3.7 正多边形

3.7正多边形第PAGE页3.7正多边形各边相等、各个内角也相等的多边形叫做正多边形，任何正多边形都有一个外接圆．1.正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，那么⊙O的半径是(B).A.C.〔第1题〕(第3题)(第4题)2.以下圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的是(A).3.如下图，边长为a的正六边形内有两个斜边长为a,有一个角是60°的直角三角形，那么的值为(C).4.如下图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，那么△BCF的面积为(C).5.如下图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，那么∠BAD=72°．(第5题)(第6题)(第7题)6.如下图，假设干全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需7个五边形．7.如下图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，那么该正八边形的面积为40cm2．8.如下图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在正六边形内作正方形ABMN，连结MC.求∠BCM的大小．(第8题)【答案】∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠ABC=120°，AB=BC.∵四边形ABMN为正方形，∴∠ABM=90°，AB=BM.∴∠MBC=120°-90°=30°，BM=BC.∴∠BCM=∠BMC=75°.9.如下图，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB，BC上的点，且BM=CN，连结OM，ON．(1)求图1中∠MON的度数．(2)图2中∠MON的度数为90°，图3中∠MON的度数为72°．(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)．(第9题)【答案】(1)连结OB，OC.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∵OC=OB，点O是外接圆的圆心，∴BO平分∠ABC,CO平分∠ACB.∴∠OBM=∠OCN=30°.∵BM=CN，OC=OB，∴△OMB≌△ONC.∴∠BOM=∠NOC.∴∠MON=∠BOC.∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°.∴∠MON=120°.(2)90°72°(3)∠MON=.丽、科学.如下图为由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上.设定AB边如下图，假设△ABC是直角三角形，那么这样的三角形有(D).个个个个(第10题)(第12题)(第13题)径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，那么该三角形的面积是(A).A.B.C.D.【解析】如答图1所示，∵OC=2，∴OD=1.图1图2图3〔第11题答图〕如答图2所示，∵OB=2，∴OE=.如答图3所示，∵OA=2，∴OD=.∴该三角形的三边分别为1，，.∵(1)2+()2=()2，∴该三角形是直角三角形.∴该三角形的面积是×1×=.应选A.12.如下图，平面上有两个全等的正十边形，其中点A与点A′重合，点C与点C′重合.那么∠BAJ′的度数为108°．13.如下图，正六边形ABCDEF的边长为23，延长BA，EF交于点为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，那么直线DF与直线AE的交点坐标是(2，4)．14.如下图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．(1)在剩余的顶点B，C，D，E，F，H中，连结两个顶点，使连结的线段与AG平行，并说明理由．(2)两边延长AB，CD，EF，GH，使延长线分别交于点P，Q，M，N，假设AB=2，求四边形PQMN的面积．(第14题)〔第14题答图〕【答案】(1)如答图所示，连结BF，BF∥AG.理由如下：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴它的内角都为135°.∵HA=HG，∴∠1=22.5°.∴∠2=135°-∠1=112.5°.∵正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，∴∠3=×135°=67.5°.∴∠2+∠3=180°.∴BF∥AG.(2)由题意可知∠PHA=∠PAH=45°，∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°.∴四边形PQMN是矩形.∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，∴△PAH≌△QCB≌△MED.∴PA=QB=QC=MD.∴PQ=QM.∴四边形PQMN是正方形.在Rt△PAH中，∵PA=PH,AH=AB=2，∴PA=.∴PQ=PA+AB+BQ=+2+=2+2.∴S四边形PQMN=(2+2)2=12+8.图1所示，在正五边形ABCDE中.(1)AC与BE相交于点P，求证：四边形PEDC为菱形.(2)延长CD，AE交于点M，连结BM交CE于点N，如图2所示，求证：CN=EP.图1图2〔第15题〕〔第15题答图〕【答案】(1)∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCD=∠BAE=108°，CD＝DE＝BC＝AB=AE.证AC∥DE，∴四边形PEDC是平行四边形.又CD=DE，∴四边形PEDC是菱形.(2)如答图所示，连结AN.由(1)知四边形PEDC是平行四边形.∴∠ACE＝∠PEC＝∠ACD＝36°.∵∠MCA=∠MAC=72°，∴MC=MA.∵BC=BA，∴BM垂直平分线段AC.∴NC=NA.∴∠NCA=∠NAC=36°.易知∠PAE=∠NEA=72°，∴∠PEA=∠NAE=36°.∵AE=EA，∴△PAE≌△NEA.∴PE＝AN.∴CN=PE.16.【河北】正方形MNOK和正六边形ABCDEF的边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如下图，按以下步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转……在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间的距离可能是(C).【解析】如答图所示，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的粗实线，观察图象可知点B，M间的距离d的取值范围是2-≤d≤1.应选C.〔第16题〕〔第16题答图〕〔第17题〕17.【威海】如下图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，那么⊙O的内接正三角形EFG的边长为2.18.(1)如图1所示，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点P为上一动点，求证：PA=PB+PC．(2)如图2所示，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为上一动点，求证：PA=PC+PB．(3)如图3所示，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，并给予证明．〔第18题〕图1图2图3〔第18题答图〕【答案】(1)如答图1所示,延长BP至点E，使PE=PC，连结CE.∵A，B，P，C四点共圆，∴∠BAC+∠BPC=180°.∵∠BPC+∠EPC=180°，∴∠BAC=∠EPC=60°.∵PE=PC,∴△PCE是等边三角形.∴CE=PC，∠ECP=60°.∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，∴∠BCE=∠ACP.∵△ABC，△ECP为等边三角形，∴CE=PC，BC=AC.∴△BEC≌△APC.∴PA=BE=PB+PC.(2)如答图2所示，过点B作BE⊥PB交PA于点E.∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3.∵∠APB=45°,∴BP=BE，PE=PB.∵AB=BC，∴△ABE≌△CBP.∴PC=AE.∴PA=AE+PE=PC+PB.(3)PA=PC+PB.证明：如答图3所示，过点B作BM⊥AP于点M，在AP上截取AQ=PC，连结BQ.∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，∴△ABQ≌△CBP.∴BQ=BP.∴MP=QM.∵∠APB=30°，∴PM=PB.∴PQ=PB.∴PA=AQ+PQ=PC+PB.