第PAGE页6 直线和圆的位置关系第1课时 直线和圆的位置关系关键问答①判断直线与圆的位置关系的步骤是什么？②直线与圆的公共点的个数和直线与圆的位置关系是怎样对应的？1.①⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，那么能反映直线l与⊙O的位置关系的图形是( ) A B C D图3－6－12．直线l与半径为r的圆O相离，且点O到直线l的距离为6，那么r的取值范围是( )A．0
6D．r≥63.②圆的直径为8cm，如果圆心到直线的距离为4cm，那么直线与圆有________个公共点．命题点1 直线和圆的位置关系的判定 [热度：94%]4.③等腰三角形的腰长为6cm，底边长为4cm，以等腰三角形顶角的顶点为圆心，5cm为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是( )A．相离B．相切C．相交D．不能确定
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点拨③判断直线与圆的位置关系，可通过比拟圆心到直线的距离与圆的半径的大小来得到结论.5．在平面直角坐标系中，以点(2，3)为圆心，2为半径的圆必定( )A．与x轴相离，与y轴相切B．与x轴、y轴都相离C．与x轴相切，与y轴相离D．与x轴、y轴都相切6.④⊙O的面积为64πcm2，它的一条弦AB的长为8eq\r(3)cm，那么以8cm为直径的同心圆与AB的位置关系是________．解题突破④建立直角三角形模型，借助勾股定理计算圆心到弦的距离.7．⑤如图3－6－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC≠BC，点M是边AC上的动点．过点M作MN∥AB交BC于点N，现将△MNC沿MN折叠，得到△MNP.假设点P在AB上，那么以MN为直径的圆与直线AB的位置关系是________．图3－6－2知识链接⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．8.⑥设⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离OP＝m，且m使得关于x的方程2x2－2eq\r(2)x＋m－1＝0有实数根，那么直线l与⊙O的位置关系为________．易错警示⑥一元二次方程有实数根，那么Δ＝b2－4ac≥0，而不是Δ＝b2－4ac>0.命题点2 利用直线和圆的位置关系进行相关计算 [热度：96%]9.⑦如图3－6－3，⊙O的圆心O到直线l的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线l向右(垂直于l的方向)平移，使l与⊙O相切，那么平移的距离为( )图3－6－3A．1cmB．2cmC．4cmD．2cm或4cm易错警示⑦直线l向右平移时，会与圆在圆的左边相切或在圆的右边相切，有两种情况.10．以点P(1，2)为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，那么r应满足( )A．r＝2或r＝eq\r(5)B．r＝2C．r＝eq\r(5)D．2≤r≤eq\r(5)11．如图3－6－4，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2＝6，假设⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现( )图3－6－4A．3次B．4次C．5次D．6次12．如图3－6－5，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的圆心坐标是(2，a)(a＞0)，半径是2，它与y轴相切于点C，直线y＝x被⊙P截得的弦AB的长为2eq\r(3)，那么a的值是( )图3－6－5A．2eq\r(2)B．2＋eq\r(2)C．2eq\r(3)D．2＋eq\r(3)13．如图3－6－6，CA⊥AB，DB⊥AB，AC＝2，AB＝6，P是射线BD上一动点，以CP为直径作⊙O，当点P运动时，假设⊙O与线段AB有公共点，那么BP长的最大值为________．图3－6－614.如图3－6－7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BCO在边CA上移动，且⊙O的半径为2.(1)⑧⑨假设圆心O与点C重合，那么⊙O与直线AB有怎样的位置关系？(2)当OC的长为多少时，⊙O与直线AB相切？图3－6－7解题突破⑧过点C作CM⊥AB于点M，比拟CM与r的大小关系可得直线AB与⊙O的位置关系．模型建立⑨由面积法可得，直角三角形两直角边长的乘积等于斜边长和斜边上的高的乘积.15.⑩如图3－6－8，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(4，3)，⊙A的半径为2，过点A作直线m∥x轴，点P在直线m上运动，假设点P的横坐标为12，试猜测直线OP与⊙A的位置关系，并证明你的猜测．图3－6－8解题突破⑩建立相似三角形模型，借助比例式计算圆心到直线的距离.16.⑪如图3－6－9，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点O在AB上，AO＝x，且⊙O的半径为1.当x在什么范围内取值时，直线AC与⊙O相离、相切、相交？图3－6－9解题突破⑪根据圆与直线的位置关系建立方程或不等式，进而确定x的值或取值范围.17.⑫点P(x0，y0)和直线y＝kx＋b，那么点P到直线y＝kx＋b的距离d可用公式d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(1＋k2))计算．例如：求点P(－1，2)到直线y＝3x＋7的距离．解：因为直线y＝3x＋7，其中k＝3，b＝7，所以点P(－1，2)到直线y＝3x＋7的距离为：d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(1＋k2))＝eq\f(|3×〔－1〕－2＋7|,\r(1＋32))＝eq\f(2,\r(10))＝eq\f(\r(10),5).根据以上材料，解答以下问题：(1)求点P(1，－1)到直线y＝x－1的距离；(2)⊙Q的圆心Q的坐标为(0，5)，半径r为2，判断⊙Q与直线y＝eq\r(3)x＋9的位置关系，并说明理由．解题突破⑫你能借助公式d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(1＋k2))计算圆心到直线的距离吗？18．如图3－6－10所示，P为正比例函数y＝eq\f(3,2)x的图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为(x，y)．(1)⑬求当⊙P与直线x＝2相切时，点P的坐标；(2)请直接写出⊙P与直线x＝2相交、相离时，x的取值范围；(3)⑭求当原点O在⊙P上时，圆心P的坐标．图3－6－10解题突破⑬当点P在直线x＝2的左侧且⊙P与直线x＝2相切时，点P的横坐标是多少？当点P在直线x＝2的右侧且⊙P与直线x＝2相切时呢？解题突破⑭当原点O在⊙P上时，OP＝3，根据勾股定理可求得点P的坐标．详解详析1．B 2.A4.A [解析]如图，在等腰三角形ABC中，作AD⊥BC于点D，那么BD＝CD＝eq\f(1,2)BC＝2，∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(62－22)＝4eq\r(2)＞5，即d＞r，∴该圆与底边的位置关系是相离．应选A.5．A [解析]∵点(2，3)到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，∴这个圆与x轴相离，与y轴相切．应选A.6．相切 [解析]如图，作OH⊥AB，连接OA，∴AH＝BH＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8eq\r(3)＝4eq\r(3)cm.∵⊙O的面积为64πcm2，∴⊙O的半径OA＝8cm.在Rt△OHA中，OH＝eq\r(OA2－AH2)＝4cm，∴以8cm为直径的同心圆与AB相切．7．相交 [解析]如图，连接PC交MN于点D，取MN的中点O，连接OP.由题意知PD＜OP，∴圆心O到直线AB的距离小于⊙O的半径，∴以MN为直径的圆与直线AB相交．8．相切或相交 [解析]因为关于x的方程2x2－2eq\r(2)x＋m－1＝0有实数根，所以Δ＝b2－4ac≥0，即8－4×2×(m－1)≥0，解这个不等式得m≤⊙O的半径为2，所以直线l与⊙O相切或相交．9．D [解析]∵圆心O到直线l的距离为3cm，半径为1cm，∴当直线l与圆在圆的左边相切时，平移的距离为3－1＝2(cm)；当直线l与圆在圆的右边相切时，平移的距离为3＋1＝4(cm)．应选D.10．A [解析]∵以点P(1，2)为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，∴⊙P与x轴相切(如图①)或⊙P过原点(如图②)．当⊙P与x轴相切时，r＝2；当⊙P过原点时，r＝OP＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).∴r应满足r＝2或r＝eq\r(5).应选A.11．B [解析]当⊙O2与AD相切且位于AD上方时，有一个交点；当⊙O2与AD相切且位于AD下方时，有一个交点；⊙O2与BC的交点情况和⊙O2与AD的交点情况相同，所以共有4次．应选B.12．B [解析]过点P作PE⊥AB于点E，作PF⊥x轴于点F，交AB于点D，连接PB.∵AB＝2eq\r(3)，∴BE＝eq\r(3)，而PB＝2，∴PE＝eq\r(PB2－BE2)＝1.∵点D在直线y＝x上，∴∠AOF＝45°.∵∠DFO＝90°，∴∠ODF＝45°，∴∠PDE＝∠ODF＝45°，∴∠DPE＝∠PDE＝45°，∴DE＝PE＝1，∴PD＝eq\r(2).∵⊙P的圆心坐标是(2，a)，∴点D的横坐标为2，即OF＝2，∴DF＝OF＝2，∴a＝DF＋PD＝2＋eq\r(2).应选B.13.eq\f(9,2) [解析]当AB与⊙O相切时，PB长的值最大，如图，设AB与⊙O相切于点E，连接OE，那么OE⊥⊥PB于点F.∵CA⊥AB，PB⊥AB，∴AC∥OE∥PB，四边形ABFC是矩形，∴CF＝AB＝6.∵CO＝OP，∴AE＝BE.设PB＝x，那么PC＝2OE＝x＋2，PF＝x－2，∴(x＋2)2＝(x－2)2＋62，解得x＝eq\f(9,2)，∴BP长的最大值为eq\f(9,2).14．解：(1)如图，过点C作CM⊥AB，垂足为M，在Rt△ABC中，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(32＋42)＝5.∵eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)AB·CM，∴CM＝eq\f(12,5).∵eq\f(12,5)＞2，∴⊙O与直线AB相离．(2)如图，设⊙O与AB相切，切点为N，连接ON，那么ON⊥AB，∴ON∥CM，∴△AON∽△ACM，∴eq\f(AO,AC)＝eq\f(ON,CM).设OC＝x，那么AO＝3－x，∴eq\f(3－x,3)＝eq\f(2,\f(12,5))，∴x＝eq\f(1,2)，∴当OC的长为eq\f(1,2)时，⊙O与直线AB相切．15．解：直线OP与⊙A相交．证明：如图，设直线m与y轴交于点B，由A(4，3)，点P的横坐标为12，得PA＝PB－AB＝12－4＝8，OB＝3，在Rt△OBP中，OB＝3，BP＝12.根据勾股定理，得OP＝eq\r(OB2＋BP2)＝eq\r(153).连接OP，过点A作AD⊥OP于点D，那么∠ADP＝90°.∵∠PBO＝90°，∴∠ADP＝∠PBO.又∵∠APD＝∠OPB，∴△PAD∽△POB，∴eq\f(PA,OP)＝eq\f(AD,OB)，即eq\f(8,\r(153))＝eq\f(AD,3)，解得AD＝eq\f(24\r(153),153)≈1.9＜2＝r，∴直线OP与⊙A相交．16．解：作OD⊥AC于点D，∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°.∵AO＝x，∴OD＝eq\f(1,2)x.(1)假设⊙O与直线AC相离，那么OD>r，即eq\f(1,2)x＞1，解得x＞2；(2)假设⊙O与直线AC相切，那么OD＝r，即eq\f(1,2)x＝1，解得x＝2；(3)假设⊙O与直线AC相交，那么OD
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