导数计算公式

导数公式基本初等函数的导数公式已知函数：(1）ｙ＝f(x)＝c；(２）y=f(ｘ）=x;(3)y＝f(x)＝x2;(4）y＝ｆ（x)=ｅq\f(1,x）;(5)ｙ=f(x）=eｑ　\ｒ(x）．问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 :上述函数的导数是什么？提示：（１）∵eq\f（Δy,Δx)＝eq\f（fx+Δx－fｘ，Δx)＝ｅq\f(ｃ－c，Δx)＝0，∴ｙ′＝eq\ｏ(ｌｉｍ,＼s＼do９(Δx→０))ｅq\f(Δy，Δx)＝0。2)（ｘ）′=1,（３）(x2)′＝2x，(4)eq\b\lc\(\ｒc\）（\a\ｖs4\al\co1（\f(1，ｘ)）)′=－eq＼f（1,x2),(5)（ｅq\r(x))′=ｅq　\f(1，2\ｒ(x)）.函数（2)（3）（5)均可表示为ｙ＝xα(α∈Q*)的形式,其导数有何规律?提示：∵(2)(x)′=１·x1-1，（3）(x2）′＝2·ｘ2-1,（5）(eq\r（x))′＝（x)′＝eq\ｆ(１,2）x=eq\f（1，2\r(x)）,∴(xα)′＝αｘα-1。基本初等函数的导数公式原函数导函数f（x)＝c(c为常数）ｆ′(ｘ)=0f（ｘ）=xα（α∈Q*）ｆ′(x）＝αxα-1f（x)＝sin xf′（x)=cosxf(ｘ）＝coｓ xf′(x）=－siｎ　xf（x)＝aｘf′(x）=axlnaf（x)＝eｘf′(x)=exf（x）＝logａxf′(x）=eq\ｆ(1，xln　a）f（x）=lｎｘｆ′（x)＝eq　\f(1，x)导数运算法则已知ｆ(x)=ｘ,g（ｘ）＝ｅq＼f（1,ｘ）。问题1:f(x),g(x）的导数分别是什么？问题2：试求Q(x）＝x＋eq\f（１,x),Ｈ（x）＝x-eq＼f（１，x）的导数.提示：∵Δｙ=（x＋Δx）＋eq\f(１,ｘ＋Δx)－eq＼b＼lc＼（\rc\)（\a\vs４\aｌ\ｃｏ1(x+＼f(1，x))）=Δx＋eｑ＼f（-Δx,xｘ＋Δx），∴ｅq＼f(Δy,Δx）＝１-eq＼f（1,xx+Δx)，∴Ｑ′(x)=eq\a＼vs4\ａｌ(\ｏ(lim,\s\do9（Δx→0)）)ｅq\f(Δｙ,Δx)=ｅｑ　\a\ｖs4＼aｌ(＼o(lim,\s\ｄo９(Δx→0))）ｅq　\b＼lｃ\［＼rｃ\］（\a＼vs4\aｌ\co1（１-＼f(1，ｘx+Δｘ)))＝１－ｅq\f（1,x2)。同理H′(x)=1＋eq\ｆ(1，ｘ2)。问题3：Q（x）,H(x)的导数与f(ｘ)，g(ｘ)的导数有何关系?提示：Q（x）的导数等于f（x）,g(x）导数的和,Ｈ(ｘ)的导数等于f(x）,g(x)导数的差．导数运算法则1．[ｆ(ｘ）±g(x）]′=ｆ′(x)±ｇ′(x)2．[f(x）·ｇ（x)]′＝f′（x）g（x)＋ｆ(x)g′（x)3.eq\b＼lc\[＼rｃ\](\ａ＼vｓ4\ａl\cｏ1（\f（fx，gx）））′＝eq\f(f′xｇx－fxg′x，［gx]2)（g(x)≠0）题型一利用导数公式直接求导［例１]求下列函数的导数：(1)ｙ＝10x；(2)y=lgｘ;(3）；（4)y=eq　\r（4,x3)；（5）。[解］　(1)y′=(10x)′＝10xｌn　1０;(2)y′＝(lｇx)′=ｅｑ\f（1，xln10);y′＝ｅq　＼f(1,xｌｎ＼f(1，2))＝-ｅq\f（1，ｘln2）;(4)ｙ′=(eｑ　\r（4，x3))′＝eq＼f(3,4\r（4,x）)；（5)∵ｙ=ｅｑ＼ｂ\lｃ\(\ｒc\)(\ａ＼vs４\ａl\cｏ1（sin\f(x,２)+cｏs　\ｆ（x，2))）2-1＝sｉｎ２ｅq＼f(x,2)+２siｎeｑ＼f（x,2)ｃosｅｑ　\ｆ(x,2)+cos2ｅｑ\f(x,2)-1＝ｓｉnx,∴y′=(sｉn　x）′=cｏsx。练习求下列函数的导数：（１)y=ｅｑ　＼b\lc\(＼rc\)(\a\ｖs４＼ａl＼co1(＼f(1，e)））ｘ;(２)ｙ＝eq\b\lc\(\ｒc\)（\a\vs4\al\cｏ１(\ｆ(１,1０））)x;（3)y=ｌg5;（4)y=3lｇeq\r(３，x);(5）ｙ=2coｓ2eq　＼f（x,2）-１。解:(1）y′＝eq\b\ｌc\［\rc＼]（＼ａ\vｓ４＼ａl＼co1（\b\lｃ\(\rc\)(\a\ｖs4\aｌ＼co1(\f(1,e)）)x)）′=eｑ＼b\lc\（＼rｃ\)（\a＼vｓ４\aｌ\ｃｏ1(\f（１,ｅ)))ｘlneq＼f(1，e）=-eｑ\f(1，ex)＝－e-x;(2)y′=eｑ\ｂ\lc\[\rc\](＼a\ｖs４\al\co１(\b\lｃ\(＼rc\)(\a\vs4＼ａl＼ｃo1（＼f（1,10)））x)）′=eq　＼b\lc\(＼rｃ＼)(\a\vｓ4＼ａl＼co１(\f（1，10）))xｌneq＼f(１,１０）=eq\ｆ(-ｌn　10,10x）=-10－xｌn１0;（3)∵y＝lｇ5是常数函数，∴y′=(lg5)′=0;（4)∵y＝3lgeq\r(3,x)＝lgｘ,∴y′＝(lg　x)′=eｑ\f（1，ｘln10);(5)∵y=2cos2eq\f（ｘ,2）-1=ｃos　x,∴y′＝(ｃosx)′=-sinx。题型二利用导数的运算法则求函数的导数[例2］求下列函数的导数：（1)y=ｘ3·ｅｘ；（2）y=x-siｎeｑ\f(ｘ，2)cosｅｑ　\ｆ（x,2);（３）y＝x２+log3x;（4）y=ｅq＼f(ex＋1,ex－1)。[解]（1）y′＝(x3)′ｅｘ＋x3（ex）′=３ｘ2ex+x３ex＝ｘ2(3＋x）ex.(2)∵y=x－ｅq\f（1，2）ｓiｎx，∴y′＝ｘ′-eq\ｆ(1，2）(sinx)′＝1－eｑ\ｆ(１，2)ｃos　x.(3)y′=（x２＋ｌog3ｘ)′=(x2)′＋(ｌog3ｘ)′＝2x+ｅq\ｆ(1，xln　3)。（４）y′＝eq\ｆ(ex+1′ex-１－ｅx+１ｅｘ－1′,eｘ－1２)=ｅq\f（eｘex-1-ex＋1ex,ｅx-１2)=ｅq\f(-2ex，ex-12）。练习求下列函数的导数：(1）ｙ=eq＼ｆ（cｏsｘ,x）；（２)y＝xsin　ｘ+eq\r(ｘ);(3）ｙ=eq　\f(１＋\r（x），1-\r(x)）+eq＼f（1－\r（x)，1＋＼r（x）);(4）y＝lｇx-eq＼ｆ（１,ｘ2）。解:(1)y′＝ｅｑ\b\ｌｃ\（\ｒc＼）(＼ａ＼vs4\al＼co１(＼f（ｃｏsx，x）))′＝eq　\f（cos　x′·x－cｏsｘ·x′，x2）=eq\ｆ(-ｘ·ｓinx-ｃos　x,x２)=-eq\f（xsｉnｘ+ｃosx,x2)。(2）ｙ′＝(xｓiｎ　ｘ）′+(eq　\r(x))′=siｎ　ｘ＋xcos　x+ｅq\f(１,２\ｒ（x))。(3)∵ｙ＝ｅq　＼ｆ(1+\r(x)2,1－x）+eｑ＼f(1-\ｒ(x)2,1－ｘ）＝eq　\f（２+2x，1－x)=eq＼ｆ(4,1－x)－2，∴y′=eq\b\lｃ\(\rc\)（\a\vs4＼ａl\ｃo1（\f(４,１－x)-2）)′=ｅq　\f（-4１-x′,1-x2)=eｑ　\f(4，1－x2）。(4)y′=eｑ\b＼ｌc＼（＼ｒc\）(＼ａ\ｖs4\ａｌ＼co1(ｌgx－\f（1,x２）））′=（ｌg　ｘ)′-eq\b\lc＼(\rc\）（\a\vｓ4\aｌ\cｏ1(\f(1,x２）)）′＝eq\f(1，xlｎ　10）+eq\f(2,x3）。题型三导数几何意义的应用[例3](1)曲线y=-5ｅｘ+3在点（０,-2）处的切线方程为＿＿______．(2）在平面直角坐标系xOｙ中，点P在曲线C：ｙ＝x3-１0x+13上,且在第一象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为________．[解析]（1)y′＝－５eｘ,∴所求曲线的切线斜率k＝ｙ′|x=0=－5e0＝-5,∴切线方程为ｙ－(－2)=-5（x－0),即5ｘ+y＋2=０.(2)设点P的坐标为（x０，ｙ0）,因为y′=３x２-１0，所以3xeq\o\al（２,0）－１0=2，解得x0＝±２.又点P在第一象限内,所以x0＝2，又点P在曲线C上,所以y0=23-1０×2+13=1,所以点Ｐ的坐标为(2,1）．(1）5x+y+2＝０（２)（2,１)练习若曲线ｆ(x）=acoｓ　x与曲线ｇ(x)=x2+ｂｘ＋1在交点(0，m)处有公切线,则a+b＝____＿_＿_。解析:f′(x)＝－aｓin　ｘ,g′(x)=２ｘ+b,∵曲线f(x）=acoｓｘ与曲线g（x)＝x2＋bｘ＋１在交点(０,ｍ）处有公切线，∴f(０)=a＝g(０)=1，且f′(0）=０=g′(0）＝ｂ，∴a+b=1。答案：１eq　\ａ\vs4＼al(,,1．切线方程的求法)[典例］已知a∈R，函数ｆ(x)=x3-3ｘ２+3aｘ－3ａ+３,求曲线y=ｆ(x)在点(1,ｆ(1））处的切线方程.［解］由已知得f′（x)＝3x2－6ｘ+3a，故f′(1）=3－6+3a=3a-３,且f(1）＝1－3＋3a-３a+3＝1。故所求切线方程为y－１＝(３a－3）（x-１）,即３（a－1)x-y+4-３a=0。一、已知斜率，求切线方程．此类问题可以设出切点,利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程.例：求与直线ｘ+4ｙ＋１=0垂直的曲线f（x）=2x2－１的切线方程.解：所求切线与直线x＋４y+1=0垂直，所以所求切线的斜率k=４．设切点坐标为(x0，y0),则ｆ′（x０)=4x0＝4，即x０＝1。所以切点坐标为(1,１）.故所求切线方程为y－1＝４(x-1)，即４x-ｙ－３＝0。二、已知过曲线上一点,求切线方程.过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点,再利用该点在切线上来确定切点,进而求出切线方程.例:求过曲线ｆ(x)＝x3-2ｘ上的点(1,－1)的切线方程.解:设切点坐标为（x0,y0）,因为f′（ｘ)＝3ｘ2-2,所以f′(x０）=3xeq　＼o\aｌ（2,0)－2,且y0＝ｆ(x0)=xeq＼o\al（３,0）－２x0。所以切线方程为y-y0=（3xｅq＼o\al（２，0）-2)(x-x０）,即ｙ-(ｘeq＼o\ａl(3，０)-2x0）＝（３ｘeq\o\ａl（2，0）－2)(x-x０）.因为切线过点(1,-1），故-1-(xeｑ　\o\al(3,0)-2x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－２）·（1－x0）即２xeq\o＼al(3,0)-3xeq\o＼al(２，０)+1＝0，解得x０＝1或x0=-eq　\ｆ(1,2),故所求切线方程为x－ｙ-２＝0或5x＋４y－１=0。三、已知过曲线外一点，求切线方程．这一题型要设出切点,再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点,从而求出切线方程．例：已知函数f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线ｙ=f(ｘ)的切线,求切线方程.解：由题意知点Ａ（0,１6)不在曲线f（x）＝x3-3ｘ上,设切点坐标为M（x0,y0)．则ｆ′（x0)＝３ｘeｑ\ｏ\ａｌ(2，０)-3,故切线方程为ｙ-y0=3(xeq＼ｏ\al(2，0）－1）（x-ｘ0)．又点A（0,16)在切线上,所以1６－(xeq\o\al(3,０)-３ｘ0）＝3(xeｑ　\o＼al(2,０)－1)(0－ｘ0),化简得xeq　\o\ａｌ(3，０）=-８,解得ｘ０=-２,即切点为M(－2，－２)，故切线方程为9ｘ-y＋16=0.课后练习１．给出下列结论:①（cｏs　ｘ)′＝sin　x；　　②eｑ　\b\lc\(\rc＼）(\a\vs4＼al\co1(sｉn\f（π,3）))′＝coｓeq＼f(π，３);③若y=eｑ　\f(１，x2)，则y′＝-eq\ｆ(１，x);④eq　\b＼lc\（\ｒｃ\)（\a\vｓ4\al\ｃo１（-\f（1，\r(x)))）′＝eq\f(１,２x\ｒ(x））。其中正确的个数是（　）Ａ.0B.1Ｃ．２D．3解析:（ｃoｓ　ｘ)′=-ｓin　ｘ,所以①错误；sineｑ\f(π,3)=eq\ｆ(\r(3），2),而ｅq\ｂ＼lc\(＼rｃ\)(\a\vs4\al\co１(\f(＼ｒ（３)，2）)）′＝0,所以②错误；eq＼b\ｌc＼(\rｃ\）（\a＼vs４\aｌ＼co１（\f（１，x2）))′＝eq＼f(０-x2′,x４)＝eｑ＼f(－2x,ｘ4)＝－2x-3,所以③错误；eｑ\ｂ＼lc\(＼rｃ\）(\ａ＼vs４\ａl\ｃo1（－\f(1，\ｒ(ｘ））))′=－eq\ｆ(0－x′，ｘ)=eq＼f(\f(1,2）ｘ，x)＝eq　\ｆ（1,２）x=eq＼ｆ(1，2x＼ｒ(x)）,所以④正确．答案：B2．函数y＝ｓin　ｘ·ｃoｓｘ的导数是(　　)A.y′=ｃos2x+sin2xB．y′＝ｃos２x-sｉn2ｘC．y′=2cosx·sin　xD．y′＝coｓ　ｘ·sinx解析：y′＝(sin　x·cosｘ）′＝cosx·cosx+ｓｉｎx·(－sinx）=cos2ｘ－sｉn2ｘ。3．若ｆ（x)=(2ｘ+a)2，且f′（2)=20,则a=＿__＿____.解析：f(x)＝4x2＋4ax+a２，∵f′（x）＝８x＋4a,∴ｆ′(2)=1６+4ａ=20,∴a=1．答案:14．已知曲线y＝x４+ａx2+1在点（-1,a+2)处切线的斜率为8,则a＝__＿_＿___。解析:y′=４ｘ3+2ax，因为曲线在点（-1，a+2）处切线的斜率为8,所以y′|x=－1=-4-2ａ＝8,解得a=-6．答案:-6５．求下列函数的导数:(1)y=xｅq　\b＼lc\(\ｒc\)(\a\vｓ4\ａl\ｃｏ1（x２+\f(1,x）+＼f（1,ｘ3))）;（2)ｙ=eq　\f（1＋coｓ　x，x2);(3）y＝（4x-ｘ)(ex+1).解：(1)∵y＝xeｑ\ｂ\lc\（\rｃ\）（\ａ＼ｖｓ4\aｌ\co１(x２+\f(1,x）＋＼f(1,x3））)＝x3＋1+ｅq\f(１,x２)，∴ｙ′＝３x2－eｑ\f(2,x3)。（2)y′=eq　＼f（1＋cosx′·x２－１＋cｏs　xx2′，x4）=eq\f(-xｓin　ｘ－2ｃosx－2，x3).(３)法一:∵y=（4x－x)(ex＋1）＝４xex＋4ｘ－ｘex－x,∴y′＝(4xeｘ＋4x-xex－x）′=(4x）′ex＋4x(ｅx)′＋(4x）′－[x′ex+x(ｅｘ)′]－x′=ex４xｌn４+４xｅｘ＋４xln　4-ｅｘ－ｘex-1=ex（4ｘｌn4+4x-1-x）+４xln4-1。法二:y′=(4ｘ－x）′(eｘ+１）+(4x-x）（ex+1)′=(4ｘln４-1)(eｘ＋１)＋(４x－x)ex=ｅx（4xｌn　4＋4ｘ－１-x）＋4ｘｌn４-1.