教案函数基本性质题型讲解

函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 的基本性质1.增函数与减函数定义：对于函数fx的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x,x.12（1）若当xx时，都有fxfx,则说fx在这个区间D上是增函数；1212（2）若当xx时，都有fxfx,则说fx在这个区间D上是减函数.1212注意区间可以使定义域也可以是定义域的某个区间；x,x的任意性；12增函数y随x的增大而增大，呈上升趋势；减函数y随x的减小而减小，呈下降趋势.2.增函数与减函数形式的等价变形①f(x)在区间M上是增函数x,xM,当xx时有f(x)f(x)；121212②f(x)在区间M上是减函数x,xM,当xx时有f(x)f(x)；121212设x,xa,b,xx那么1212f(x)f(x)(xx)f(x)f(x)0120f(x)在a,b上是增函数；1212xx12f(x)f(x)(xx)f(x)f(x)0120f(x)在a,b上是减函数.1212xx123.单调性与单调区间的定义如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性（区间M称为单调区间）注意单调区间之间不能用并的符号只能用逗号隔开.4.单调函数的运算性质若fx，gx在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：(1)fx与fxC具有相同的单调性；(2)fx与afx，当a0时，具有相同的单调性，当a0时，具有相反的单调性；1(3)当fx恒不等于零时，fx与具有相反的单调性；fx(4)当fx，gx都是增（减）函数时，fxgx都是增（减）函数；5.复合函数的单调性：同增异减6.函数的最大（小）值的定义一般地，设函数yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有fxM；存在xI，使得fxM.00那么，我们称M是函数yfx的最大（小）值.注意（1）M首先是一个函数值，他是值域的一个元素；（2）对于定义域内的每一个元素都满足fxM；（3）这两条缺一不可.7.奇偶性的定义奇函数：一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x).偶函数：一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x).奇偶性：如果函数fx时奇函数或偶函数，那么就说函数fx具有奇偶性.注意⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；．．．．．⑵f(x)是奇函数f(x)f(x)；f(x)是偶函数f(x)f(x)；⑶奇函数f(x)在0处有定义，则f(0)0；（4）奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称；（5）在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性.8.函数奇偶性的性质（1）两个奇函数的和仍为奇函数；（2）两个偶函数的和仍为偶函数；（3）两个奇函数的积是偶函数；（4）两个偶函数的积是偶函数；（5）一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.9.复合函数的奇偶性若函数gx，fx，fgx的定义域都是关于原点对称的，则ugx，yfu都是奇函数时，yfgx是奇函数；ugx，yfu都是偶函数，或者一奇一偶时，yfgx是偶函数．类型一用定义证明函数的单调性例1用定义证明fx2x1在定义域内为增函数.k例2讨论fxx在其定义域上的单调性.xxa例3设函数fxab0，求fx的单调区间，并证明fx在其单调区间上的单调性.xb类型二运用单调函数的运算性质判断函数的单调性例1已知yfx与ygx均为增函数，判断下列函数在公共定义域内的增减性.（1）y2fx（2）yfx2gx例2判断下列函数在其定义域内的单调性.xa（1）yx3x（2）yab0xb类型三复合函数的单调性例1函数f(x)x22x3的单调递增区间是_______.1例2函数f(x)的单调递增区间是.x22x2类型四利用函数的单调性求参数的取值范围0,例1若函数fxaxb2在上为增函数，则实数a,b的取值范围.例2函数fxax23a1xa2在1,上是增函数，求实数a的取值范围．ax1例3函数f(x)在区间（-2，+∞）上是增函数，求a的取值范围.x2x24x,x0例4已知函数fx若f2a2fa，则实数a的取值范围.4xx2,x0.类型五利用函数的单调性求最值例1（1）求函数yxx1的最小值；3（2）函数fx在区间1,5上的最值；2x11,x1（3）函数fxx的最大值.x22,x1例2（1）函数yx26x9在区间a,bab3上有最大值9，最小值-7，求a,b的值.1（2）已知A1,bb1,对于函数fxx121，若fx的定义域和值域都为A，求b的值.2x2（3）已知函数f(x)x在区间[m,n]上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值.2（4）已知函数yx22x3在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2，求m的取值范围.31111例3（1）已知函数fxaxx2的最大值不大于，又当x,时，fx，求a的值.26428（2）已知函数f(x)ax22ax1在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值.3（3）已知二次函数f(x)ax2(2a1)x1在区间,2上的最大值为3，求实数a的值.2x22xax1,例4已知函数fx，.x1(1)当a时，求函数fx的最小值；2x1,(2)若对任意，fx0恒成立，试求a的取值范围.类型六函数的单调性解不等式例1定义在1,4上的函数fx为减函数，求满足不等式f12af4a20的a的值的集合x21,x0例2已知函数fx求满足不等式f1xf2x的x的取值范围.1,x00,例3奇函数fx的定义域为R,且在上为增函数，问：是否存在m使f2t24f4m2tf0对任意t0,1均成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.类型七奇偶函数的判断例1．判断下列各函数的奇偶性：1x1x2x2x(x0)（1）f(x)(x1)；（2）fx；（3）f(x)．1xx22x2x(x0)例2（1）若fxxax4为偶函数，求实数a的值.（2）若函数fxax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1,2a.求a,b的值；求函数fx在其定义域上的最大值.axb12例3函数fx是定义在1,1上的奇函数，且f.1x225（1）确定函数fx的解析式；（2）用定义证明fx在1,1上是增函数；解不等式ft1ft0例4设a为实数，函数f(x)x2|xa|1，xR．（1）讨论f(x)的奇偶性；（2）求f(x)的最小值．类型八利用函数的奇偶性求函数的解析式例1（1）已知函数f(x)是偶函数，且当x0时有fxx1x，求f(x)的解析式.（2）已知f(x)是R上的奇函数，且当x(0,)时，f(x)x(13x)，求f(x)的解析式.1例2设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)g(x),试求f(x)和g(x)的解析式x1类型九单调性与奇偶函数的综合运用2例1已知函数fx对任意x,yR,总有fxfyfxy，且当x0时,fx0,f1.3（1）判断函数的奇偶性；（2）求证：fx是R上的减函数；（3）求fx在3,3上的最大值和最小值.例2已知定义在,00,上的函数fx满足：对任意x,y,00,，fxyfxfy；当x1时fx0，且f21.（1）试判断函数fx的奇偶性；（2）判断函数fx在0,上的单调性；（3）求不等式f3x2fx4的解集.例3已知函数fx是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的x,y都满足fxfyfxy.（1）求f0的值，并证明对任意的xR，都有fx0；（2）设当x0时，都有fxf0，证明：fx在,上是减函数.1例4已知函数fx在1,1上有定义，f1,当且仅当0x1时fx0且对任意x,y1,12xy都有fxfyf,试证明：1xy(1)证明fx为奇函数；(2)fx在1,1上单调递减.作业1下列函数中，在区间,0上单调递增，且在区间0,上单调递减的函数为（）11A.yB.yx2xC.yx2D.yx32下列函数中，在区间0,2上为增函数的是（）A.yx1B.yx2C.yx24x5D.yx3用定义证明fxx22x3在0,上为增函数.4.证明函数fxx在定义域上是减函数.125.判断函数y1的单调性.x2x3ax6.已知函数fxa1.a1（1）若a0，求fx的定义域；（2）若fx在区间0,1上是减函数，求实数a的取值范围.x22xa7.已知函数fx,x1,.x（1）当a4时，求fx的最小值.1（2）当a时，求fx的最小值.2（3）若a为正常数，求fx的最小值.8.已知函数fxx22x3.（1）当x2,0时，求fx的最值；（2）当x2,3时，求fx的最值；（3）当xt,t1时，求fx的最值.9.求f(x)x22ax1在区间[-1,2]上的最大值.ax10.试讨论函数fx,x1,1的单调性（其中a0）x2111..判断下列各函数的奇偶性：x2(x1),2x（1）fxx2；（2）fx0(|x|1),2xx2(x1）.2xb12.已知定义域为R的函数f(x)是奇函数.2x1a（1）求a,b的值；（2）解不等式f2m8fm2;（3）若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围.13.函数fx对任意的a,bR，都有fabfafb1，并且当x0时，fx1.fxR（1）求证：是上的增函数；（2）若f45,解不等式f3m2m23.14.已知定义在0,上的函数fx对任意x,y0,，恒有fxyfxfy，且当0x1时fx0.判断fx在0,上的单调性.15.若函数fx4x2kx8在5,8上是单调函数，求k的取值范围.16.已知函数fxx22ax5a1，若fx的定义域和值域均为1,a，求实数a的值.