对应项积所组成的新数列，利用错位相减法乞降即可.详解：（1）当时，，即，由于，因此，因此，即，因此，又由于，因此，因此，则，，①则，②由①②得，因此．点睛：该题考察的是相关数列的问题，波及到的 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 有等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、数列的项与和的关系以及错位相减法乞降，在解题的过程中，需要对基础知识坚固掌握，再者就是依据题的19夜来风雨声条件，对所求出的量进行弃取，最后在乞降时，最后对应的那个等比数列必定要明确项数.20